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四川省成都七中2015届高三零诊模拟数学(理科)


四川省成都七中 2015 届高三零诊模拟试卷数学(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项. 1.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2





B. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

2.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]},则 A A. [0, 2] B. [1,3) C. (1,3) D. (1, 4)

B?(



3.在极坐标系中,过点 ( 2, A. ρ ? 2 B. θ ?

?
2

) 且与极轴平行的直线方程是(
C. ρ cos θ ? 2



? 2

D. ? sin ? =2 )

4.已知实数 x, y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A. x ? y
3 3

B. sin x ? sin y

C.

ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形, 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6. 对于函数 f ( x ) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值,

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

都有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x ) 为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是 ( A. f ( x) ? cos( x ? 1) B. f ( x) ?

)
3

x

C.

f ( x) ? tan x

D. f ( x) ? x

1

7.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输 出的 S= ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

?x ? y ? 7 ? 0 ? x ? y 8.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 , 则z ? 2 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
的最大值为( ) A.10 B.8 C.3 D.2

9. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与 顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶点的距离组成的集 合记为 M, 如果集合 M 中有且只有 2 个元素, 那么符合 条件的点 P 有( ) A .4 个 B.6 个 C. 10 个 D.14 个 B 10. 设 函 数 f ? x ? ? 3 sin ? x . 若 存 在 f ? x ? 的 极 值 点 x0 满 足

A

.P C

D

m

2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( 2



A. C.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?4? ? ? 4, ??

B.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ?

cos C ? 12.设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2,
则 sin B ?
2

1 , 4

13. 已 知 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( 1 ,m) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 , 双 曲 线

x2 ?

y2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = a
2ax ? x 2 ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的
2

14.随机地向半圆 0 ? y ?

概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于
/

?
4

的概率为

.

15、设函数 f ( x) 在其定义域 D 上的导函数为 f ( x) ,如果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中

h( x) 对任意的 x ∈ D ,都有 h( x) > 0 ,使得 f / ( x) = h( x)( x 2 - ax + 1), 则称函数 f ( x) 具
有性质 ? (a ) ,给出下列四个函数: ① f ( x) =

1 3 2 x - x + x + 1; 3
2 x

② f ( x) = ln x +

4 ; x +1

③ f ( x) = ( x - 4 x + 5)e ; 其中具有性质 ? ( 2) 的函数

x2 + x ④ f ( x) = 2x + 1

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x (Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合.

17. 成都市为增强市民的环保意识, 面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者 中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20, 25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35, 40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

D 18. 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 平 面 A B C , PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC, ?BCD ? 90? .

P

第(17)题图

3

D A B

C

19.已知等差数列 {an } 为递增数列,且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {bn } 的
2

前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn ; 2

(1)求数列 {an }和{bn }的通项公式; (2)若 cn ?

3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . an ? an ?1

20.巳知椭圆 M

:

x 2 y2 x 2 y2 的长轴长为 ,且与椭圆 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ?1 4 2 a2 b2 2 4

有相同的离心率. (I )求椭圆 M 的方程; (II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A 、 B ,且

OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求 | AB | 的取值范围,若不存在,说明理由.

21. 已 知 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , f ( x ) 的 定 义 域 为 (? ?, ? ?) . 当 x ? 0 时 , ln( ? ex ) f ( x) ? .这里,e 为自然对数的底数. x 1 (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a , a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; 3 k (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1 1 n ? ?1 2 (3)试判断 ln 与 2? ? ? ? ? n 的大小关系,这里 n ? N * ,并加 ? n?1 n?1? ?2 3 以证明.

4

成都七中 2015 届零诊模拟考试数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 命题:张祥艳 审题:廖学军
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( C ) B. ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 B.
2 2 ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0

D.

?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]},则 A (A) [0, 2] (B) [1,3) (C) (1,3) (D) (1, 4) 3.在极坐标系中,过点 ( 2, (A) ρ ? 2 (B) θ ?

