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2013届高考函数与导数练习题以及详细答案


天津尚学教育:南京路 235 号河川大厦 A 座五层 022-27057665

三、解答题 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(重庆文) )已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得
3

极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值;(2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x

) 在 [?3,3] 上的最大值.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(浙江文) )已知 a∈R,函数 f ( x) ? 4 x ? 2ax ? a
3

(1)求 f(x)的单调区间 (2)证明:当 0≤x≤1 时,f(x)+ 2 ? a >0.

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (天津文) ) 已知函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x) 的单调区间;

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a(a ? 0) 3 2

(II)若函数 f ( x) 在区间 (?2,0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III) 当 a ? 1 时 , 设函数 f ( x) 在区间 [t , t ? 3] 上的最大值为 M (t ) , 最小值为 m(t ) , 记

g (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 g (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(陕西文) )设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c
n

(n ? N ? , b, c ? R)

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;

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1

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错误!未指定书签。 . (2012 年高考(山东文) )已知函数 f ( x) ?

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828 ex

是自然对数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数.证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .[

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(辽宁文) )设 f ( x) ? ln x ?

x ? 1 ,证明:

3 ( x ? 1) 2 9( x ? 1) (Ⅱ)当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x?5
(Ⅰ)当 x﹥1 时, f ( x) ﹤

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(课标文) )设函数 f(x)= e -ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

x

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2

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错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江西文) )已知函数 f ( x) ? (ax ? bx ? c)e 在 ? 0,1? 上单
2 x

调递减且满足 f (0) ? 1, f (0) ? 0 . (1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f (? x) ? f ?( x) ,求 g ( x) 在 ? 0,1? 上的最大值和最小值.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖南文) )已知函数 f(x)=e -ax,其中 a>0.[@、中国^教 育出版&网~] (1)若对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合;[z (2)在函数 f(x)的图像上去定点 A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k, 证明:存在 x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 恒成立.

x

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖北文) )设函数 f ( x) ? ax (1 ? x) ? b( x ? 0) , n 为正整
n

数, a, b 为常数,曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 . (1)求 a, b 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值; (3)证明: f ( x ) ?

1 . ne

错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考 ( 广 东 文 ) ) ( 不 等 式 、 导 数 ) 设 a ?1 , 集 合

A ? ? x ? R x ?0? , B ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 , D ? A ? B .
(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x3 ? 3 ?1 ? a ? x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点. 错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (福建文) ) 已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

?

?

3 ? (a ? R), 且在 [0, ] 2 2

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3

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上的最大值为

? ?3
2

,

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)判断函数 f ( x) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(大纲文) )已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性;

1 3 x ? x 2 ? ax . 3

(Ⅱ)设 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的交 点在曲线 y ? f ( x) 上,求 a 的值.

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012

年 高 考 ( 北 京 文 )) 已 知 函 数

f ( x) ?

2

a? x ( 1 a ? 0 ), g ( x) ? x3 ? bx .

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a ? 3, b ? ?9 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 28,求 k 的取值范 围.

错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考 ( 安 徽 文 ) ) 设 定 义 在 (0,+ ? ) 上 的 函 数

f ( x) ? ax ?

1 ? b(a ? 0) ax

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值; (II)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ?

3 x ,求 a, b 的值. 2

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错误!未指定书签。 . (2012 年高考(天津理) )已知函数 f (x)=x ? ln (x+a) 的最小值为 0 ,其 中 a >0 . (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0,+?) ,有 f (x) ? kx 成立,求实数 k 的最小值;
2

(Ⅲ)证明

? 2i ? 1 ? ln (2n+1)<2 (n ? N
i =1

n

2

*

).

错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考 ( 新 课 标 理 ) ) 已 知 函 数 f ( x) 满 足 满 足

1 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ; 2
(1)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(浙江理) )已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(重庆理) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分.)

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设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线垂直于 2x 2

y 轴.
(Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x) 的极值.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(陕西理) )设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c
n

(n ? N ? , b, c ? R)

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设 xn 是 f n ( x ) 在 ?

?1 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 ,?, xn ? 的增减性. ?2 ?

错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考 ( 山 东 理 ) ) 已 知 函 数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常 ex

数 , e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数 ), 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线与 x 轴平 行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x) ? ( x ? x) f '( x) , 其 中 f ' ( x )为 f ( x) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意
2

x ? 0, g ( x) ? 1 ? e?2 .

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012

年 高 考 ( 辽 宁 理 )) 设

f ( x) ? ln( x ? 1) ? x ? 1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) ,曲线 y ? f ( x) 与
直线 y ?

3 x 在(0,0)点相切. 2

(Ⅰ)求 a, b 的值.

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(Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ?

9x . x?6

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江苏) )若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小 值,则称 x 0 为函数 y ? f ( x) 的极值点. 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ?[?2 , 2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖南理) )已知函数 f ( x) = ? e ? x ,其中 a≠0.
ax

(1) 若对一切 x∈R, f ( x) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的斜 率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在, 请说明理由.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖北理) )(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? rx ? xr ? (1 ? r ) ( x ? 0) ,其 中 r 为有理数,且 0 ? r ? 1 . 求 f ( x) 的 最小值; (Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题: 设 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数. 若 b1 ? b2 ? 1 ,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 ; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法 证明你所推广的命题. ..... 注:当 ? 为正有理数时,有求导公式 ( x? )? ? ? x? ?1 .

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错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考 ( 广 东 理 ) ) ( 不 等 式 、 导 数 ) 设 a ?1 , 集 合

A ? ? x ? R x ?0? , B ? x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 , D ? A ? B .
(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2 x3 ? 3 ?1 ? a ? x 2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

?

?

