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2016年江西省高中毕业班新课程教学质检数学试卷(理科)(4月份)(解析版)


2016 年江西省高中毕业班新课程教学质检数学试卷(理科) (4 月份)
一、选择题 1.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的元素个数为( A.4 B.5 C.6 D.9 2.已知 i 是虚数单位,则 对应的点在复平面的( )



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下

列函数中是偶函数且值域为(0,+∞)的函数是( A.y=|tanx| B.y=lg C.y=x ) D.y=x﹣2



4.函数 y=|sinxcosx+ |的周期是( A. B. C.π D.2π

5.一个棱长为 4 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为( )

A.40

B.

C.56

D. |?| |

6.过圆 x2+y2=1 上一点作该圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则| 有( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值 2 D.最小值 2 7.执行如图所示的程序框图,则输出结果 s 的值为( )

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A.﹣

﹣1 B.﹣1 C.0

D.1

8.不等式组

表示的平面区域的面积为(



A.

B. π C.π

D.3π

9.设 p:? x∈R,x2﹣4x+3m>0,q:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(﹣∞,+∞)内单调递增, 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知函数 f(x)=ex﹣(x+1)2(e 为自然对数的底数) ,则 f(x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

11.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发, 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 =λ +μ ,下列判断正确的是 ( )

A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C.满足 λ+μ=a(a>0)的点 P 最多有 3 个 D.λ+μ 的最大值为 3 12.设 F 是双曲线 ﹣ =1 的右焦点,双曲线两渐近线分别为 l1,l2,过点 F 作直线 l1

的垂线,分别交 l1,l2 于 A,B 两点,若 A,B 两点均在 x 轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则 双曲线的离心率 e 为( )
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A.

B.2

C.

D.

二、填空题 13. (sinx+1)dx 的值为 . .

14.设(2x+1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5 则 a4= 15.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )= … , ; . (x>0) ,观察:

根据以上事实,当 n∈N*时,由归纳推理可得:fn(1)= . 16.如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,∠BCD=120°,则四 边形 ABCD 的面积的最大值是 .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知各项均为正数的数列{an}满足,对任意的正整数 m,n 都有 am?an=2m+n+2 成立. (Ⅰ)求数列{log2an}的前 n 项和 Sn; (Ⅱ)设 bn=an?log2an(n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18. 某课题组对全班 45 名同学的饮食习惯进行了一次调查, 并用茎叶图表示 45 名同学的饮 食指数.说明:如图中饮食指数低于 70 的人被认为喜食蔬菜,饮食指数不低于 70 的人被认 为喜食肉类 (1)根据茎叶图,完成下面 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为喜食蔬菜还是喜 食肉类与性别有关,说明理由: 喜食蔬菜 喜食肉类 合计 男同学 女同学 合计 (2)根据饮食指数在[10,39],[40,69],[70,99]进行分层抽样,从全班同学中抽取 15 名同学进一步调查,记抽取到的喜食肉类的女同学为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ 下面公式及临界值表仅供参考:附:X2=

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P(K2≥k) k

0.100 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

19.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD=2BC=2,EA⊥EB,点 F 满足 =2 . (1)求证:直线 EC∥平面 BDF; (2)求二面角 D﹣BF﹣A 的余弦值.

20.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点为 B,过点 B 且互相垂直的动直线 l1,l2 与

椭圆的另一个交点分别为 P,Q,若当 l1 的斜率为 2 时,点 P 的坐标是(﹣ ,﹣ ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 PQ 与 y 轴相交于点 M,设 =λ ,求实数 λ 的取值范围.

