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第五章第3讲平面向量的数量积及应用举例


第 3 讲 平面向量的数量积及应用举例

1.平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 与 b, 它们的夹角为 θ, 则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内 积),记作 a· b=|a||b|cos θ. 规定:零向量与任一向量的数量积为 0. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上

的投影|b|cos θ 的乘积. 3.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2,由此得到 (1)若 a=(x,y),则|a|2=x2+y2 或|a|= x2+y2. → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A、B 两点间的距离|AB|=|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (3)设两个非零向量 a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0.

1.平面向量数量积的重要性质 (1)e· a=a· e=|a|cos θ(e 为单位向量); (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0; (3)当 a 与 b 同向时,a· b=|a||b|; 当 a 与 b 反向时,a· b=-|a||b|, 2 a· a=|a| ,|a|= a· a; a· b (4)cos θ= ; |a||b| (5)|a· b|≤|a||b|. 2.平面向量数量积满足的运算律 (1)a· b=b· a(交换律); (2)(λa)· b=λ(a· b)=a· (λb)(λ 为实数); (3)(a+b)· c=a· c+b· c.

1.(必修 4 P104 例 1 改编)已知|a|=5,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120° ,则 a· b 为( ) A.10 3 B.-10 3 C.10 D.-10 1? 解析:选 D.a· b=|a|· |b|cos 120° =5×4×cos 120° =20×? ?-2?=-10.故选 D. 2.(必修 4 P107 例 6 改编)设 a=(5,-7),b=(-6,t),若 a· b=-2,则 t 的值为( A.-4 B.4 32 32 C. D.- 7 7 解析:选 A.由 a· b=-2,得 5×(-6)+(-7)t=-2, -7t=28,∴t=-4,故选 A. 3. (必修 4 P108A 组 T6 改编)已知|a|=2, |b|=6, a· b=-6 3, 则 a 与 b 的夹角 θ 为(

)

)

π B. 3 5π D. 6 a· b -6 3 3 解析:选 D.cos θ= = =- . |a|· |b| 2×6 2 5π 又∵0≤θ≤π,∴θ= ,故选 D. 6 4.(必修 4 P108A 组 T3 改编)已知|a|=2,|b|=5,|a+b|=7,则 a· b=________. 2 2 2 2 解析:∵|a+b| =(a+b) =a +2a· b+b =22+2a· b+52=29+2a· b ∴29+2a· b=49, ∴a· b=10. 答案:10 5.(必修 4 P113A 组 T4 改编)平面上三个力 F1,F2,F3 作用于一点且处于平衡状态,已 知|F1|=1 N,|F2|= 2 N,F1 与 F2 的夹角为 45° ,则 F3 的大小为________. 解析:根据物理中力的平衡原理有 F3+F1+F2=0, ∴|F3|2=|F1|2+|F2|2+2F1· F2 =12+( 2)2+2×1× 2×cos 45° =5. ∴|F3|= 5. 答案: 5 N

π A. 6 2π C. 3

平面向量数量积的运算

(1)[定义型运算](2015· 高考山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则 → → BD· CD=( ) 3 2 3 A.- a B.- a2 2 4 3 2 3 2 C. a D. a 4 2 (2)[坐标型运算](2015· 高考全国卷Ⅱ)向量 a=(1, -1), b=(-1,2), 则(2a+b)· a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 → → (3)[投影型运算]已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上 的投影为( ) 3 2 3 15 A. B. 2 2 3 2 3 15 C.- D.- 2 2 3 → → → → [解析] (1)由已知条件得BD· CD=BD· BA= 3a· acos 30° = a2,故选 D. 2 2 (2)∵ a=(1,-1),b=(-1,2),∴ a =2,a· b=-3, 从而(2a+b)· a=2a2+a· b=4-3=1.

→ → AB· CD 15 3 2 → → → → (3)由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD方向上的投影为 = = . 2 → 5 2 |CD| [答案] (1)D (2)C (3)A (1)向量数量积的两种运算方法: ①当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . ②当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b= x1x2+y1y2. a· b a· b (2)向量 a 在 b 上的投影为|a|cos θ=|a|· = . |a|· |b| |b| 1.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a· b 为( ) A.10 3 B.10 C.-10 3 D.-10 解析: 选 D.∵a=(-2, -6), ∴|a|= ?-2?2+?-6?2=2 10, ∴a· b=2 10× 10cos 120° 1 ? =20×? ?-2?=-10.故选 D. 2.向量 a=(3,4)在向量 b=(1,-1)方向上的投影为________. 2 a· b 解析:依题意得 a· b=-1,|b|= 2,因此向量 a 在向量 b 方向上的投影为 =- . |b| 2 2 答案:- 2 → → 3.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, ∠C=90° ,AC=2,D 为 BC 的中点,则AB· AD =________.

