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必修2——4.2.3直线与圆的方程的应用


§4.2.3 直线与圆的方程的应用

1

例1 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该 圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m 需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到 0.01)

思考:(用坐标法) 1.圆心和半径能直接求出吗? 2.怎样求出圆的方程? 3.怎样求出支柱A2P2的长度?

/>
2

解:建立图4.2-6所示的直角坐标系,使圆心在y轴上. 设圆心的坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的 方程是 x ? ? y ? b ? ? r . 下面确定b和r的值.
2 2 2

因为P,B都在圆上,所以它们的坐标是(0,4),(10,0) 2 2 都满足方程 x ? ? y ? b ? ? r 2 . 于是,得到方程组
?02 ? ? 4 ? b ? ? r 2 , ? ? 2 2 2 ?1 0 ? ? 0 ? b ? ? r , ?
2

解得b=-10.5,r2=14.52.
2

所以,圆的方程是 x 2 ? ? y ? 1 0 .5 ?
y

2

? 1 4 .5 .

x

3

把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程,得
? ?2 ? ?
2

?

y ? 1 0 .5 ? ? 1 4 .5 ,
2 2

即 y ? 1 0 .5 ?

1 4 .5 ? ? ? 2 ?
2
2

2

(P2的纵坐标y>0,平方根取正值).
2

所以

y ?

14 . 5 ? ( ? 2 ) ? 10 . 5

? 14 . 36 ? 10 . 5 ? 3 . 86

答:支柱A2P2的高度约为3.86m
4

例2 已知内接于圆的四边形的对角线互 相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条 边所对边长的一半.
证明: 如图4.2-7, 以四边形ABCD互相垂直 的对角线CA,DB所在直 线分别为x轴,y轴,建立 直角坐标系.设 A(a,0),B(0,b),C(c,0) ,D(0,d).
y B (0,b) C(c,0)

OM
N O’

A (a,0) x

D

(0,d)

5

过四边形ABCD外接圆的圆心O’分别作AC,BD,AD 的垂线,垂足分别为M,N,E,则M,N,E分别作线段 AC,BD,AD的垂足,垂足分别为M,N,E,则M,N,E分别 是线段AC,BD,AD的中点.由线段的中点坐标公式, 得 a?c b?d a d
xO ' ? x M ? 2 , yO ' ? y N ?
2

2

, xE ?
2

2
1 2

, yE ?
2

.

2
2

所以

O 'E ?

c a ? d d ? ? a ?b ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? ? 2 ? 2

?

b ? c .



BC ?

b ?c ,
2 2

y B (0,b)
C(c,0) O M A (a,0) x E D (0,d)
?a d ? ? , ? ?2 2 ?

所以

O 'E ?

1 2

BC .

N O’

6

第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表 示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为 代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
7

练习
1.求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得 的弦长.

8

练习
2.赵州桥的跨度是37.4 m,拱高7.2 m. 求这座 圆拱桥的拱圆方程.

9

练习
3.某圆拱桥的水面跨度20 m,拱高4 m. 现有一 船,宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从 桥下通过?

P

5 M O N
10

练习
4. 等 边 三 角 形 A B C 中 , 点 D , E 分 别 在 B C , A C 上 ,
且 BD ? 1 3 求 证 AP ? CP. BC , CE ? 1 3 CA , AD , BE 相 交 于 点 P.

A

P B

E C
11

D

解:以点B为坐标原点,建如 图所以直角坐标系. 设三角形ABC边长为6,则根据意 有B(0,0),D(2,0),C(6,0), B(O) E ? 5, 3 ? ,A ? 3, 3 3 ? (0,0) 则根据两点式可知 直线AD,与直线BE的方程,

y

A ? 3, 3

3

?
E

P

? 5, 3 ?

D (2,0)

C x (6,0)

12

AD : 3

y ? 0 3 ? 0

?

x ? 2 3? 2

, BE : y ? 3,

3 5

x.

? y ? 3 3x ? 6 ? 则有 ? 3 x. ?y ? 5 ? 解得x ? 15 7 0 ? 则 kCP ? 6 ? 3 3 ? ? , y ? 3 7 3

? 15 3 3 .即 点 P 坐 标 为 ? , ? 7 7 ?

? ?. ? ?

7 15 7

3 9

.

k C P ? k P A ? ? 1, 所 以 A P ? C P .
13


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