21.已知函数 f(x)= x2﹣2ax+lnx(a∈R) ,x∈(1,+∞) . (1)若函数 f(x)有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围; (2)对于函数 f(x) 、f1(x) 、f2(x) ,若对于区间 D 上的任意一个 x,都有 f1(x)<f(x) <f2(x) ,则称函数 f(x)是函数 f1(x) 、f2(x)在区间 D 上的一个“分界函数”.已知 f1 2 (x)=(1﹣a )lnx,f2(x)=(1﹣a)x2,问是否存在实数 a,使得 f(x)是函数 f1(x) 、 f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”?若存在,求实数 a 的取值范围;若不存在, 说明理由. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。[选修 4-1:几何证明选讲]
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22.如图,△ABC 的外接圆为⊙O,延长 CB 至 Q,延长 QA 至 P,使得 QA 成为 QC,QB 的等比中项. (Ⅰ)求证:QA 为⊙O 的切线; (Ⅱ)若 AC 恰好为∠BAP 的平分线,AB=4,AC=6,求 QA 的长度.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在平面直角坐标系中.直线 l 的参数方程为

(其中 t 为参数) ,现以坐标

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=x2+mx+4. (Ⅰ)当 x∈(1,2)时,不等式 f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若不等式| |<1 的解集中的整数有且仅有 1,2,求实数 m 的取值范围.

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2016 年江西省高中毕业班新课程教学质检数学试卷(理 科) (4 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x﹣y|x∈A,y∈A}的元素个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.9 【考点】集合的表示法;元素与集合关系的判断. 【分析】可分别让 x 取 0,1,2,而 y=0,1,2,这样可以分别求出 x﹣y 的值,即得出所 有 x﹣y 的值,从而得出集合 B 的所有元素,这样便可得出集合 B 的元素个数. 【解答】解:①x=0 时,y=0,1,2,∴x﹣y=0,﹣1,﹣2; ②x=1 时,y=0,1,2,∴x﹣y=1,0,﹣1; ③x=2 时,y=0,1,2,∴x﹣y=2,1,0; ∴B={0,﹣1,﹣2,1,2},共 5 个元素. 故选:B.

2.已知 i 是虚数单位,则

对应的点在复平面的(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 【解答】解:∵ ∴ = 对应的点在复平面的坐标得答案. ,

对应的点在复平面的坐标为(1,﹣1) ,在第四象限.

故选:D. 3.下列函数中是偶函数且值域为(0,+∞)的函数是( A.y=|tanx| B.y=lg C.y=x D.y=x﹣2 )

【考点】函数奇偶性的判断;函数的值域. 【分析】根据 y=|tanx|的图象便可得出该函数的值域为[0,+∞) ,从而选项 A 错误,而容 易判断 B,C 函数都是奇函数,从而 B,C 错误,对于 D,容易判断 y=x﹣2 为偶函数,并且 值域为(0,+∞) ,从而便得出正确选项. 【解答】解:A.y=|tanx|的值域为[0,+∞) ,∴该选项错误; B.解 且 得,x<﹣1,或 x>1; ;

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∴ C.

为奇函数,∴该选项错误; 的定义域为 R,且 ;

∴该函数为奇函数,∴该选项错误; D.y=x﹣2 的定义域为{x|x≠0},且(﹣x)﹣2=x﹣2; ∴该函数为偶函数; 且 x﹣2>0,即该函数的值域为(0,+∞) ,∴该选项正确. 故选:D.

4.函数 y=|sinxcosx+ |的周期是( A. B. C.π D.2π



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】根据函数 y=|sinxcosx+ |的周期和函数 y= sin2x 的周期相同,利用正弦函数的单 调性得出结论. 【解答】解:函数 y=|sinxcosx+ |=| sin2x+ |的周期和函数 y= sin2x 的周期相同, 故它的周期为 故选:C. 5.一个棱长为 4 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为( ) =π,

A.40

B.

C.56

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由三视图知该几何体是一个正方体在上底相对角截去两个三棱锥, 由条件和三视图 求出几何元素的长度,由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积. 【解答】解:根据题意和三视图知几何体是一个正方体在上底相对角截去两个三棱锥, 画出几何体的直观图,如图所示: ∵正方体的棱长是 4,且沿其棱的中点截去,
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∴该几何体的体积 V=4×4×4﹣2× = ,

故选:D.