解析:法一:由题意知,AC=BC=2,AB=2 2, → → → → → ∴AB· AD=AB· (AC+CD) → → → → =AB· AC+AB· CD → → → → =|AB|· |AC|cos 45° +|AB|· |CD|cos 45° 2 2 =2 2×2× +2 2×1× =6. 2 2 法二:建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意得 A(0,2),B(-2,0),D(-1,0), → ∴AB=(-2,0)-(0,2) =(-2,-2), → AD=(-1,0)-(0,2)

→ → =(-1,-2),∴AB· AD=-2×(-1)+(-2)×(-2)=6. 答案:6

平面向量的模与夹角的计算 (1)[模与数量积的关系](2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)设向量 a,b 满足|a+b|= 10, |a-b|= 6,则 a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 2 2 (2)[夹角与垂直](2015· 高考重庆卷)若非零向量 a, b 满足|a|= |b|, 且(a-b)⊥(3a+2b), 3 则 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 4 2 3π C. D.π 4 (3)[垂直的综合应用]如下图,ABCD 是边长为 2 的正方形,E 是 AD 的中点,F 是 DC → → → → 上的点,AF 与 BD 交于点 G,若 AF⊥BE,且BG=λGD,求 λ 的值与GF· BD.

[解] (1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2=10, 2 2 2 2 |a-b| =(a-b) =a -2a· b+b =6, 将上面两式左右两边分别相减,得 4a· b=4, ∴a· b=1.选 A. (2)由(a-b)⊥(3a+2b), 得(a-b)· (3a+2b)=0,即 3a2-a· b-2b2=0. 2 2 8 2 2 2 又∵ |a|= |b|,设〈a,b〉=θ,即 3|a|2-|a|· |b|· cos θ-2|b|2=0,∴ |b|2- |b| · cos 3 3 3 θ-2|b|2=0. 2 π ∴ cos θ= .又∵ 0≤θ≤π,∴ θ= .选 A. 2 4 → (3)建立如图所示的平面直角坐标系, 并设 F(x,2), 则 B(2,0), E(0,1), D(0,2), ∴AF=(x,2), → BE=(0,1)-(2,0)=(-2,1),

→ → 由 AF⊥BE 得,AF· BE=0,即-2x+2=0,∴x=1. → → 设 G(x1,y1),由BG=λGD,得 (x1-2,y1)=λ(-x1,2-y1),(λ≠-1),

? ?x1-2=-λx1, ∴? 即 ?y1=2λ-λy1, ?

?x =1+λ, ? 2λ ?y =1+λ,
1 1

2

2 2λ → ∴AG=?1+λ,1+λ?,

?

?

2 2λ -4 2λ → → → → 由AF⊥BE知AG· BE=0,即?1+λ,1+λ?· ? ? (-2,1)=0,∴1+λ+1+λ=0,解得 λ=2. 2 4? 2 4 1 2 → , ,∴GF=(1,2)-? , ?=? , ?. 此时 G 点的坐标为? ?3 3? ?3 3? ?3 3? 2 2 → → → 1 又BD=(0,2)-(2,0)=(-2,2),∴GF· BD= ×(-2)+ ×2= . 3 3 3 (1) 向量的模与向量的数量积的计算常用下列法则:① a2 = |a|2 = a· a ;② |a± b|2 = |a|2 + |b| ± 2a· b. a· b (2)根据平面向量数量积的性质: 若 a, b 为非零向量, cos θ= (夹角公式), a⊥b?a· b |a||b| =0 等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (3)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明不共线的两向 量的夹角为直角,数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
2

π 1.已知向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 ,则|a+b|=( ) 3 A.1 B. 2 C. 3 D.2 π 解析:选 C.因为向量 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 ,所以|a+b|= ?a+b?2= 3 π a2+2a· b+b2= 1+2cos +1= 3. 3 2.已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a+b),则 a 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 3 2 2π 5π C. D. 3 6 解析:选 C.∵ a⊥(2a+b),∴ a· (2a+b)=0, ∴ 2|a|2+a· b=0,即 2|a|2+|a||b|cos〈a,b〉=0. ∵ |b|=4|a|,∴ 2|a|2+4|a|2cos〈a,b〉=0, 1 2 ∴ cos〈a,b〉=- ,∴ 〈a,b〉= π.故选 C. 2 3 3.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算:①|a+b|;②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 1 - ?=-16. 解:由已知得,a· b=4×8×? ? 2? (1)①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2=16+2×(-16)+64=48,∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768. ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)· (ka-b)=0, ka2+(2k-1)a· b-2b2=0,即 16k-16(2k-1)-2×64=0.∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直.

