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2014年高二文科数学第一学期期末测试题及答案


高二文科数学上学期综合测试题
一、选择题: (在每个小题提供的四个选项中,有且仅有一个正确答案。每题 5 分,满分 60 分) 1. 在等差数列 3, 7, 11 ?中,第 5 项为 A. 15 B.18 ( C.19 D.23
?



2. △ABC中, ∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c.若 a ? 3, b ? 4 ,∠C= 60 , 则边 c 的值等 于 A. 5 B. 13 C. 13 D. 37 (
2 2 C. a ? b





3. 如果 a ? b ? 0 , 那么 A. a ? b ? 0 B. ac ? bc D.



1 1 ? a b
( )

? ? 4.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是

A. 9

B. 18
2 2

C. 9 3

D. 18 3 ( D.双曲线 (
2 B. 若 ? 1 ? x ? 1 ,则 x ? 1 2 D. 若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1

5.当 0 < a < 1 时,方程 ax ? y =1 表示的曲线是 A.圆 B. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆



2 6. 命题“若 x ? 1,则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是
2 A. 若 x ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 2 C. 若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x ? 1



7.抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点坐标是 (
2

) C. (0,

A. (0, )

a 4

B. (0,?

1 ) 4a

1 ) 4a

D. (

1 ,0) 4a
( )

8. 如果命题“ p ? q ”为假命题,则 A. p, q 均为假命题 C. p, q 均为真命题 B. p, q 中至少有一个假命题 D. p, q 中只有一个真命题

1

2 2 9.若 a 、 b 为正实数,则 a ? b 是 a ? b 的 (



A.充分非必要条件 C.充分必要条件 10. 经过点 M (2 6 ,?2 6 ) 且与双曲线

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

y 2 x2 ? ? 1 有共同渐近线的双曲线方程为 ( 3 4
2 2 C. x ? y ? 1 8 6
2 2 D. x ? y ? 1



A.

y2 x2 ? ?1 6 8

2 2 B. y ? x ? 1 8 6

6

8

11.在△ABC 中, a ? 2, b ? A.

2, B ?
C.

?
6

,则 A 等于(



? 4

B.

? 3? 或 4 4

? 3

D.

3? 4


12.. 已知△ABC 的周长为 9,且 sin A : sin B : sin C ? 3 : 2 : 4 ,则 cosC 的值为(

1 A. 4 ?

1 B. 4

2 C. 3 ?

2 D. 3

二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).
? x? y?5 ? 4. 若 x、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 6 , 则目标函数 z=6x+8y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
14.当 x ? ?1 时, x ?
2

, 最小值为



1 的最小值是 x ?1
2



15、若双曲线 x ? 4 y ? 4 的左、右焦点是 F1 、 F2 ,过 F1 的直线交左支于 A、B 两点, 16. S n 为数列 ?an ? 的前 n 项的和, Sn ? 2n ? 3n ? 1,则 an ?
2

若|AB|=5,则△AF2B 的周长是

.

命题“ ?x0 ? R, x0 ? 1 ? 0. ”的否定为:

2



三、解答题:(本题共 6 小题,共 70 分)
17. (本题满分 8 分)已知: a ? 0, 且 a ? 0, 设函数 P: y ? loga (x? 1)在(0,+?) 上单 调递减;q:二次函数 y ? x ? (2a-3)x ? 1 的图像与 x 轴交于不同的两点。如果 p ? q 为 真, p ? q 为假,求 a 的取值范围。
2

2

18 . (本题满分 8 分)

在 等 比 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 和 中 , a 1 最 小 , 且

a1 ? an ? 66, a2 an?1 ? 128,前 n 项和 S n ? 126 ,求 n 和公比 q

19. (本题满分 12 分) 已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c , 若 cos B cos C ? sin B sin C ? (1)求 A ; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

1 . 2

20. (本题满分 10 分) 某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示. 用煤(吨) 7 3 用电(千瓦) 20 50 产值(万元) 8 12

甲产品 乙产品

但国家每 天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问 该厂如何安排生产,使得该厂日产值大?最大日产值为多少?