6.过圆 x2+y2=1 上一点作该圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则| 有( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值 2 D.最小值 2 【考点】直线与圆的位置关系;圆的切线方程. 【分析】设直线 AB 的方程为

|?|

|

=1, (a>0,b>0) ,由直线 bx+ay﹣ab=0 与圆 x2+y2=1

相切,得到(ab)2=a2+b2≥2ab,由此能求出| |?| |有最小值 2. 【解答】解:过圆 x2+y2=1 上一点作该圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点, 设直线 AB 的方程为 =1, (a>0,b>0) ,

即 bx+ay﹣ab=0, ∵直线 bx+ay﹣ab=0 与圆 x2+y2=1 相切, ∴ =1,∴(ab)2=a2+b2≥2ab,

∴ab≥2, ∴| |?| |有最小值 2. 故选:C. 7.执行如图所示的程序框图,则输出结果 s 的值为( )

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A.﹣

﹣1 B.﹣1 C.0

D.1

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出 s=cos +…+cos 的值,利用余弦函数的周期性即可计算求值. +cos +cos +cos +cos

【解答】解:模拟执行程序,可得程序框图的功能是计算并输出 s=cos +…+cos 的值, +cos +…+cos

∵由余弦函数的图象和性质可得:cos Z, 又∵2016=336×6, ∴可得:s=(cos cos =﹣cos672π =﹣1. 故选:B. +cos +cos

=0,k∈

+…+cos2π)+…+(cos

+…+cos

)﹣

8.不等式组

表示的平面区域的面积为(



A.

B. π C.π

D.3π

【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,结合相应的面积公式即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:

OA 的斜率 k= ,OB 的斜率 k=﹣ ,
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则 tan∠AOB=

=1,

则 D 是圆心角为 故面积为: π?4= 故选:A.

,半径为 2 的扇形, ,

9.设 p:? x∈R,x2﹣4x+3m>0,q:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(﹣∞,+∞)内单调递增, 则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】函数单调递增等价于导函数大于等于 0 恒成立,故判别式小于等于 0,求出命题 p 的等价条件,得到 p,q 的关系.从而得解. 【解答】解:∵p:? x∈R,x2﹣4x+3m>0, ∴△=16﹣12m<0,解得:m> , q:f(x)=x3+2x2+mx+1 在(﹣∞,+∞)内单调递增, ∴f′(x)=3x2+4x+m≥0 恒成立, ∴△=16﹣12m≤0, 解得 m≥ , ∴p 是 q 的充分不必要条件, 故选:A. 10.已知函数 f(x)=ex﹣(x+1)2(e 为自然对数的底数) ,则 f(x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】求出导函数,利用导函数判断函数的单调性.根据数形结合,画出函数的图象,得 出交点的横坐标的范围,根据范围判断函数的单调性得出选项. 【解答】解:f'(x)=ex﹣2(x+1)=0, 相当于函数 y=ex 和函数 y=2(x+1)交点的横坐标,画出函数图象如图:

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由图可知﹣1<x1<0,x2>1,且 x>x2 时,f'(x)>0,递增, 故选 C. 11.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发, 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 =λ +μ ,下列判断正确的是 ( )

A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C.满足 λ+μ=a(a>0)的点 P 最多有 3 个 D.λ+μ 的最大值为 3 【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】可分别以 AB,AD 所在直线为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,并设正方形边 长为 1,P(x,y) ,x,y∈[0,1],可求 A,B,E 三点坐标,从而可写出向量

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的坐标, 带入

y) = μ) 便可得到 (x, (λ﹣μ, , 从而得到



这样便可判断每个选项的正误,从而得出正确选项. 【解答】解:以 AB,AD 所在直线分别为 x,y 轴,建立如图所示平面直角坐标系,

设正方形边长为 1,P(x,y) ,则: A(0,0) ,B(1,0) ,E(﹣1,1) ; ∴ ∴由 ; 得, (x,y)=(λ﹣μ,μ) ;





∴满足 λ+μ=2 的点 P 有线段 BC 的中点和 D 点; 满足 λ+μ=1 的点 P 有 B 点和线段 AD 的中点; 满足 λ+μ=a(a>0)的点最多有 2 个; x=1,y=1 时,λ+μ 取最大值 3. 故选 D.