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(福建理) )已知函数 f ( x) ? e ? ax ? ex(a ? R) .
x 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P .

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(大纲理) )(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 设函数 f ( x) ? ax ? cos x, x ?[0, ? ] . (1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围.

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错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012

年 高 考 ( 北 京 理 )) 已 知 函 数

f ( x) ?

2

a? x ( 1 a ? 0 ), g ( x) ? x3 ? bx .

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点(1, c )处具有公共切线,求 a, b 的值; (2)当 a ? 4b 时,求函数 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值.
2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2012 年 高 考 ( 安 徽 理 )) ( 本 小 题 满 分 13 分 ) 设

f ( x) ? ae x ?

1 ? b(a ? 0) ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?

3 x ;求 a, b 的值. 2

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2012 年高考文科数学解析分类汇编:导数参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。 【答案】:C 【 解 析 】 : 由 函 数 f ( x) 在 x ? ?2 处 取 得 极 小 值 可 知 x ? ?2 , f ?( x) ? 0 , 则

xf ?( x) ? 0 ; x ? ?2 , f ?( x) ? 0 则 ?2 ? x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 , x ? 0 时 xf ?( x) ? 0
【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 错误!未找到引用源。 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函 数的单调性. 【 解 析 】 若 ea ? 2a ? eb ? 3b , 必 有 ea ? 2a ? eb ? 2b . 构 造 函 数 : f ? x ? ? e x ? 2 x , 则
f ? ? x ? ? e x ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? e x ? 2 x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其余选

项用同样方法排除. 错误!未找到引用源。

x?2 , 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 2 , x < 2 x2 1 1 时 , f ?( x) ? 0 , f ( x) ? ? ln x 为减函数 ; x > 2 时 , f ?( x) ? 0 , f ( x) ? ? ln x 为增函 x x
解 析 : f ?( x) ? 数,所以 x ? 2 为 f ( x) 的极小值点,选 D.

错误!未找到引用源。

解析:设 F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其

2 有且仅有两个不同零点 x1 , x2 .由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b .这样,必须且只须 F (0) ? 0 或 3 2 2 3 , 故 必 有 F ( b )? 0由 此 得 b ? 3 2 . 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 ? 1 F ( b) ? 0 , 因 为 F ( 0 ) 3 3 2 2 ) (? x1 x )3 ? ( x2 , 比 2 )较 系 数 y 得 ? x1 3 4 ? 1 , 故 x2 ? b ? 3 2 . 所 以 F ( x? 3 1 1 x ? x2 1 1 ? 0 ,故答案应选 B. x1 ? ? 3 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 ,由此知 y1 ? y2 ? ? ? 1 x1 x x1x x2 2 2 2? ??? y ?b

另解:令 f ( x) ? g ( x) 可得 设 y? ?

1 ? ?x ? b . x2

1 , y ?? ? ? x ? b x2

x1

x2

x

不妨设 x1 ? x 2 ,结合图形可知, x1 ? x 2 , 即 0 ? ? x1 ? x2 ,此时 x1 ? x 2 ? 0 , y 2 ? 错误!未找到引用源。 【答案】B

1 1 ? ? ? ? y1 ,即 y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B. x2 x1

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【解析】? y ?

1 2 1 x ? ln x,? y? ? x ? ,由y?≤0,解得-1≤x≤1,又x ? 0,? 0 ? x≤1, 2 x

故选 B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题. 错误!未找到引用源。 C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为 2a,如图,记两块白色区域的 面积分别为 S1,S2,两块阴影部分的面积分别为 S3,S4, 则 S1+S2+S3+S4=S 扇形 OAB= ? (2a) ? ? a ①,
2 2

1 4

而 S1+S3 与 S2+S3 的和恰好为一个半径为 a 的圆,即 S1+S3 +S2+S3 ? ? a ②.
2

①-②



S3=S4,









S3= ( S扇形EOD ? S扇形COD ) ? S正方形OEDC ?

1 2 ? a ? a2 , 所 以 . 2

S阴影 ? ? a 2 ? 2a 2 .
由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=

S阴影 S扇形OAB

?

? a 2 ? 2a 2 2 ? 1? . 2 ?a ?

【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面 积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解 .来年需注意几何概型 在实际生活中的应用. 错误!未找到引用源。 【答案】C 【解析】? f (0) ? ?abc, f (1) ? 4 ? abc, f (3) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ? ?abc ? f (0) , 又 f ?( x) ? 3( x ? 1)( x ? 3) ,所以 f ( x) 在 (??,1) 和 (3, ??) 上单调增加,在 (1,3) 上单调递 减,故 a ? 1 ? b ? 3 ? c ,? f (0) f (1) ? 0, f (0) f (3) ? 0 【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然 的思想. 错误!未找到引用源。 【解析】选 B

x 1? x ? g ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0, g ?( x) ? 0 ? x ? 0 ? g ( x) ? g (0) ? 0 g ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? g ?( x) ? ?
得: x ? 0 或 ?1 ? x ? 0 均有 f ( x) ? 0 错误!未找到引用源。 【答案】A
b 【 解 析 】 若 2a ? 2a ? 2b ? 3b , 必 有 2a ? 2 a? 2 ? b 2 . 构 造 函 数 : f ? x ? ? 2x ? 2 x , 则

排除 A, C , D

f ? ? x ? ? 2 x ? ln 2 ? 2 ? 0 恒成立,故有函数 f ? x ? ? 2x ? 2 x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立.其

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余选项用同样方法排除. 错误!未找到引用源。 【答案】D 【解析】 x ? ?2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x) f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为增;

