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8.10 抛物线性质


8.10
2

抛物线性质
( )

1.过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6,那么,|AB| 等于 A.8 B.10 C.6 D.4 ( D.y2=-8x+8 ( ) )

2.到点(-1,0)与直线 x=3 的距离相等的点的轨

迹方程为 A.x2=-4y+4 B.y2=-4x+4 C.x2=-8y+8

3.设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D.12

4.已知 A、B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 为坐标原点,如果|OA|=|OB|,且△AOB 的垂心恰好是此抛 物线的焦点 F,则直线 AB 的方程是 A.x-p=0 B.4x-3p=0 C.2x-5p=0 D.2x-3p=0 ( ) ( )

→ → 5.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点 O 为坐标原点,则OA· OB的值是 A.12 B.-12 C.3 D.-3

6.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线





7.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线 x+2y=3 距离相等的点的轨迹是 A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线





8.抛物线 y=-x2 上的点,到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 A. 4 3 7 B. 5 8 C. 5 D.3





9.过抛物线 y2=4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,则这样的直 线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 ( )

10.直线 l 经过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 P、Q 两点,由 P、Q 分别向准线引垂线 PR、QS,垂足分别为 R、S.如果|PF|=a,|QF|=b,M 为 RS 的中点,则|MF|的值为 A.a+b 1 B. (a+b) 2 C.ab D. ab ( )

→ → 11.已知点 A(2,0) 、B(4,0) ,动点 P 在抛物线 y2=-4x 上运动,则AP· BP取得最小值时的点 P 的坐标是 ______. 12.已知点 A(4,0) ,M 是抛物线 y2=6x 上的动点,当点 M 到 A 距离最小时,M 点坐标为________. 13.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于 A,与 C 的一 个交点为 B,若 AM =M B ,则 p=________. 14.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上一点(-3,m)到焦点的距离为 5,则抛物线 的方程为________.





解答题 5 15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|= p,求 AB 所在的直线方程. 2

16.倾斜角为 45 的直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交于 A、B 两点,抛物线上是否存在点 C,使△ABC
0

为等边三角形,若有,求出 C 点的坐标;若没有,请说明理由.

17.已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; → → (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有FA· FB<0?若 存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

8.10
梯形 APQB 的面积为 A.48 B.56

抛物线应用
( C.64 D.72 )

1.直线 y=x-3 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,过两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P、Q,则

→ 2.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px (p>0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA与 x 轴正向的夹角 → 为 60° ,则|OA|为 A. 21p 4 B. 21p 2 C. 13 p 6 13 D. p 36 ) ( )

3.抛物线 y2=2px 与直线 ax+y-4=0 的一个交点是(1,2) ,则抛物线的焦点到该直线的距离为( A. 3 3 2 2 B. 5 5 7 C. 5 10 D. 17 2

→ → → → → → 4.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|等 于 A.9 B.6 C.4 D.3 ) ( )

→ → 5. 设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y2=4x 的焦点, A 为抛物线上一点, 若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标为 ( A. (2,± 2 2) B. (1,± 2) C. (1,2) D. (2,2 2)

6.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最 小值时,点 P 的坐标为 1 ? A.? ?4,-1? 1 ? B.? ?4,1? C. (1,2) D. (1,-2) ( )

7.已知直线 y=k(x+2) (k>0)与抛物线 C:y2=8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|, 则 k= A. 1 3 B. 2 3 2 C. 3 D. 2 2 3 ( )

π π 8.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作两弦 AB 和 CD,其所在直线的倾斜角分别为 与 ,则|AB|与|CD| 6 3 的大小关系是 A.|AB|>|CD|
2 2

( B.|AB|=|CD| C.|AB|<|CD| D.|AB|≠|CD|



x y 9.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心率等于________. a b 10.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之 和的最小值是________. 11.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米,当水面升高 1 米后,水面宽度是____米. 12. 已知抛物线 y2=4x 的一条过焦点的弦 AB,A (x1,y1) , B (x2,y2) ,AB 所在直线与 y 轴交点坐标 (0,2) , 1 1 则 + =________. y1 y2 9 13.在已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 y=kx+ 对称,则 k 的取值范围为________. 2

→ → 14. 已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A、 B 满足AF=3FB, 则弦 AB 的中点到准线的距离为________. 解答题 15.过抛物线 y2=x 上一点 A(4,2) ,作倾斜角互补的两直线 AB、AC 交抛物线于 B、C.求证直线 BC 的 斜率为定值.

16.已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P(4,2) ,且 OA⊥ OB(O 为坐标原点) ,求弦 AB 的长.

17.设抛物线 y2=8x 的焦点是 F,有倾角为 45° 的弦 AB,|AB|=8 5,求△FAB 的面积.

18.已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,求 A、B 两点间的距离.

章末归纳总结
1 1.已知双曲线 9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m= 5 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

2.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为 A. 17 2 B.3 C. 5 D. 9 2 ( )

3.已知抛物线 y2=2px(p>0) ,过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵 坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 ( ) x2 y2 4.过原点的直线 l 与双曲线 - =-1 交于两点,则直线 l 的斜率的取值范围是 4 3 A.?- ( )

?

3 3? , 2 2? 3 3? , 2 2?

B.?-∞,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,+∞ 2? ?2 ?

C.?-

?

D.?-∞,-

?

3? ? 3 ? ∪ ,+∞ 2? ?2 ?

y2 5.设 P 是双曲线 x2- =1 的右支上的动点,F 为双曲线的右焦点,已知 A(3,1) ,则|PA|+|PF|的最小值 3 为________. 6.如图,抛物线顶点在原点,圆 x2+y2-4x=0 的圆心恰是抛物线的焦点. (1)抛物线的方程为________; (2)一直线的斜率等于 2,且过抛物线焦点,它依次截抛物线和圆于 A、B、 C、D 四点,则|AB|+|CD|=________.

解答题 7.在 Rt△ABC 中,AB=AC=1.如果一个椭圆通过 A,B 两点,它的一个焦点为点 C,另一个焦点在边 AB 上,求这个椭圆的焦距.

8.如图所示,有一张长为 8,宽为 4 的矩形纸片 ABCD,按图示的方法进 行折叠,使每次折叠后 B 都落在 AD 边上,此时将 B 记为 B′(图中 EF 为 折痕,点 F 也可落在边 CD 上, )过 B′作 B′T∥CD 交 EF 于点 T,求点 T 的轨迹方程.


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