12.设 F 是双曲线



=1 的右焦点,双曲线两渐近线分别为 l1,l2,过点 F 作直线 l1

的垂线,分别交 l1,l2 于 A,B 两点,若 A,B 两点均在 x 轴上方且|OA|=3,|OB|=5,则 双曲线的离心率 e 为( ) A. B.2 C. D.

【考点】双曲线的简单性质.

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【分析】运用勾股定理,可得|AB|=4,设出直线 l1:y= x,直线 l2:y=﹣ x,由直线 l1

到直线 l2 的角的正切公式,可得 tan∠AOB= 式计算即可得到所求值. 【解答】解:在直角三角形 AOB 中,|OA|=3,|OB|=5, 可得|AB|= 可得 tan∠AOB= =4, = ,

= ,求得 b=2a,运用离心率公

由直线 l1:y= x,直线 l2:y=﹣ x, 由直线 l1 到直线 l2 的角的正切公式,可得 tan∠AOB= = ,

化简可得 b=2a, 即有 e= = 故选:C. 二、填空题 13. (sinx+1)dx 的值为 2 . = .

【考点】定积分. 【分析】本题考查的知识点是简单复合函数的定积分,要求∫﹣11(sinx+1)dx,关键是关键 找准被积函数的原函数. 【解答】解:所求的值为(x﹣cosx)|﹣11 =(1﹣cos1)﹣(﹣1﹣cos(﹣1) ) =2﹣cos1+cos1 =2. 故答案为:2. 14.设(2x+1)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5 则 a4= 80 . 【考点】二项式定理的应用. 【分析】根据(2x+1)5=[2(x+1)﹣1]5,利用通项公式求得展开式中(x+1)4 的系数 a4 的值. 【解答】解: (2x+1)5=[2(x+1)﹣1]5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5, ∴a4= ?24?(﹣1)1=﹣80,
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故答案为:80.

15.设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )= … ,

(x>0) ,观察:

; .

根据以上事实,当 n∈N*时,由归纳推理可得:fn(1)=

(n∈N*) .

【考点】数列递推式. 【分析】 根据已知中函数的解析式, 归纳出函数解析中分母系数的变化规律, 进而得到答案. 【解答】解:由已知中设函数 f(x)= f1(x)=f(x)= f2(x)=f(f1(x) )= f3(x)=f(f2(x) )= f4(x)=f(f3(x) )= … 归纳可得:fn(x)= , (n∈N*) , ; . (x>0) ,观察:

∴fn(1)=

=

(n∈N*) ,

故答案为:

(n∈N*)

16.如图所示,在平面四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,∠DAB=60°,∠BCD=120°,则四 边形 ABCD 的面积的最大值是 3 .

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【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】由题意和三角形的面积公式易得 S△ ABD,设∠CBD=θ,在三角形 BCD 中由正弦定 理可得 DC=4sinθ,BC=4sin(60°﹣θ) ,可得四边形 ABCD 的面积 S=2 +4 sinθsin(60° ﹣θ) ,化简由三角函数的最值可得. 【解答】解:在三角形 ABD 中,由余弦定理可得 BD= ∴S△ ABD= ?AD?AB?sin60°=2 在三角形 BCD 中由正弦定理可得 ,设∠CBD=θ, = = =4, =2 ,

变形可得 DC=4sinθ,BC=4sin(60°﹣θ) , ∴S△ BCD= ?DC?BC?sin∠BCD=4 ∴四边形 ABCD 的面积 S=2 =2 =2 =2 = = +4 sinθ( +4 sinθsin(60°﹣θ) , sinθsin(60°﹣θ)

cosθ﹣ sinθ) sin2θ) cos2θ)

+(6sinθcosθ﹣2 +(3sin2θ﹣ + +2 (

sin2θ+ cos2θ)