?2 ? x ? 1,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x) f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为减; 1 ? x ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x) f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为减; x ? 2,1 ? x ? 0 ,由 (1 ? x) f ?( x) ? 0 ? f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为增.
【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于 0,则函数为增,当 导函数小于 0 则函数递减. 错误!未找到引用源。
x

解 析 : f ?( x) ? ( x ? 1)e , 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?1 , x < - 1
x x

时 , f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe 为减函数 ; x > - 1 时 , f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe 为增函数 ,所以

x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点,选 D.
错误!未找到引用源。 【解析】若函数 f ( x) ? a 在 R 上为减函数,则有 0 ? a ? 1 .函数
x

g ( x) ? (2 ? a) x 3 为增函数,则有 2 ? a ? 0 ,所以 a ? 2 ,所以“函数 f ( x) ? a x 在 R 上为
减函数”是“函数 g ( x) ? (2 ? a) x 为增函数”的充分不必要条件,选 A.
3

错误!未找到引用源。 考点分析:本题考察利用定积分求面积. 解 析 : 根 据 图 像 可 得 : y ? f ( x) ? ? x 2 ? 1 , 再 由 定 积 分 的 几 何 意 义 , 可 求 得 面 积 为
1 1 4 . S ? ? (? x 2 ? 1)dx ? (? x3 ? x)1 ?1 ? ?1 3 3

错误!未找到引用源。 【答案】C 【解析】? S阴影 ?

1 2 3 1 2 1 1 2 ( x ? x ) dx ? ( x ? x ) ? S正 ? 1 ,故 P ? ,答案 C ?0 6 3 2 0 6
1

【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力. 错误!未找到引用源。 答案 A 【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与 x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】 因为三次函数的图像与 x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者 极小值为零即可满足要求.而 f ?( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ?)( x ? 1) ,当 x ? ?1 时取得极值
2

由 f (1) ? 0 或 f (?1) ? 0 可得 c ? 2 ? 0 或 c ? 2 ? 0 ,即 c ? ?2 . 二、填空题

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错误!未找到引用源。

[解析] 如图 1, f ( x) ? ?
2

0? x? 1 ?2 x , 2 y , 1B 2 ? 2 x , ? x ? 1 1 2 ?
A (O) 图1 C 1 P x O

y M N D 1 图2 x

? 2x , 0 ? x ? 1 2 所以 y ? xf ( x ) ? ? , 2 1 ?? 2 x ? 2 x, 2 ? x ? 1

易知 ,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同 ,只是开口方向及顶点位置 不同,如图 2,封闭图形 MND 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积

?1 ? S= 1 2 2

1 4

.

错误!未找到引用源。 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题. 【解析】∵ y? ? 3ln x ? 4 ,∴切线斜率为 4,则切线方程为: 4 x ? y ? 3 ? 0 .

x, B 0 ? x ? 1 ?105 2 5 错误!未找到引用源。 [解析]如图 1, f ( x ) ? ? , 1 ?10 ? 10 x, 2 ? x ? 1
所以 y ? xf ( x ) ? ?

y

y M

P

? 10 x 2 , 0 ? x ?
2 1 2

1 2

?? 10 x ? 10 x, ? x ? 1

,

A

C 1 图1

x

N O D 1 图2

x

易知 ,y=xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同 ,只是开口方向及顶点位置 不同,如图 2,封闭图形 MNO 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积

?5 ? S= 1 2 2

5 4

.

[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少 的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路. 错误!未找到引用源。 【解析】由已知得 S ? 以a ?

?

a

0

x?

2 2 2 a 2 2 x |0 ? a ? a 2 ,所以 a 2 ? ,所 3 3 3

3

3

1

4 . 9

错误!未找到引用源。
1

2 【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 3

? x3 ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 1 1 2 2 ( x ? sin x ) dx ? ? ? cos x ? |?1 ? ? ? cos1? ? ? ? cos1? ? ? ? . ??1 ?3 ? ? 3 ? 3 3 3 ? 3 ?
【点评】 这里,许多学生容易把原函数写成

x3 ? cos x ,主要是把三角函数的导数公式记混 3

而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面 积等. 错误! 未找到引用源。 解析: 2 x ? y ? 1 ? 0 . y? |x ?1 ? 3 ?12 ? 1 ? 2 ,所以切线方程为 y ? 3 ? 2 ? x ? 1? , 即 2x ? y ? 1 ? 0 . 三、解答题

用心 爱心 专心

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错误!未找到引用源。 【答案】:(Ⅰ)
3

13 4 (Ⅱ) 27 27
2

【解析】::(Ⅰ)因 f ( x) ? ax ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax ? b 取得极值 故有 ?

由于 f ( x) 在点 x ? 2 处

12a ? b ? 0 ? f ?(2) ? 0 ? ?12a ? b ? 0 ? a ?1 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x3 ? 12 x ? c , f ?( x) ? 3x 2 ? 12

令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时 , f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上为 增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数. 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得极小 值

f (2) ? c ? 16 c ? 9













16 ? c ? 28



c ? 12





f (? 3 ? )

? f2 1 , ? , (? c f (2) 3 ? ? ) c ? 16 ? 9? ?4 因此 3 f ( x) 上 [?3,3] 的最小

值为 f (2) ? ?4 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值 ,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先 对函数 f ( x) 进行求导 , 根据 f ?(2) ? 0 =0, f (2) ? c ? 16 , 求出 a,b 的值 .(1) 根据函数

f ( x) =x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1 先求出函数中的参数 a,b 的值,再令导数等于 0,
求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负 ,当左正右负时有极大值 ,当左负右正时有 极小值.再代入原函数求出极大值和极小值 .(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大 小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值 ,端点函数值与极小值中最小的为函数 的最小值. 错误!未找到引用源。 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导 判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力. 【解析】(1)由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2a ,
2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 的单调递增区间为 ? ??, ?? ? . 当 a ? 0 时 , f ?( x) ? 12( x ?