平面向量数量积的应用 x2 (1)[向量在解析几何中的应用](2015· 高考全国卷Ⅰ)已知 M(x0, y0)是双曲线 C: - 2 → → y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点.若MF1· MF2<0,则 y0 的取值范围是( ) 3 3 3 3 A.?- , ? B.?- , ? ? 3 3? ? 6 6? 2 2 2 2? 2 3 2 3? C.?- D.?- ? 3 , 3 ? ? 3 , 3 ? 25 (2)[向量在物理中的应用]在长江南岸渡口处,江水以 km/h 的速度向东流,渡船的速 2 度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为北偏西多少度( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 2 2 (3)[向量在三角函数中的应用]在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=? ,- ?,n 2? ?2 π? =(sin x,cos x),x∈? ?0,2?. ①若 m⊥n,求 tan x 的值; π ②若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 [解] (1)由题意知 a= 2,b=1,c= 3, → → ∴ F1(- 3,0),F2( 3,0),∴ MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → 2 2 ∵ MF1· MF2<0,∴ (- 3-x0)( 3-x0)+y2 0<0,即 x0-3+y0<0. 2 x0 2 2 ∵ 点 M(x0, y0)在双曲线上, ∴ -y2 即 x2 ∴ 2+2y2 ∴ - 0=1, 0=2+2y0, 0-3+y0<0, 2 3 3 <y0< .选 A. 3 3 → → (2)如图所示,渡船速度为OB,水流速度为OA,

→ 船实际垂直过江的速度为OD, → 25 → 依题意知|OA|= ,|OB|=25. 2 → → → → → → → →2 ∵OD=OB+OA,∴OD· OA=OB· OA+OA , → → → → ∵OD⊥OA,∴OD· OA=0, 25?2 25 ∴25× cos(∠BOD+90° )+? ? 2 ? =0, 2 1 1 ∴cos(∠BOD+90° )=- ,∴sin∠BOD= , 2 2 ∴∠BOD=30° ,∴航向为北偏西 30° .选 A. (3)①若 m⊥n,则 m· n=0. 2 2 由向量数量积的坐标公式得 sin x- cos x=0, 2 2 ∴ tan x=1. π ②∵ m 与 n 的夹角为 , 3

π , 3 2 2 1 即 sin x- cos x= , 2 2 2 π 1 ? ∴ sin? ?x-4?=2. π? π ? π π? π π 5π 又∵ x∈? ?0,2?,∴ x-4∈?-4,4?,∴ x-4=6,即 x=12. ∴ m· n=|m|· |n|cos (1)向量的两个作用:①载体作用:关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”, 转化为我们熟悉的数学问题;②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问 题. (2)平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等 知识结合,熟悉向量的各种运算,掌握其性质是解决此类题目的关键. 1.已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的 → → 动点,则|PA+3PB|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选 C.以 D 为原点,分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角 坐标系,设 DC=a,DP=x.

∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x), → → → → PA=(2,-x),PB=(1,a-x),∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.故选 C. 2.已知两个力 F1,F2 的夹角是直角,且它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60° ,|F|=10 N, 则 F1 和 F2 的大小分别是________N. → → 解析:如图所示,OC表示 F1,OA表示 F2,

→ → 以OC与OA为邻边作矩形 OADC, 1 → 则OD表示 F,在 Rt△OCD 中,∠COD=60° ,|F|=10(N),∴|F1|=|F|cos 60° =10× = 2 5(N), 3 → ∴|CD|=|F|sin 60° =10× =5 3(N), 2 → 又∵|F2|=|CD|,∴|F2|=5 3(N), ∴F1 和 F2 的大小分别为 5 N 和 5 3 N. 答案:5,5 3 x2 y2 → → 3.P 是椭圆 + =1 上一点,EF 为圆 N:x2+(y-1)2=1 的任一条直径,求PE· PF的 16 12