+2 sin(2θ+30°) 又 0°<θ<60°,∴当且仅当 θ=30°时,S 取最大值 3 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知各项均为正数的数列{an}满足,对任意的正整数 m,n 都有 am?an=2m+n+2 成立. (Ⅰ)求数列{log2an}的前 n 项和 Sn; (Ⅱ)设 bn=an?log2an(n∈N*) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)通过令 am?an=2m+n+2 中 m=n,进而可知 an=2n+1,计算可知 log2an=n+1; (Ⅱ)通过(I)可知 bn=(n+1)?2n+1(n∈N*) ,进而利用错位相减法计算即得结论. m+n+2 【解答】解: (Ⅰ)∵am?an=2 , ∴ =22n+2,

又∵an>0, ∴an= =2n+1,

∴log2an=log22n+1=n+1; (Ⅱ)由(I)可知 bn=an?log2an=(n+1)?2n+1(n∈N*) , 2 3 n+1 ∴Tn=2?2 +3?2 +…+(n+1)?2 , 2Tn=2?23+3?34+…+n?2n+1+(n+1)?2n+2,
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两式相减得:﹣Tn=2?22+23+34+…+2n+1﹣(n+1)?2n+2, 整理得:Tn=(n+1)?2n+2﹣4﹣(22+23+34+…+2n+1) =(n+1)?2n+2﹣4﹣ =(n+1)?2n+2﹣4+4﹣2n+2 =n?2n+2. 18. 某课题组对全班 45 名同学的饮食习惯进行了一次调查, 并用茎叶图表示 45 名同学的饮 70 食指数.说明:如图中饮食指数低于 的人被认为喜食蔬菜,饮食指数不低于 70 的人被认 为喜食肉类 (1)根据茎叶图,完成下面 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为喜食蔬菜还是喜 食肉类与性别有关,说明理由: 喜食蔬菜 喜食肉类 合计 男同学 女同学 合计 (2)根据饮食指数在[10,39],[40,69],[70,99]进行分层抽样,从全班同学中抽取 15 名同学进一步调查,记抽取到的喜食肉类的女同学为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ 下面公式及临界值表仅供参考:附:X2=

P(K2≥k) k

0.100 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

【考点】独立性检验的应用;极差、方差与标准差. 【分析】 (Ⅰ)根据统计数据,可得 2×2 列联表,根据列联表中的数据,计算 K2 的值,即 可得到结论; (Ⅱ)ξ 的可能取值有 0,1,2,3,求出相应的概率,可得 ξ 的分布列及数学期望. 【解答】解: (1)根据茎叶图,填写 2×2 列联表,如下;
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男同学 女同学 合计 计算观测值 K2=

喜食蔬菜 19 17 36

喜食肉类 6 3 9 =0.5625<2.706;

合计 25 20 45

对照数表得出,没有 90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关; (2)因为从喜食肉类同学中抽取 9× =3 人,所以 ξ 可能取值有 0,1,2,3.

P(ξ=0)=

=

,P(ξ=1)=

=

,P(ξ=2)=

=

,P(ξ=3)=

=



所以 ξ 的分布列是 ξ 0 P

1

2

3

所以 ξ 的期望值是 Eξ=0×

+1×

+2×

+3×

=1.

19.如图,直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB ⊥BC,AB=2CD=2BC=2,EA⊥EB,点 F 满足 =2 . (1)求证:直线 EC∥平面 BDF; (2)求二面角 D﹣BF﹣A 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连结 AC,交 BD 于 G,推导出 EC∥FG,由此能证明直线 EC∥平面 BDF. 2 ( )设 AB 的中点为 O 以 OD,OA,OE 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 利用向量法能求出二面角 D﹣BF﹣A 的余弦值. 【解答】证明: (1)连结 AC,交 BD 于 G, ∵AB∥CD,∴ ,

∴EC∥FG,又 EC?平面 BDF,FG? 平面 BDF, ∴直线 EC∥平面 BDF. 解: (2)设 AB 的中点为 O,∵△ABE 是等腰三角形, ∴EO⊥AB,又平面 EAB⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD,连结 OD, 则 OB∥DC,且 OB=DC, ∴OD∥BC,∴OD⊥AB, 如图,以 OD,OA,OE 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,
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则 A(0,1,0) ,B(0,﹣1,0) ,C(1,﹣1,0) ,D(1,0,0) ,E(0,0,1) , 平面 BFA 的法向量 =(1,0,0) , 设平面 BFD 的法向量是 =(x,y,z) , 则 ,

令 x=1,得 =(1,﹣1,2) , cos< >= = , .