a a )( x ? ) , 此 时 函 数 f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 为 6 6

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? a a? ?? , ?. ? 6 6?
(2)由于 0 ? x ? 1 ,当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4 x ? 2ax ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 .
3 3

当 a ? 2 时, f ( x) ? a ? 2 ? 4 x ? 2a(1 ? x) ? 2 ? 4 x ? 4(1 ? x) ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 .
3 3 3

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1, 0 ? x ? 1 ,则 g ?( x) ? 6 x ? 2 ? 6( x ?
3

2

3 3 )( x ? ). 3 3
? 3 ? ? ? 3 ,1 ? ? ? ?
+ 增 1 1

则有

x

0

? 3? ? ? 0, 3 ? ? ? ?
0

3 3

g ?( x) g ( x)
1



极小值

所以 g ( x) min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ? 0. 3 9
3

当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . 故 f ( x) ? a ? 2 ? 4 x ? 4 x ? 2 ? 0 .
3

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 解 :(1) f ?( x) ? x ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) , 由 f ?( x) ? 0 , 得
2

x1 ? ?1, x2 ? a ? 0

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1 ? ln x ? k 1? k 错误!未找到引用源。解:(I) f ?( x ) ? x ,由已知, f ?(1) ? ? 0 ,∴ k ? 1 . x e e 1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x ) ? x . ex

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x ) 在 (0, ??) 上是减函数, x x x 由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .

设 k ( x) ?

(III) 证明 : 由 (II) 可知 , 当 x ? 1 时 , g ( x) ? xf ?( x) ≤0<1+ e?2 , 故只需证明 g ( x ) ? 1? e?2 在

0 ? x ? 1时成立.
1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex 设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) ,

当 0 ? x ? 1时, e x >1,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . 另证:因为 g ( x) ? xf ?( x) ?

1 (1 ? x ? x ln x), ( x ? 0) , ex
用心 爱心 专心 19

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设 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h?( x) ? ? ln x ? 2 ,令 h?( x) ? ? ln x ? 2 ? 0, x ? e ,
?2

当 x ? (0, e ) 时 h?( x) ? 0 , h( x ) 单调递增;当 x ? (e ,??) 时 h?( x) ? 0 , h( x ) 单调递减.
?2 ?2

所以当 x ? 0 时, h( x) ? h(e ) ? 1 ? e ,

?2

?2

1 ? 1, ex 1 所以当 x ? 0 时 g ( x) ? x (1 ? x ? x ln x) ? 1 ? e ? 2 ,综上可知结论成立. e
而当 x ? 0 时 0 ? 错误!未找到引用源。 【答案与解析】

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【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式, 考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 错误!未找到引用源。 (Ⅰ) 解: f ? x ? 的定义域为 R , f ?? x ? ? e ? a ;
x

用心 爱心 专心

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若 a ? 0 ,则 f ??x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 R 总是增函数 若 a ? 0 ,令 f ??x ? ? 0 ,求得 x ? ln a ,所以 f ? x ? 的单增区间是 ?ln a , ? ? ? ; 令 f ??x ? ? 0 , 求得 x ? ln a ,所以 f ? x ? 的单减区间是 ?? ? , ln a (Ⅱ) 把 ?

?

?a ? 1 ? f ?? x ? ? e ? a
x

代入 ?x ? k ? f ??x ? ? x ? 1 ? 0 得: ?x ? k ? e ? 1 ? x ? 1 ? 0 ,
x

?

?

因为 x ? 0 ,所以 e ? 1 ? 0 ,所以: ?x ? k ? e ? 1 ? ? x ? 1 , x ? k ?
x
x

?

?

k?x?

x ?1 x ?1 ,所以: k ? x ?x x e ?1 e ?1

? x ?1 , ex ?1

( x ? 0) ?(*)

令 g ?x ? ?

e x ?e x ? x ? 2 ? x ?1 x ? ? ? g x ? , 则 , 由 (Ⅰ) 知 : h?x ? ? ?e ? x ? 2? 在 ? x 2 x x e ?1 ?e ? 1?

?0 , ? ??
单调递增,而 ?

?h?1? ? 0 ,所以 h ? x ? 在 ?0 , ? ? ? 上存在唯一零点 ? ,且 ? ? ?1 , 2 ? ; ?h?2? ? 0

故 g ?? x ? 在 ?0 , ? ? ? 上 也 存 在 唯 一 零 点 且 为 ? , 当 x ? ?0 , ? ? 时 , g ??x ? ? 0 , 当

x ? ?? , ? ?? 时 , g ??x ? ? 0 , 所 以 在 ?0 , ? ? ? 上 , g ?x ?min ? g ?? ? ; 由 g ??? ? ? 0
得: e ? ? ? 2 ,所以 g ?? ? ? ? ? 1 ,所以 g ?? ? ? ?2 , 3 ? ,
?