3

y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 的弦 AB, 6 3 求(1)线段 AB 的长; (2)设 F2 为右焦点,求 ?F2 AB 的周长。
21. (本题满分 10 分)经过双曲线 x ?
2

22.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

an (n ? N ? ) . 2an ? 1

(1)求证:数列 {

1 } 为等差数列; an

(2)求数列 {an } 的通项公式 a n ; (3)设

2 1 3 ? ? 1 ,数列 {bnbn?2 } 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? . bn an 4

4

参考答案
一、选择题: (每题 5 分,满分 50 分) CCDCB DCACA BA

二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11、40,0; 12、 1; 13、5 ; 14、 ?

?0, n ? 1 ?4n ? 5, n ? 2

三、解答题:(本题共 6 小题,共 80 分) 17、 (本题满分 12 分) 由已知条件可得 P: 0 ? a ? 1 , ?????1 分

(2a-3) ? 4 ? 0,? a ? q:
2

? p ? q 为真, p ? q 为假,? p 和 q 一个为真一个为假,

5 1 或a ? 2 2

?????3 分 ?????5 分

? 0 ? a ?1 1 ? (1)p 为真,q 为假 ? 1 5 ,? ? a ? 1 , 2 ?a? ? ?2 2

?????8 分

a ?1 ? 5 ? (2)p 为假,q 为真 ? 5 1 ,? a ? , 2 a ? 或a ? ? ? 2 2
综上所述,a 的取值范围为 ? ,1? ? ?

?????11 分

?1 ?2

?5 , ?? ? 。 ?2

?????12 分

18、 (本题满分 12 分) 因 为 ?a n ? 为 等 比 数 列 , 所 以 a1an ? a2 an?1 ? ? ? ? ? ? 2 分

?a1 ? an ? 66 ?? ?a1an ? 128
且a1 ? an , 解得a1 ? 2, an ? 64

?????4 分

?????8 分

5

依题意知 q ? 1

? S n ? 126,?

a1 ? an q ? 126 ? q ? 2 1? q

?????10 分

? 2q n?1 ? 64,? n ? 6
19、 (本题满分 14 分)

?????12 分

20、 (本题满分 14 分) 解:设该厂每天安排生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,则日产值 z ? 8 x ? 12 y ,…(1 分)

?7 x ? 3 y ? 56 ? 线性约束条件为 ? 20 x ? 50 y ? 450 . ? x ? 0, y ? 0 ?
作出可行域. ……(7 分)

…………(3 分)

把 z ? 8 x ? 12 y 变形为一组平行直线系 l : y ? ? 可知,当直线 l 经过可行域上的点 M 时,截距

8 z x ? ,由图 12 12

z 最大,即 z 取最大值. 12

6

?7 x ? 3 y ? 56 由? ,得交点 M (5,7) , ?20 x ? 50 y ? 450
zmax ? 8 ? 5 ? 12 ? 7 ? 124 .
所以,该厂每天安排 生 产甲产品 5 吨,乙产品 7 吨,则该厂日产值最大,最大日产 值为 124 吨 21、 (本题满分 14 分) ……………… (12 分)

(Ⅰ)由题意得

,解得





所以椭圆

的方程为

,离心率

.

…………… 7 分

(2)由(1)知

,则直线

的方程为



设原点

关于直线

对称的点为



则有

解得

即点

的坐标为





,∴





的最小值为
7

.

…………12 分

22、 (本题满分 14 分)

证明: (1)由 an ?1 ?

an 得: 2an ? 1

1 1 1 ? ? 2 且 ? 1, a1 an ?1 an
所以数列 {

???3 分

1 } 是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, an
1 1 ; ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 ,故 an ? 2n ? 1 an

????4 分

(2)由(1)得:

???? 7 分

(3)由

2 1 2 ? ? 1 得: ? 2n ? 1 ? 1 ? 2n , bn an bn

∴ bn ?

1 n
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

从而: bnbn ? 2 ?

则 Tn ? b1b3 ? b2b4 ? ...... ? bnbn?2

1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 2 3 2 4 n n?2 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 1 3 ? ? ( ? )? 4 2 n ?1 n ? 2 4

??12 分

8



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