∴二面角 D﹣BF﹣A 的余弦值为

20.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的上顶点为 B,过点 B 且互相垂直的动直线 l1,l2 与

椭圆的另一个交点分别为 P,Q,若当 l1 的斜率为 2 时,点 P 的坐标是(﹣ ,﹣ ) (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 PQ 与 y 轴相交于点 M,设 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1) 写出直线 l 的方程 y=2x+b, 由 P 点在直线上求得 b, 得到椭圆方程 , =λ

,求实数 λ 的取值范围.

再由点 P(﹣ ,﹣ )在椭圆上求得 a,则椭圆方程可求; (2)设直线 l1,l2 的方程分别为 y=kx+2, ,分别联立直线方程与椭圆方程,求

得 M,Q 的坐标,结合 =λ 求得实数 λ 的取值范围. 【解答】解: (1)l1 的斜率为 2 时,直线 l1 的方程为 y=2x+b. 由 l1 过点 P(﹣ ,﹣ ) ,得 ∴椭圆 C 的方程可化为 ,即 b=2.

, ,解得 a2=5.

由点 P(﹣ ,﹣ )在椭圆上,得

∴椭圆 C 的方程是


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(2)由题意,直线 l1,l2 的斜率存在且不为 0, 设直线 l1,l2 的方程分别为 y=kx+2, ,



,得(4+5k2)x2+20kx=0,



,同理,可得







,得



∴ ∵5k2+4>4, ∴0 ,



∴实数 λ 的取值范围为(

) .

21.已知函数 f(x)= x2﹣2ax+lnx(a∈R) ,x∈(1,+∞) . (1)若函数 f(x)有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围; (2)对于函数 f(x) 、f1(x) 、f2(x) ,若对于区间 D 上的任意一个 x,都有 f1(x)<f(x) <f2(x) ,则称函数 f(x)是函数 f1(x) 、f2(x)在区间 D 上的一个“分界函数”.已知 f1 2 (x)=(1﹣a )lnx,f2(x)=(1﹣a)x2,问是否存在实数 a,使得 f(x)是函数 f1(x) 、 f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”?若存在,求实数 a 的取值范围;若不存在, 说明理由. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,根据 f(x)有且只有一个极值点,得到 x2﹣2ax+1<0 恒成 立,求出 a 的范围即可; (2)根据“分界函数”的定义,只需 x∈(1,+∞)时,f(x)﹣(1﹣a)x2<0 恒成立且 f (x)﹣(1﹣a2)lnx>0 恒成立,判断函数的单调性,求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)f′(x)= ,x∈(1,+∞) ,

令 g(x)=x2﹣2ax+1,由题意得:g(x)在[1,+∞)有且只有 1 个零点, ∴g(1)<0,解得:a>1; (2)若 f(x)是函数 f1(x) 、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函数”, 则 x∈(1,+∞)时,f(x)﹣(1﹣a)x2<0 恒成立且 f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0 恒成立,

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令 h(x)=f(x)﹣(1﹣a)x2=(a﹣ )x2﹣2ax+lnx, 则 h′(x)= ,

①2a﹣1≤0 即 a≤ 时,当 x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)递减,且 h(1)=﹣ ﹣ a, ∴h(1)≤0,解得:﹣ ≤a≤ ; ②2a﹣1>0 即 a> 时,y=(a﹣ )x2﹣2ax 的图象开口向上, 存在 x0>1,使得(a﹣ ) ﹣2ax0>0,