由于(*)式等价于 k ? g ?? ? ,所以整数的最大值为 2 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 【 解 析 】 (1) 由 f (0) ? c ? 1 , f (1) ? 0 ? c ? 1, a ? b ? ?1 , 则

f ( x) ? [ax 2 ? (a ? 1) x ? 1]e x , f '( x) ? (ax 2 ? (a ? 1) x ? a)e x , 依 题 意 须 对 于 任 意

x ? (0,1) ,有 f ?( x) ? 0 ,当 a ? 0 时,因为二次函数 y ? ax 2 ? (a ? 1) x ? a 的图像开口向上,
而 f ?(0) ? ?a ? 0 ,所以须 f ?(1) ? (a ? 1)e ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,当 a ? 1 时,对任意 x ? (0,1) , 有

f ?( x) ? ( x 2 ? 1)e x ? 0

,









;



a?0



,







x ? (0,1) , f ?( x) ? ? xe x ? 0 , f ( x) 符合要求,当 a ? 0 时,因 f ?(0) ? a ? 0 , f ( x) 不符合
条件,故 a 的取值范围为 0 ? a ? 1. (2)因 g ( x) ? (?2ax ? 1)e , g ?( x) ? (?2ax ? 1 ? a)e
x x

用心 爱心 专心

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当 a ? 0 时, g ?( x) ? e ? 0 , g ( x) 在 x ? 0 上取得最小值 g (0) ? 1 ,在 x ? 1 上取得最大值
x

g (1) ? e ;
当 a ? 1 时 , 对 于 任 意 x ? ( 0, 1) , 有 g ?( x) ? ?2 xe ? 0 , g ( x) 在 x ? 0 上 取 得 最 大 值
x

,在 x ? 1 上取得最小值 g (1) ? 0 ; g ( 0 )? 2 当 0 ? a ? 1时,由 g ?( x) ? 0 ? x ?

1? a ?0, 2a

错误!未找到引用源。 【解析】解: f ?( x) ? e ? a, 令 f ?( x) ? 0得x ? ln a .
x

当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单 调递减 ; 当 x ? ln a 时 f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增 , 故当

x ? ln a 时, f ( x) 取最小值 f (ln a) ? a ? a ln a.
于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

a ? a ln a ? 1.
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 a ? 1 时,①式成立. 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e x2 ? e x1 ? ? a. x2 ? x1 x2 ? x1

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令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? e ?
x

e x2 ? e x1 ,则 x2 ? x1

e x1 ? ? ( x1 ) ? ? e x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1? ? ?, x2 ? x1

? ( x2 ) ?

e x2 ? e x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1? ? ?. x2 ? x1
t t

令 F (t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t
x ?x x ?x 从而 e 2 1 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e 1 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0, 又

e x1 e x2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, 即 f ?( x0 ) ? k 成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能 力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出 f ( x) 取最 小值 f (ln a) ? a ? a ln a. 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 f ( x) min ? 1 从而得出求 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在 解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 【 解 析 】 (1) 因 为 f (1) ? b , 由 点 (1, b )在 x ? y ? 1 上 , 可 得

1 ? b ? 1? b ? 0
因为 f ?( x) ? ax
n ?1

? a(n ? 1) x n ,所以 f ?(1) ? ?a

又因为切线 x ? y ? 1 的斜率为 ?1 ,所以 ?a ? ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 1, b ? 0

n ? x) n ?1 n n 令 f ?( x) ? 0 ? x ? ,即 f ?( x) 在 (0, ??) 上有唯一的零点 x0 ? . n ?1 n ?1 n n 在 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调递增;而在 ( , ?? ) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调 n ?1 n ?1
(2)由(1)可知, f ( x) ? x (1 ? x) ? x ? x
n n n ?1

, f ?( x) ? (n ? 1) x n?1 (

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递减, 故 f ( x) 在 (0, ??) 的最大值为 f (

n n n n nn . )?( ) (1 ? )? n ?1 n ?1 n ? 1 (n ? 1) n ?1

(3)令 ? (t ) ? ln t ? 1 ? (t ? 0) ,则 ? ?(t ) ? ?

1 t

1 1 t ?1 (t ? 0) t t2 t2

在 (0,1) 上, ? ?(t ) ? 0 ,故 ? (t ) 单调递减,而在 (1, ??) 上, ? ?(t ) ? 0 , ? (t ) 单调递增, 故 ? (t ) 在 (0, ??) 上的最小值为 ? (1) ? 0 ,所以 ? (t ) ? 0(t ? 1) 即 ln t ? 1 ? (t ? 1) ,令 t ? 1 ? 所以 (

1 t

1 n ?1 1 n ? 1 n ?1 ,得 ln ,即 ln( ? ) ? ln e n n n ?1 n

nn 1 n ? 1 n?1 ? ) ? e ,即 n ?1 (n ? 1) ne n

nn 1 ? 由(2)知, f ( x) ? ,故所证不等式成立. n ?1 (n ? 1) ne
【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数 的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求 解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程 ,导数的应用一般用来求解函数 的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值 ,最值 等;另外,要注意含有 e , ln x 等的函数求导的运算及其应用考查. 错误!未找到引用源。解析:(Ⅰ)考虑不等式 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 的解. 因为 ? ? ?? ? 3 ?1 ? a ? ? ? ? 4 ? 2 ? 6a ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ,且 a ? 1 ,所以可分以下三种情况:
2

x

1 ①当 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R , D ? A ? ? 0, ?? ? . 3 1 ②当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? ? x x ? 1? , D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? . 3 1 ③ 当 a ? 时 , ? ? 0 , 此时 2 x 2 ? 3? 1? a? x ? 6a ? 0有 两根 , 设 为 x1 、 x2 , 且 x1 ? x2 , 则 3
x1 ? 3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4
, x2 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

,于是

B ? ? x x ? x1或x ? x2 ? .
当 0?a?

1 3 时 , x1 ? x2 ? ?1 ? a ? ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 , 所 以 x2 ? x1 ? 0 , 此 时 3 2

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ;当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,此时 D ? ? x2 , ?? ? .

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综上所述 , 当 时 ,

1 1 1 ? a ? 1 时 , D ? A ? ? 0, ?? ? ; 当 a ? 时 , D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ; 当 0 ? a ? 3 3 3
; 当

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ?

a?0



,

D ? ? x2 , ?? ?