最大值. → → → → → → → → → → → → → 解:因PE· PF=(NE-NP)· (NF-NP)=(-NF-NP)· (NF-NP)=NP2-NF2=NP2-1,又 2 2 x y 因为 P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0), 16 12 x2 y2 4y2 1 2 → 0 0 0 2 2 则有 + =1,即 x0 =16- ,又 N(0,1),所以NP2=x2 0+(y0-1) =- y0-2y0+17 16 12 3 3 1 2 =- (y0+3) +20. 3 → → → 因为 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,故PE· PF的最大值为 19. 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos(A-B),sin(A-B)), 3 n=(cos B,-sin B),且 m· n=- . 5 (1)求 sin A 的值; → → (2)若 a=4 2,b=5,求角 B 的大小及向量BA在BC方向上的投影. 3 解:(1)由 m· n=- , 5 3 3 得 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=- ,所以 cos A=- . 5 5 3?2 4 因为 0<A<π,所以 sin A= 1-cos2A= 1-? ?-5? =5. 4 5× 5 a b bsin A 2 (2)由正弦定理,得 = ,则 sin B= = = ,因为 a>b,所以 A>B, sin A sin B a 4 2 2 3 π - ?,解得 c=1. 则 B= ,由余弦定理得(4 2)2=52+c2-2×5c×? ? 5? 4 → → 故向量BA在BC方向上的投影为 2 2 → |BA|cos B=ccos B=1× = . 2 2

一、选择题

1.(必修 4 P107 练习 T2 改编)设 x∈R,向量 a=(1,x),b=(2,-4),且 a∥b,则 a· b ) A.-6 B. 10 C. 5 D.10 解析:选 D.∵a=(1,x),b=(2,-4)且 a∥b, ∴-4-2x=0,x=-2,∴a=(1,-2),a· b=10,故选 D. 2.(必修 4 P119A 组 T10 改编)已知△ABC 的三个顶点 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则最小 角的余弦值为( ) 10 3 10 A. B. 10 10 1 10 C. D. 3 5 解析:选 B.由图可知,显然 C 为△ABC 的最小角, =(

→ → CA· CB → → → → ∵CA=(3,-3),CB=(4,-2),∴cos〈CA,CB〉= → → |CA||CB| 18 3 10 = = . 10 3 2· 2 5 3.(必修 4 P105 例 3 改编)已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)· (a-3b)=-18,则 a 与 b 的夹角 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选 B.(a+2b)· (a-3b)=-18, ∴a2-6b2-a· b=-18, ∵|a|=3,|b|=2,∴9-24-a· b=-18, a· b 3 1 ∴a· b=3,∴cos〈a,b〉= = = , |a||b| 6 2 ∴〈a,b〉=60° . 二、填空题 2π → → → → 4.(必修 4 P110 例 2 改编)△ABC 中,∠BAC= ,AB=2,AC=1,DC=2BD,则AD· BC 3 =________. → → 解析:由DC=2BD得 → 1 → → AD= AC +2AB . 3 → → 1 → → → 1 → → · → → → ∴AD· BC= AC+2AB (AC-AB)= AC 2+AC· AB-2AB2 3 3 1? 1 2 8 2? = ? 1 +1×2×? ?-2?-2×2 ?=-3. 3? 8 答案:- 3 5.(必修 4 P106 练习 T3 改编)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0, 则|a+b-c|的最大值为________. 解析:由(a-c)· (b-c)≤0, 得 a· b-a· c-b· c+c2≤0,又 a· b=0, 且 a,b,c 均为单位向量,得-a· c-b· c≤-1, 2 2 2 2 2 |a+b-c| =(a+b-c) =a +b +c +2(a· b-a· c-b· c) =3+2(-a· c-b· c)≤3-2=1, 故|a+b-c|的最大值为 1. 答案:1 三、解答题 6.(必修 4 P119B 组 T1(5)改编)若 e1,e2 是夹角为 60° 的两个单位向量,求 a=2e1+e2,b =-3e1+2e2 的夹角. 解:∵|e1|=|e2|=1,且夹角 θ=60° , ∴|a|2=(2e1+e2)2=4e21+4e1· e2+e22 =4×12+4×1×1×cos 60° +12=7. ∴|a|= 7. |b|2=(-3e1+2e2)2=9e21-12e1· e2+4e22 为(

(

)

(

)

(

)

