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新课标高二下学期期中考试数学文科


高二年级下学期期中考试试卷 数学(文科)
班级:高二( 一、选择题 题号 1 2 答案 )班 3 4 姓名: 5 6 7 8 9 得分: 10 11 ( 12 )

π 1.下列各点中与(2,6)不表示极坐标系中同一个点的是 11 A.(2,- 6 π) 13 B.(2, 6 π) 11 C.(2, 6 π) -23 D.(2, 6 π)


2.将点的极坐标(π,-2π)化为直角坐标为 A.(π,0) B.(π,2π) C.(-π,0) D.(-2π,0)

(

)

1 ? ?x′= x 2 后得到曲线方程为 y=2sin4 x, 3. 正弦曲线 C 按伸缩变换? 则正弦曲线 ? ?y′=3y C 的周期为 π A.2 B.π C.2π ( D.4π
( )

)

4.已知点 P 的极坐标是(1,? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是 A. ? ? 1 5.参数方程 ? B. ? ? cos? C. ? ? ?

1 cos ?

D. ? ?

1 cos ?
( )

? x ? 2 ? sin 2 ? ? y ? ?1 ? cos2?

( ? 为参数) 化为普通方程是

A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3] D 2 x ? y ? 4 ? 0 x ? [2,3] 6.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极 坐标为 A.( 3 2 , 7.复数 ( )

3 ?) 4

B. ( ? 3 2 ,

5 ?) 4

C. (3,

5 ?) 4

D. (-3,

3 ?) 4
( )

5 的共轭复数是: 3 ? 4i 3 4 3 4 A. ? i B. ? i 5 5 5 5
8. 已知 f ( x ? 1) ?

C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i ( )

2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) , 猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2

A. f ( x) ?

4 2 ?2
x

B. f ( x) ?

2 x ?1

C. f ( x) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ? 1
( )

9.直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是 A. k ? ?

3 4

B. k ? ?

3 4

C. k ? R

D. k ? R 但 k ? 0

1 ? x? ? t 10.参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线是 1 2 ?y ? t ?1 t ?
y y y y





0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D ( C.大于 0 D.小于 0 )

11.已知复数 z 满足 z ? ? | z | ,则 z 的实部 A.不小于 0 B.不大于 0

12.函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图象大致为

(

)

二、填空题
13.在同一平面直角坐标系中,直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x? ? y ? ? 4 的伸缩变换是

t ? x ? 2? ? 2 ( t 为参数) 14.设直线参数方程为 ? ,则它的斜截式方程为 ? 3 ?y ? 3 ? t ? 2 ?
x ? cos? 15..曲线 C: ? ( ? 为参数)的普通方程为 ? ? y ? ?1 ? sin ?
;如果曲线 C 与直线

x ? y ? a ? 0 有公共点,那么实数 a 的取值范围为



1 1 1 16.已知函数 f(x)=3x3-2(a+a)x2+x(a>0),则 f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜 率最大时的切线方程是________. 三、解答题

17.实数 m 取什么数值时,复数 z ? m2 ? 1 ? (m2 ? m ? 2)i 分别是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?(4)表示复数 z 的点在复平面的第四象限?

18.(1) 求证:已知: a ? 0, 求证:a ? 5 ? a ? 3 ?

a?6 ? a?4 a?b c ? (2) 已知:Δ ABC 的三条边分别为 a,b,c . 求证: 1? a ? b 1? c

1 x= 3+2t, ? ? 19.已知直线 l 的参数方程为? 3 y = 2 + ? ? 2t ?x=4cos θ, ? (θ 为参数). ?y=4sin θ (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程;

(t 为参数),曲线 C 的参数方程为

(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

π 20..已知圆的极坐标方程为 ρ2-4 2ρcos(θ-4)+6=0.

