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数列求和方法秀学案、作业


数列求和方法秀学案 王风华 一 学习目标

李卓然

郑学锋

1 1 1 ( x ? )2 ? ( x 2 ? 2 )2 ? ? ? ( x n ? n )2 . 例 3 求和 x x x

1、能够利用“错位相消法”和“分组法求和” “公式法”等通项化归求和的常 用方法,求一些特殊数列的和。 2、

通过研究数列的前 n 项和问题使学生更好地掌握通过数列的特征来研究数 列求和的方法。 二 学习重、难点 重点: “错位相消法”和“分组法求和”的应用 难点:“错位相消法”的应用以及运用转化化归思想分析问题和解决问题。 三 探索研究 对于等差数列和等比数列而言,我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的 前 n 项和,而对于一般地数列我们可以从求等差数列和等比数列的前 n 项和的方法 受到启发,得到下面的几种方法求一般数列的通法,现将这些方法总结如下: (一 )公式法 例 1 (1)求和

练习: (1)求和

2 Sn ? 12 ? 32? 52? 7??? n ? (2

2 1)

1+2+3+……+n
(2)求数列
1 1 1 1 1 , , , , 的前 n 项和 2 3 4 ? 2 4 8 16

(2)求和 2+4+8+……+ 2n 对这些比较简单常见的数列,记下前 n 项和: 1 (1) 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n ? n ? 1?? 2n ? 1? 6 1 2 (2) 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? n 2 ? n ? 1? 4 (3)等比数列、等差数列前 n 项和公式

(3)求数列 9,99,999、、、 、、、的前 n 项和

(二)分组转化法:把数列的每一项分成几项,使其转化为几个等差、等比数列, 再求解. 1 1 1 1 1 1 例 2 求和 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ??? ? (1 ? ? ? n?1 ) 2 2 4 2 4 2

(三)并项求和法: 当通项中含有 (?1) n ,求和时可以对 n 的奇偶进行讨论,分情况求和.

例4 求和:1 ? 3 ? 5 ? ?? (?1)n (2n ?1) ?

练习: (4)求和 s

n

? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?? (?1) (n ?1) ? (?1) n
2 2 2 2 n 2

n?1 2

(6) 求数列{

2n ? 1 }的前 n 项和 Sn 2n

(四) 错位相减法 例5 求数列 x, 2 x2 ,3x3 ,......, nxn的前n项和 (7)已知 an ? (3n ? 7) ? 2n ? 5n?1, 求数列?an ?的前n项和sn .

适用于由等差数列{ an }和等比数列{ bn }的积所组成的新数列{ anbn }的前 n 项和,此法是等比数列求和公式的推导过程的推广. 步骤:1、设 Sn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ??? ? anbn ; 2、等式两边同乘以等比数列的公比; 3、做差; 4、化简 注意:如果遇到等比数列的公比用字母表示,一定要讨论是 q=1 与 q≠1 练习 (5 )求和: 1/2+2/4+3/8+……+n/ 2n (五)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项. 例 6 求和 Sn ?
1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 ? 5 5 ? 8 8 ?11 (3n ? 1)(3n ? 2)

常见的拆项公式: ①
1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

22 42 (2n) 2 (12) 求和 S n ? + +? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)





(六)倒序相加法:即等差数列求和公式的推导方法.

1 1 1 1 ? [ ? ]; ④ n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

例7 设f ( x) ?

1 2x ? 2

, 求f (?5) ? f (?4) ? f (?3) ? ... f (0).... ? f (5) ? f (6)的值。



1 n ? n ?1

? n ?1 ? n

练习: (8) 数列 {an } 是等差数列, an ? 0 ,则 (9) 求数列
1 1 1 + +? ? ? a1a2 a2 a3 an?1an

1 1 1 1 , , , ?????? 的前 n 项和。 3 15 35 63

四 小结:求数列的前 n 项和的基本方法 : 1.公式法: (1)直接法:直接由等差、等比数列的求和公式求和,等比数列求和时注意对公 比 q=1,q≠1 的讨论; (2)特殊公式:常用的公式有: 2.分组求和法:把数列的每一项分成几项,使其转化为 几个等差、等比数列,再 求和. 3.并项求和法:当通项公式中含有 (?1) n ,求和时可以对 n 的奇偶进行讨论,然后分 情况求和.

1 1 1 , , ???, (10)求数列 的前 n 项和 1? 2 2 ? 3 n ? n ?1

1 1 1 , , ?????? 的前 n 项和 (11) 求数列 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4

4.错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列应项相乘得的新数列求和, 此法为等比数列求和公式的推导方法. 5.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下若干项再求和. 6.倒序相加法:即等差数列求和公式的推导方法.

数列求和方法秀作业 一 选择题 1、数列
1 1 1 1, , ,, ? 的前 n 项和为( 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 2n 2n n?2 n A. B. C. D. 2n ? 1 n ?1 n ?1 2n ? 1

12 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3 ? 12 , ) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? an ? 3n ( x ? R ),求数列 {bn } 前 n 项和 Sn .

2、求 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 52 ? 62 ? ? ? 992 ? 1002 的和为( A 48 B 49 C 50 D 51

) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .

3 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值为( A 44.5 B 45 C 89 D 89.5



13

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;

4 在各项为正的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 值为( ) A 9 B 10 C 12 D 20 2 5 数列 1,1 ? 2,1 ? 2 ? 2 ,?,1 ? 2 ? 22 ? ? ? 2n?1,? 的前 99 项和为( A. 2100 ? 101 B. 299 ? 101 C. 2100 ? 99
2 2 2 6.若 ?an ? 是等比数列,前 n 项和 Sn ? 2n ?1 ,则 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (

) D. 299 ? 99 )

A. (2n ?1)2

1 B. (2n ? 1) 2 3

C. 4 n ? 1

1 D. (4 n ? 1) 3

二 填空题 7 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111? ? 之和为 ? ? ?1 ?
n个1

14 数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*) (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3)设 bn=

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8 数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和为

1 (n∈N*),Tn=b1+b2+??+bn(n∈N*),是否存在最大的整数 m, n (12 ? a n )

1 3 5 2n ? 1 9 数列 , , ,? , n ,? 的前 n 项的和为 2 4 8 2 10 已知一个共有 n 项的等差数列前 4 项和为 26,末 4 项和为 110,且所有项之和 为 187,则 n 的值为 。 三 解答题 x 1 1 1 1 1 (6) 的 11 已知 f ( x ) ? ,求 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f( ) ? f(1) ? f(2) ? ?f x ?1 6 5 4 3 2 值

使得对任意 n∈N*均有 Tn>

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由 32

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