=9×12-12×1×1×cos 60° +4×12=7, ∴|b|= 7. a· b=(2e1+e2)· (-3e1+2e2) =-6e21+e1· e2+2e22 7 2 =-6×1 +1×1×cos 60° +2×12=- , 2 7 - 2 a· b 1 ∴cos θ= = =- . |a|· |b| 2 7× 7 2π 又 0≤θ≤π,∴θ= . 3 2 故 a 与 b 的夹角为 π. 3

一、选择题

1.设向量 a=(1,2),b=(x,1),当向量 a+2b 与 2a-b 平行时,a· b 等于( ) A.1 B.2 5 7 C. D. 2 2 [导学号 03350399] 解析:选 C.由已知得 a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3).因为向 1 ? 1 1 ,1 , 量 a+2b 与 2a-b 平行, 所以 3(1+2x)-4(2-x)=0, 解得 x= , 所以 b=? a · b = 1 × 2 ? ? 2 2 5 +2×1= .故选 C. 2 2.已知向量 a=(1,x),b=(-1,x),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=( ) A. 2 B. 3 C.2 D.4 [导学号 03350400] 解析:选 C.由已知得 2a-b=(3,x),而(2a-b)· b=0?-3+x2= 0?x2=3,所以|a|= 1+x2= 4=2.故选 C. 3.已知平面向量 a,b 均为单位向量,且 a 与 b 的夹角为 120° ,则|2a+b|=( ) A. 3 B. 7 C.3 D.7 [导学号 03350401] 解析:选 A.由题意,得|2a+b|2=(2a+b)2=4|a|2+4|a|· |b|cos 120° + 2 |b| =3,∴|2a+b|= 3.故选 A. 4.a,b 是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)⊥a,则 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° [导学号 03350402] 解析: 选 C.∵(a+b)· a=|a|2+b· a=|a|2+|b||a|cos θ=1+2×1×cos θ 1 =0,∴cos θ=- .∵θ∈[0,π],∴θ=120° .故选 C. 2 → → 5.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 → → [导学号 03350403] 解析:选 B.因为AC· BD=1×(-4)+2×2=0,所以 AC⊥BD.设四 1 边形 ABCD 对角线交于 O 点(图略),则四边形的面积等于四个三角形的面积之和,即 S= 2

1 → → → → (AO· DO+AO· BO+CO· DO+CO· BO)= (|AC|· |BD|).容易算出|AC|= 5,|BD|=2 5,代入 2 得 S=5.故选 B. 6.若|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a-b 与 b 的夹角为( ) π π A. B. 6 3 5π 2π C. D. 6 3 [导学号 03350404] 解析:选 C.由于|a+b|2=|a-b|2,得 a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2, 得 a· b=0. 又|a-b|2=4a2,得 a2-2a· b+b2=4a2,得 b2=3a2,(a-b)· b=-b2,设 a-b 与 b 的夹 ?a-b?· b -b2 -3a2 3 5π 角为 θ,则 cos θ= = = 2=- 2 ,由于 θ∈[0,π],所以 θ= 6 ,故选 |a-b||b| 2|a|· 3|a| 2 3a C. 3 → → 7.在△ABC 中,sin A= ,AB· AC=8,则△ABC 的面积为( ) 5 A.3 B.4 12 C.6 D. 5 → → → → [导学号 03350405] 解析:选 A.∵AB· AC=|AB|· |AC|· cos A=8>0,∴cos A>0, 3 4 ?2 ∴cos A= 1-sin2A= 1-? ?5? =5, 8 5 → → ∴|AB|· |AC|= =8× =10. cos A 4 1→ → 1 3 ∴S△ABC= |AB|· |AC|· sin A= ×10× =3,即△ABC 的面积为 3.故选 A. 2 2 5 → → 8.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [导学号 03350406] 解析:选 B.法一:因为已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的 → 1→ → → → → → → → → → → →2 AD+ AB? · 中点,则 AB · AD = 0 ,故 AE · BD = ( AD + DE )· ( BA + AD ) = ? 2 ? ( AD - AB ) = |AD | - ? 1 → → 1→ → 1 → 2 AD· AB+ AB· AD- |AB| =4-0+0- ×4=2.故选 B. 2 2 2 法二: 将正方形放在直角坐标系中(图略), 其中正方形的四个顶点坐标为 A(0,0), B(2,0), → → C(2,2),D(0,2),E 为 CD 的中点,所以点 E 的坐标为(1,2),AE· BD=(1,2)×(-2,2)=1×(- 2)+2×2=2.故选 B. π 9.设 e1,e2 为单位向量,e1,e2 的夹角为 ,若 a=e1+3e2,b=2e1,则向量 a 在 b 方 3 向上的投影为( ) 3 A.1 B. 2 5 C.2 D. 2 a· b [导学号 03350407] 解析:选 D.向量 a 在 b 方向上的射影为|a|cos〈a,b〉= ,又|b| |b| 1 a· b 5 =2,a· b=(e1+3e2)· 2e1=2+6e1· e2=2+6× =5,所以向量 a 在 b 方向上的投影为 = . 2 |b| 2 故选 D. 10.已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 F 是 AB 的中点,点 E 是对角线 AC 上的动点, → → 则DE· FC的最大值为( )