从而 h(x0)>0,h(x)<0 在(1,+∞)不恒成立, 令 m(x)=f(x)﹣(1﹣a2)lnx= x2﹣2ax+a2lnx,

则 m′(x)=

≥0,m(x)在(1,+∞)递增,

由 f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0 恒成立,得:m(1)≥0,解得:a≤ , 综上,a∈[﹣ , ]时,f(x)是函数 f1(x) 、f2(x)在区间(1,+∞)上的一个“分界函 数”. 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。做答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,△ABC 的外接圆为⊙O,延长 CB 至 Q,延长 QA 至 P,使得 QA 成为 QC,QB 的等比中项. (Ⅰ)求证:QA 为⊙O 的切线; (Ⅱ)若 AC 恰好为∠BAP 的平分线,AB=4,AC=6,求 QA 的长度.

【考点】与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 【分析】 (Ⅰ)由已知可得 QC?QB=QA2,即 ,可得△QCA∽△QAB,进而∠

QAB=QCA,根据弦切角定理的逆定理可得 QA 为⊙O 的切线; (Ⅱ)根据弦切角定理可得 AC=BC=6,结合(I)中结论,可得 QC:QA=AC:AB=6:4, 进而得到答案.
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【解答】 (Ⅰ)证明:∵QA 成为 QC,QB 的等比中项, ∴QC?QB=QA2, 于是 ,

∴△QCA∽△QAB, ∴∠QAB=QCA, 根据弦切角定理的逆定理可得 QA 为⊙O 的切线, (Ⅱ)解:∵QA 为⊙O 的切线, ∴∠PAC=∠ABC,而 AC 恰好为∠BAP 的平分线, ∴∠BAC=∠ABC, 于是 AC=BC=6, ∴QC2﹣QA2=6QC,① 又由△QCA∽△QAB 得 QC:QA=AC:AB=3:2,② 联合①②消掉 QC,得 QA=7.2. [选修 4-4:坐标系与参数方程]

23.在平面直角坐标系中.直线 l 的参数方程为

(其中 t 为参数) ,现以坐标

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)消去参数 t 得普通方程为 y=x+4,根据极坐标公式进行转化即可得 C 的普通方 程. (2)求出圆的标准方程,利用直线和圆的位置关系进行求解即可. 【解答】解: (1)消去参数 t 得普通方程为 y=x+4, 由 ρ=4cosθ 得 ρ2=4ρcosθ,由 ,以及 x2+y2=ρ2,得 x2+y2=4x.

(2)由 x2+y2=4x 得(x﹣2)2+y2=4 得圆心坐标为(2,0) ,半径 R=2, 则圆心到直线的距离 d= 则 P 到直线 l 的距离的最大值是 3 =3 .

+2.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=x2+mx+4. (Ⅰ)当 x∈(1,2)时,不等式 f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)若不等式| |<1 的解集中的整数有且仅有 1,2,求实数 m 的取值范围.

【考点】二次函数的性质;其他不等式的解法.

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【分析】 (Ⅰ)x∈(1,2)时,不等式 f(x)<0 恒成立,即为

,解得即可,

(Ⅱ)先化简,得到|x+ |<1,解得﹣1﹣ <x<1﹣ ,再根据不等式| 的解集中的整数有且仅有 1,2,得到关于 m 的不等式组解的即可. 【解答】解: (Ⅰ)x∈(1,2)时,不等式 f(x)<0 恒成立, ∴ 即 解得 m≤﹣5 ∴实数 m 的取值范围(﹣∞,﹣5], (Ⅱ)| |=|x+ |<1,

|<1

∴﹣1<x+ <1, ∴﹣1﹣ <x<1﹣ ,

∵不等式|

|<1 的解集中的整数有且仅有 1,2,

∴0<﹣1﹣ ≤1,且 2<1﹣ ≤3, 解得﹣4<m≤﹣2, ∴实数 m 的取值范围(﹣4,﹣2].

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2016 年 8 月 23 日

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