B?(

B



?
2

) 且与极轴平行的直线方程是(D )

? (C) ρ cos θ ? 2 (D) ? sin? =2 2

4.已知实数 x , y 满足 a x ? a y (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A ) (A) x3 ? y 3 (C) ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1) (B) sin x ? sin y

(D)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在 该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(D ) A.1 B.2 C.3 D.4

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

6. 对于函数 f ( x ) , 若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一 个值,都有 f ( x) ? f (2a ? x) ,则称 f ( x ) 为准偶函数,下列函

5

数中是准偶函数的是 ( A ) (A) f ( x) ? cos( x ? 1) (C) f ( x) ? tan x (B) f ( x) ? (D) f ( x) ? x3

x

7.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S= ( D ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

?x ? y ? 7 ? 0 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( B ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2



9. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个 顶点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么 符合条件的点 P 有( C ) A (A)4 个 (B)6 个 (C)10 个 (D)14 个

10. 设 函 数 f ? x ? ? 3 sin ? x . 若 存 在 f ? x ? 的 极 值 点 x0 满 足

m

B B ) C

2 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是( 2

.P

D

A. C.

? ??, ?6? ? ? 6, ?? ? ??, ?4? ? ? 4, ??

B.

? ??, ?2? ? ? 2, ??

D. ? ??, ?1? ? ?4, ? ?

13. 已 知 抛 物 线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( 1 ,m) 到 其 焦 点 的 距 离 为 5 , 双 曲 线
2

6

x2 ?

y2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = a

1 4

14.随机地向半圆 0 ? y ?

2ax ? x 2 ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的

概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于

?
4

的概率



.

1 1 ? 2 ?
/

15、设函数 f ( x) 在其定义域 D 上的导函数为 f ( x) ,如果存在实数 a 和函数 h( x) ,其中

h( x) 对任意的 x ∈ D ,都有 h( x) > 0 ,使得 f / ( x) = h( x)( x 2 - ax + 1), 则称函数 f ( x) 具
有 性 质 ? (a) , 给 出 下 列 四 个 函 数 : ① f ( x) =

1 3 2 x - x + x +1 ; 3



f ( x) = ln x +

4 ; x +1
x

③ f ( x) = ( x - 4 x + 5)e ; 其中具有性质 ? ( 2) 的函数

2

④ f ( x) =

x2 + x 2x + 1

①② ③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合.
解: (Ⅰ) cosx≠0 知 x ? k p

p ,k∈Z, 2

即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ,k∈Z}.?????????3 分 又∵ f ( x) ?

2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2x ? 2 sin2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2x cos x 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x)

7

? 1 ? 2 sin(2 x ? ) , 4
∴ f ( x)max ? 1 ? 2 .???????????????????????8 分

?

2 π π (II)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ≥0,即 sin(2 x ? ) ≤ , 2 4 4 π 9π 3π 解得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈Z, 4 4 4 π 整理得 kπ ? ≤x≤ kπ ? π ,k∈Z. 4 结合 x≠kπ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为

π kπ ? π ≤ x ≤ 且 4 Z}.??????????????????12 分
{x|

kπ ?

x ? kp

p 2



k



17. 成都市为增强市民的环保意识, 面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者 中随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ?20, 25? ,第 2 组 ?25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组 ?35, 40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3,4, 5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

8

解: (1) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名 志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿 者为 C1.则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有 9 种,???10 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

9 3 = . ????12 分 15 5

18. 在 四 棱 锥

P? A B C D P 中 D, PD ? 平 面 A B C ,

PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC, ?BCD ? 90? .
(Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC ?说明理由.
D
9

C B

A

证明:(Ⅰ)在四棱锥 P ? ABCD 中,因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PD ? BC . 因为 PD 因为 ?BCD ? 90? , 所以 BC ? 平面 PCD . ???4 分 不妨设 AD ? 1 ,则 所以 BC ? CD .

DC ? D ,

因为 PC ? 平面 PCD ,所以 BC ? PC . ( Ⅱ ) 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz .

PD ? CD ? BC ? 2 .
则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(2, 2,0), C(0, 2,0), P(0,0, 2) . 所以 PA ? (1,0, ?2) , PB ? (2, 2, ?2), PC ? (0, 2, ?2) .

uu r

uur

uuu r

z
设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) .

P

uur ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PB ? 0, 所以 ? uuu .即 ? . r 2 y ? 2 z ? 0 ? n ? PC ? 0 ? ?
令 y ? 1 ,则 x ? 0, z ? 1 . 所 以

F E D B C y

n?(

0

,

1 所

, 以 1
x

A

)

c

uur ? PA o n ?? s

?2 ?, ? 5 5? 2

1

0

所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

10 . 5

???8 分

10

所以 DF ? PC . 平面 PBC .

因为 BC ? 平面 PCD ,

所以 DF ? BC . 所以 AE ?

因为 PC I BC ? C ,

所以 DF ? 平面 PBC .