A.1 C.3

B.2 D.4

→ → [导学号 03350408] 解析:选 B.以 A 为坐标原点,AB、AD方向分别为 x 轴、y 轴的正 → 方向建立平面直角坐标系(图略),则 F(1,0),C(2,2),D(0,2),设 E(λ,λ)(0≤λ≤2),则DE= → → → (λ,λ-2),FC=(1,2),所以DE· FC=3λ-4≤2. → → ∴DE· FC的最大值为 2.故选 B. 11.甲、 乙两位同学参加 2016 年的自主招生考试, 下火车后两人共同提起一个行李包(如 2 图所示),设他们所用的力分别为 F1,F2,行李包所受重力为 G,若|F1|=|F2|= |G|,则 2 F1 与 F2 的夹角 θ 的大小为( )

π π A. B. 6 4 π π C. D. 3 2 [导学号 03350409] 解析:选 D.由力的平衡可知 F1+F2+G=0,F1+F2=-G,两边 π 2 平方,得 F2 F2=(-G)2,由条件得 F1· F2=0,故 F1 与 F2 的夹角 θ 的大小为 .故 1+F2+2F1· 2 选 D. 12.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos A,sin A), 向量 n=( 2-sin A,cos A),若|m+n|=2.则内角 A 的大小为( ) π π A. B. 6 4 3π 5π C. D. 4 6 2 [导学号 03350410] 解析: 选 B.|m+n| =(cos A+ 2-sin A)2+(sin A+cos A)2=4+2 2 π ? (cos A-sin A)=4+4cos? ?4+A?. π ? ?π ? ∵4+4cos? ?4+A?=4,∴cos?4+A?=0. π π π ∵A∈(0,π),∴ +A= ,∴A= . 4 2 4 二、填空题 13.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,k),若 a 与 b 共线,则|3a+b|=________. [导学号 03350411] 解析:∵a 与 b 共线,∴1×k-2×(-2)=0,解得 k=-4,∴3a +b=(1,2),|3a+b|= 5. 答案: 5 14. 已知向量 m=(2x, -1), n=(x, ln x), 若 f(x)=m· n, 则 f(x)的单调递减区间为________. 2 1 4x -1 [导学号 03350412] 解析:f(x)=m· n=2x2-ln x(x>0),令 f′(x)=4x- = ≤0, x x 1 解得 0<x≤ . 2 1? 答案:? ?0,2? → → → → 15.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP· BP=2, → → 则AB· AD的值是________.

→ → → → 1→ → → → → [导学号 03350413] 解析:由题意,得AP=AD+DP=AD+ AB,BP=BC+CP=BC+ 4 3 → → 3→ → → ? → 1 →? ? → 3 →? → 2 1 → → 3 → 2 CD=AD- AB,∴AP· BP=?AD+4AB?· AB- |AB| ,即 2=25 ?AD-4AB?=|AD| -2AD· 4 4 16 1→ → 3 → → - AD· AB- ×64,解得AD· AB=22. 2 16 答案:22 16.已知 i 和 j 为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且 a 与 b 的夹角为锐角, 则实数 λ 的取值范围是________. a· b [导学号 03350414] 解析:cos〈a,b〉= |a||b| ?1,-2?· ?1,λ? 1-2λ = 2 = 5× 1+λ 5× 1+λ2 1-2λ ∵〈a,b〉为锐角,∴0< <1, 5× 1+λ2

?1-2λ>0 ∴? ?1-2λ< 5· 1+λ2
1 ∴λ< 且 λ≠-2. 2

1 ? ?λ<2, ?? ?λ2+4λ+4>0. ?

1? 答案:(-∞,-2)∪? ?-2,2?


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