.





x1 ?

3? ? 1 a?

?? 4

a 3?? ?

3a ?

? 3 3 ?1 ? a 1? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? , x2 ? . 4

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a , 令 f ? ? x ? ? 0 可 得 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 . 因 为 a ? 1 , 所 以

f ? ? x ? ? 0 有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,且 m1 ? m2 .
①当 得

1 ? a ? 1 时 , D ? A ? ? 0, ?? ? , 此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 , 列表可 3

x
f ?? x? f ? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a,1?
递减

1 0 极大值

?1, ?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?

1 1 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ? ,列表可得 3 3
? 1? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

x
f ?? x? f ? x?

1 3
0 极小值

?1 ? ? ,1? ?3 ?
递减

?1, ?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?

1 时 , D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? , 此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 ( 可用分析法证明 ), 于是 3

f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ,列表可得

x
f ?? x? f ? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a, x1 ?
递减

? x2 , ?? ?
+ 递增

用心 爱心 专心

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所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ④当 a ? 0 时, D ? ? x2 , ?? ? ,此时 x2 ? 1 ,于是 f ? ? x ? 在 D 内恒大于 0, f ? x ? 在 D 内没有极 值点.

1 1 综上所述,当 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a ;当 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 3 3

D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.当 a ? 0 时, f ? x ? 在 D 内没有极值点.
错误!未找到引用源。 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思 想、转化化归思想. 解:? f ?( x) ? a(sin x ? x cos x), x ? (0, 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?

?
2

),?sin x ? x cos x ? 0

3 不合题意; 2 3 ,不合题意; 2 ? ? 3 ? ?3 ? f ( )? a? ? 2 2 2 2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, [ f ( x)]max ? f (0) ? ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, [ f ( x)]max

?a ? 1 ,所以综上 f ( x) ? x sin x ?

3 2

(2) f ( x) 在 (0, ? ) 上有两个零点.证明如下: 由(1)知 f ( x) ? x sin x ? ∴ f ( x) 在 [0, 故在 [0,

?

3 3 ? ? ?3 , f (0) ? ? ? 0, f ( ) ? ?0 2 2 2 2

] 上至少有一个零点,又由(1)知 f ( x) 在 [0, ] 上单调递增, 2 2

?

?

?? ? ] 上只有一个零点,当 x ? ? ,? ? 时,令 g ( x) ? f ?( x) ? sin x ? x cos x , 2 ?2 ?

? ?? ? ?? ? g ) ( ? 1 ? 0,( g ? ) ? ?? ? 0 , g ( x) 在 ? ,? ? 上连续,∴ m ? ? ,? ? , g (m) ? 0 2 ?2 ? ?2 ?
?? ? ?? ? ' g ( x) ? 2cos x - x sin x ? 0 ,∴ g ( x) 在 ? ,? ? 上递减,当 x ? ? ,m ? 时, ?2 ? ?2 ?

g ( x) ? g (m) ? 0 ,
' f( x) ? 0 , f ( x) 递增,∴当 m ? ( , m) 时, f ( x) ? f ( ) ? 2 2

?

?

? ?3
2

?0

∴ f ( x) 在 (m, ? ) 上递增,∵ f (m) ? 0, f (? ) ? 0

用心 爱心 专心

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∴ f ( x) 在 (m, ? ) 上只有一个零点,综上 f ( x) 在 (0, ? ) 上有两个零点.

错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三 次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用. 解:(1)依题意可得 f ?( x) ? x ? 2 x ? a
2

2 当 ? ? 4 ? 4a ? 0 即 a ? 1 时 , x ? 2 x ? a ? 0 恒成立, 故 f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在 R

上单调递增; 当 ? ? 4 ? 4a ? 0 即 a ? 1 时,

f ?( x) ? x 2 ? 2 x ? a ? 0















x1 ?

?2 ? 4 ? 4a ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a 且 x1 ? x2 2
2

x ? (?? ,? 1 ? 故 由 f ?( x)? x ? 2 x? a ? 0 ?

? 1a 或 ) x ? (?1 ? 1 ? a , ??) , 此 时

f ( x) 单调递增
由 f ?( x) ? x ? 2 x ? a ? 0 ? ?1 ? 1 ? a ? x ? ?1 ? 1 ? a , 此时此时 f ( x) 单调递增递
2

减 综上可知 当 a ? 1 时, f ( x) 在 R 上单调递增;当 a ? 1 时, f ( x) 在 x ? (??, ?1 ? 1 ? a ) 上单调递增, 在 x ? (?1 ? 1 ? a , ??) 单调递增,在 (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ) 单调递减. (2)由题设知, x1 , x2 为方程 f ?( x) ? 0 的两个根,故有

a ? 1, x12 ? ?2 x1 ? a, x2 2 ? ?2 x2 ? a
因 此
1

f(

?

1 3

3

x)

1

?

2

a

1 3

2 a (a ? 1) x2 ? 3 3 2 a 因此直线 l 的方程为 y ? (a ? 1) x ? 3 3
同理 f ( x2 ) ? 设 l 与 x 轴的交点为 ( x0 , 0) ,得 x0 ?

a 2(a ? 1)

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而 f ( x0 ) ?

1 a a a2 a2 ( )3 ? ( )2 ? ? (12a 2 ? 17a ? 6) 3 2(a ? 1) 2(a ? 1) 2(a ? 1) 24(a ? 1)3

由题设知,点 ( x0 , 0) 在曲线 y ? f ( x) 的上,故 f ( x0 ) ? 0 ,解得 a ? 0 或 a ? 所以所求 a 的值为 a ? 0 或 a ?