(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

21.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方 ?x= 3cos α 程为? (α 为参数). ?y=sin α (1)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, π 以 x 轴正半轴为极轴)中, 点 P 的极坐标为(4, 判断点 P 与直线 l 的位置关系; 2), (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

22.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

高二年级下学期期中考试试卷

数学(文科)参考答案
一、选择题 题号 1 2 答案 C A
二、填空题 13. ?

3 B

4 C

5 D

6 A

7 A

8 C

9 A

10 D

11 B

12 C

1 ? x? ? x 14. y ? 3x ? 3 ? 2 3 15. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 1 ? 2 ? a ? 1 ? 2 .16.y= 3 ? y? ? 4 y
2

三、解答题 17.解:(1)当 m ? m ? 2 ? 0 ,即 m ? 2或m ? ?1 时,复数 z 是实数;……3 分 (2)当 m ? m ? 2 ? 0 ,即 m ? 2且m ? ?1 时,复数 z 是虚数;……6 分
2

(3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? m ? 2 ? 0 时,即 m ? 1 时,复数 z 是纯虚数;……9 分
2 2

(4)当 m - m-2<0 且 m -1>0,即 1<m<2 时,复数 z 表示的点位于第四象限。……12 分 18. 证明:(分析法)要证原不等式成立, 只需证

2

2

a?5 ? a?4 ? a?6 ? a?3

? ( a ? 5 ? a ? 4 ) 2 ? ( a ? 6 ? a ? 3) 2 ……2 分 ? (a ? 5)(a ? 4) ? (a ? 6)(a ? 3) ……4 分
即 证 20 > 18 ∵上式显然成立, ∴原不等式成立. ……6 分

(2) 要 证

a?b c ? 成立, 1? a ? b 1? c 1 1 1 1 ?1? ?? 只需证 1 ? 只需证 ? , 1? a ? b 1? c 1? a ? b 1? c 1 1 ? 只需证 只需证 1 ? c ? 1 ? a ? b , 只需证 c ? a ? b 1? a ? b 1? c ∵ a,b,c 是Δ ABC 的三条边∴ c ? a ? b 成立,原不等式成立。……12 分

?x=4cos θ, 19 解:(1)由曲线 C:? 得 x2+y2=16. ?y=4sin θ ∴曲线 C 的普通方程为 x2+y2=16. 1 ? ?x= 3+2t, (2)将? 3 y = 2 + ? ? 2t

代入 x2+y2=16,

(3)整理,得 t2+3 3t-9=0. 设 A,B 对应的参数为 t1,t2,则

t1+t2=-3 3,t1t2=-9. |AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2=3 7. π 20.解:(1)由 ρ2-4 2ρcos(θ-4)+6=0 得 ρ2-4ρcos θ-4ρsin θ+6=0, 即 x2+y2-4x-4y+6=0 为所求, 由圆的标准方程(x-2)2+(y-2)2=2, 令 x-2= 2cos α,y-2= 2sin α, ?x=2+ 2cos α 得圆的参数方程为? (α 为参数). ?y=2+ 2sin α (2)由(1)知, x+y=4+ 2(cos α+sin α) π =4+2sin(α+4), π 又-1≤sin(α+4)≤1. 故 x+y 的最大值为 6,最小值为 2. π 21.解:(1)把极坐标系下的点 P(4,2)化为直角坐标,得点(0,4).因为点 P 的 直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cos α,sin α),从而点 Q 到直线 l 的距离为 d= | 3cos α-sin α+4| 2

π 2cos?α+ ?+4 6 = 2 π π = 2cos(α+6)+2 2,由此得,当 cos(α+6)=-1 时,d 取得最小值,且最 小值为 2.
22.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

由 f (? ) ?
'

1 2 12 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 2 3 9 3 ' 2 f ( x ) ,函数 的单调区间如下表: f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3

f ' ( x)
f ( x)
?

?

0
极大值

?
?

0
极小值

?
?

2 ,1) ; 3 2 2 22 1 2 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 3 3 27 2
所以函数 f ( x) 的递增区间是 ( ??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。

2 3


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