即在线段 PB 上存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC . (法二)设在线段 PB 上存在点 E ,当 PE ? ? PB(0 ? ? ? 1) 时, AE ? 平面 PBC . 设 E ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PE ? ( x0, y0, z0 ?2) .所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ?(2,2, ?2) . 即 x0 ? 2?, y0 ? 2?, z0 ? ?2? ? 2 .所以 E (2?, 2?, ?2? ? 2) . 所 以 AE ? ( 2 由 ? ? 1 ,?2 ?,? 2? . 2 ) ( Ⅱ ) 可 知 平 面 PBC 的 法 向 量

uur

uur

uur

uu u r

n ? (0,1,1) .
若 AE ? 平面 PBC ,则 AE / / n .即 AE ? ?n .解得 ? ? 所以当 PE ? 分

uuu r

uu u r

uur

1 uur PB ,即 E 为 PB 中点时, AE ? 平面 PBC . 2

1 , ? ? 1. 2
???12

19.已知等差数列 {an } 为递增数列,且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {bn } 的
2

前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn ; 2

(1)求数列 {an }和{bn }的通项公式;

11

(2)若 cn ?

3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . an ? an ?1

20.巳知椭圆 有相同的离心率. (I )求椭圆 M 的方程;

的长轴长为

,且与椭圆

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A、B,且 若存在,写出该圆的方程,并求 的取值范围,若不存在,说明理由.



12

13

21.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , f ( x ) 的 定 义 域 为 (??, ??) . 当 x ? 0 时 , ln( ? ex ) f ( x) ? .这里,e 为自然对数的底数. x 1 (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a , a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; 3 k (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1 1 n ? ?1 2 * (3)试判断 ln 与 2? ? ? ? ? ? n 的大小关系,这里 n ? N ,并加 n?1 2 3 n ? 1 ? ? 以证明. 解:x>0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ln(ex) ? 1 ? ln x
x x

………2 分

(1)当 x>0 时,有 f ?( x) ?

1 ? x ? (1 ? ln x) ?1 ln x x ?? 2 x2 x

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1; f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1

所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ?) 上单调递减,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值.由题意 a ? 0 ,且 a ? 1 ? a ? 1 ,解得所求实数 a 的取值范围 3 2 为 ? a ?1 …4 分
3

(2)当 x ? 1 时, f ( x) ? k ? 1 ? ln x ? k ? k ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ?1 x x ?1 x 1 x l n ) ,由题意, k ? g ( x) 在 1, ?? 上恒成立 令 g ( x )? ( x ? 1 ) (? ? ? x ( ? 1) x
g ?( x) ?

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x
x2 x2

令 h( x) ? x ? ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号. x 所以 h( x) ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 .……6 分

14

因此, g ?( x) ? h( x) ? 0
x2

g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g( x)min ? g(1) ? 2 .
…………………8 分

所以 k ? 2 .所求实数 k 的取值范围为 ? ??, 2? (3)(方法一)由(2) ,当 x ? 1 时,即 f ( x ) ? 从而 ln x ? 1 ? 令 x ? k ? 1 (k ? 1, 2, k 2 2 ln ? 1 ? , 1 2
ln 3 2?2 , ? 1? 2 3

2 1 ? ln x 2 ? ,即 . x ?1 x x ?1

2 2 ? 1 ? .………..10 分 x ?1 x
, n) ,得

……
ln n ?1 2?n ? 1? n n ?1

将以上不等式两端分别相加,得 1 2 3 n ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ? ) 2 3 4 n ?1 1 1 2 3 n ?ln ? 2( ? ? ? ? )?n n ?1 2 3 4 n ?1 (方法二) n ? 1 时, ln

………………………14 分

1 n ? ?1 2 ? ? ln 2 < 2? ? ? ?? ? ? ? n ? 1 ?1 ? 0 n ?1 n ? 1? ?2 3

猜想 ln

1 n ? ?1 2 * ? 2? ? ? ?? ? ? ? n 对一切 n ? N 成立。 n ?1 n ? 1? ?2 3
1 n ? ?1 2 * ? 2? ? ? ?? ? ? ? n 对一切 n ? N 成立, n ?1 n ? 1? ?2 3

欲证 ln

n ? ?1 2 只需证明 ln(n ? 1) ? n ? 2? ? ? ?? ? ? n ? 1? ?2 3

而 ln(n ? 1) ? ? ln
k ?1

n

n ? n ? 2 ? k ?1 ?1 2 , n ? 2? ? ? ?? ? ? ? ?? ?1 ? ? n ? 1 ? k ?1 ? k ? 1? k ?2 3
15

16


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