2 3 或a ? 3 4

2 3 或a ? . 3 4

【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有 难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响 ,求解函数的单调区间 . 第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值. 错误!未找到引用源。 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的 切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知 识点 ,在题目占能够发现 F (?3) ? 28 和分析出区间 [k , 2] 包含极大值点 x1 ? ?3 , 比较重 要. 解 :(1) f ?( x) ? 2ax , g ?( x)=3x2 ? b . 因 为 曲 线 y ? f ( x) 与 曲 线 y ? g ( x) 在 它 们 的 交 点 ?1 ,c ? 处具有公共切线 , 所以 f (1) ? g (1), f ?(1) ? g ?(1) . 即 a ? 1 ? 1 ? b 且 2a ? 3 ? b . 解得 a ? 3,b ? 3 (2)记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 当 a ? 3, b ? ?9 时, h( x) ? x ? 3x ? 9 x ? 1 , h?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ?3 , x2 ? 1 ;
3 2 2

h( x) 与 h?( x) 在 (??, 2] 上的情况如下: x (??, ?3) ?3 + 0 h( x ) 28 h?( x) ?

(?3,1)


1 0 -4

(1,2) +

2 3

?

?

由此可知: 当 k ? ?3 时,函数 h( x ) 在区间 [k , 2] 上的最大值为 h(?3) ? 28 ; 当 ?3 ? k ? 2 时,函数 h( x ) 在区间 [k , 2] 上的最大值小于 28. 因此, k 的取值范围是 (??, ?3] 错误!未找到引用源。 【解析】(I) f ( x) ? ax ? 当且仅当 ax ? 1( x ?

1 1 ? b ? 2 ax? ? b ? b ? 2 ax ax

1 ) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a 3 1 3 (II)由题意得: f (1) ? ? a ? ? b ? ① 2 a 2 1 1 3 ② f ?( x) ? a ? 2 ? f ?(1) ? a ? ? ax a 2
由①②得: a ? 2, b ? ?1 错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调

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性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力. (1) f ( x) 的定义域为 (?a, ??)

f ( x) ? x ? ln( x ? a) ? f ?( x) ? 1 ?

1 x ? a ?1 ? ? 0 ? x ? 1 ? a ? ?a x?a x?a

f ?( x) ? 0 ? x ? 1 ? a, f ?( x) ? 0 ? ?a ? x ? 1 ? a
得: x ? 1 ? a 时, f ( x)min ? f (1 ? a) ? 1 ? a ? 0 ? a ? 1 (2)设 g ( x) ? kx ? f ( x) ? kx ? x ? ln( x ? 1)( x ? 0)
2 2

则 g ( x) ? 0 在 x ? [0,+?) 上恒成立 ? g ( x)min ? 0 ? g (0) (*)

g (1) ? k ? 1 ? ln 2 ? 0 ? k ? 0

1 x(2kx ? 2k ? 1) ? x ?1 x ?1 1 1 ? 2k ①当 2k ? 1 ? 0( k ? ) 时, g ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? ? x0 ? g ( x0 ) ? g (0) ? 0 与(*) 2 2k g ?( x) ? 2kx ? 1 ?
矛盾

1 时, g ?( x) ? 0 ? g ( x) min ? g (0) ? 0 符合(*) 2 1 得:实数 k 的最小值为 (lfxlby) 2 1 2 (3)由(2)得: x ? ln( x ? 1) ? x 对任意的 x ? 0 值恒成立 2
②当 k ? 取x?

2 2 2 ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? (i ? 1, 2,3,?, n) : 2i ? 1 (2i ? 1) 2 2i ? 1

当 n ? 1 时, 2 ? ln 3 ? 2 得:

? 2i ? 1 ? ln (2n+1)<2 (lb ylfx)
i =1

n

2

当 i ? 2 时,

2 1 1 ? ? 2 (2i ? 1) 2i ? 3 2i ? 1
1

得:

?[ 2i ? 1 ? ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? 2 ? ln 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 2
i ?1

n

2

【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没 有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做 到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行. 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 【 解 析 】 (1) f ( x) ? f ?(1)e
x ?1

1 ? f (0) x ? x 2 ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2
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令 x ? 1 得: f (0) ? 1

1 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ? x 2 ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2 1 得: f ( x) ? e x ? x ? x 2 ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 1 ? x 2
g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增

f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e x ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ? ?? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1) ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1)(a ? 1 ? 0)
令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
2 2

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当 x ? e 时, F ( x) max ? 当a ?

e 2 e 2

e ? 1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

错误!未找到引用源。 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综 合运用能力. (Ⅰ) (ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b . 当 b≤0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b >0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 f ? x ? 的最大值为: f ?1? ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a;

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当 b>0 时, f ? ? x ? ? 12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断, 此时 f ? x ? 的最大值为:
?b ? a,b ? 2a =|2a-b|﹢a; f max ? x ? ? max{ f (0),() f 1 } ? max{(b ? a),(3a ? b) }? ? b ? 2a ?3a ? b,

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x ? ? ?4ax3 ? 2bx ? a ? b ,∴令 g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ? 当 b≤0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b <0 在 0≤x≤1 上恒成立, 此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g ? ? x ? ? ?12ax 2 ? 2b 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,
g max ? x ? ? max{g ( b ),() g 1} 6a b . 6a

4 b ? max{ b ? a ? b,b ? 2a} 3 6a ?4 b b ? 6a ? a ? b, ? b ? ? 3 6a b ? 6a ?b ? 2a, ?

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a, 且函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ∵﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立, ∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为: ?
? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z=a+b. ?b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

作图如下: 由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 zmax ? 3 , zmin ? ?1 .

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∴所求 a+b 的取值范围为: ? ?1, 3? .

【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)

3? . ? ?1,

错误!未找到引用源。 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函 数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因 f ? x ? ? a ln x ?

1 3 a 1 3 ? x ? 1 ,故 f ? ? x ? ? ? 2 ? x 2x 2 2x 2

由于曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f ? ?1? ? 0 ,

?

?

1 3 ? ? 0 ,解得 a ? ?1 2 2 1 3 (2)由(1)知 f ? x ? ? ? ln x ? ? x ? 1? x ? 0 ? , 2x 2
从而 a ?

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 f ?? x? ? ? ? 2 ? ? x 2x 2 2x2

? f ?? x? ?

(3x ? 1)( x ? 1) 2 x2
1 3 1 不在定义域内,舍去), 3

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? (因 x2 ? ?

当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数; 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数; 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ?1? ? 3 . 错误!未找到引用源。解析:(1) b ? 1, c ? ?1 , n ? 2 时, f n ( x) ? x ? x ? 1
n

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∵ f n ( ) f n (1) ? (

1 2

1 1 ?1 ? ? ) ?1 ? 0 ,∴ f n ( x) 在 ? ,1? 内存在零点. n 2 2 ?2 ?

n ?1 又当 x ? ? ,1? 时, f n?( x) ? nx ? 1 ? 0

?1 ? ?2 ?

∴ f n ( x) 在 ?

?1 ? ?1 ? ,1? 上是单调递增的,所以 f n ( x) 在 ? ,1? 内存在唯一零点. ?2 ? ?2 ?
2

(2)当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ? [?1,1] 都有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4等价于 f 2 ( x ) 在 [?1,1] 上最大值与最小值 之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 |

b |? 1 ,即 | b |? 2 时, 2

M ?| f 2 (1) ? f 2 (?1) |? 2 | b |? 4 ,与题设矛盾

b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立 2 2 b (ⅲ)当 0 ? ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, 2 b b M ? f 2 (?1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4 恒成立. 2 2 综上可知, ?2 ? b ? 2
(ⅱ)当 ?1 ? ? 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用 max{a, b} 表示 a, b 中的较大者.当 ?1 ?

b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 2 时, 2

b M ? max{ f 2 (1), f 2 (?1)} ? f 2 (? ) 2 f 2 (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b ? ? ? f 2 (? ) 2 2 2
? 1 ? c ? | b | ?( ? b2 ? c) 4

? (1 ?

|b| 2 ) ? 4 恒成立 2
?1 ? ,1? 内的唯一零点 (n ? 2) ?2 ?

(3)证法一 设 xn 是 f n ( x ) 在 ?

?1 ? n n ?1 f n ( xn ) ? xn ? xn ? 1 , f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ,1? ?1 ? xn ?1 ? 1 ? 0 , xn ?1 ? ? ?2 ?

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于是有 f n ( xn ) ? 0 ? f n ?1 ( xn ?1 ) ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? xn ?1 ? xn ?1 ? 1 ? f n ( xn ?1 )
n

n ?1

又由(1)知 f n ( x ) 在 ?

?1 ? ,1? 上是递增的,故 xn ? xn?1 (n ? 2) , ?2 ?

所以,数列 x2 , x3 ,? , xn ? 是递增数列. 证法二 设 xn 是 f n ( x ) 在 ?

?1 ? ,1? 内的唯一零点 ?2 ?

n ?1 n ?1 n f n?1 ( xn ) f n?1 (1) ? ( xn ? xn ? 1)(1n?1 ? 1 ? 1) ? xn ? xn ? 1 ? xn ? xn ? 1 ? 0

则 f n ?1 ( x) 的零点 xn ?1 在 ( xn ,1) 内,故 xn ? xn ?1 (n ? 2) , 所以,数列 x2 , x3 ,? , xn ? 是递增数列.

1 ? k ? ln x ln x ? k x ? 错误!未找到引用源。解析:由 f(x) = 可得 ,而 f ?(1) ? 0 ,即 f ( x ) ? ex ex 1? k ? 0 ,解得 k ? 1 ; e 1 ? 1 ? ln x x (Ⅱ) f ?( x) ? ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1, ex 1 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 ;当 x ? 1时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 . x x
于是 f ( x) 在区间 (0,1) 内为增函数;在 (1,??) 内为减函数.

1 ? 1 ? ln x 1 ? x 2 ? ( x 2 ? x) ln x (Ⅲ) g ( x) ? ( x 2 ? x) x , ? ex ex
(1)当 x ? 1 时, 1 ? x ? 0, ln x ? 0, x ? x ? 0, e ? 0 , g ( x) ? 0 ? 1 ? e
2 2 x ?2

.

1 ? 1 ? ln x 2 x (2)当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x ? x) ? 1 ? e ?2 . x e
x ?1 1 ? e ?2 只需证 x ? 即可 1 ? x(1 ? ln x) e
设函数 p( x) ? 则 p ?( x) ?

?x ? 0, q ?( x) ? ?2 ? ln x, x ? (0,1) , ex

x ?1 , q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x), x ? (0,1) . ee

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则当 0 ? x ? 1 时 p( x) ?

x ?1 ? p(0) ? 1 , ee
?2

令 q?( x) ? ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? e
?2

? (0,1) ,
?2

当 x ? (0, e ) 时 q?( x) ? 0 ;当 x ? (e ,1) 时 q?( x) ? 0 , 则当 0 ? x ? 1 时 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) ? q(e ) ? 1 ? e
?2 ?2

,且 q( x) ? 0 ,



1 ? e ?2 x ?1 1 ? e ?2 1 ? e ?2 ? ? , 于是可知当 时 成立 ? 1 0 ? x ? 1 1 ? x(1 ? ln x) 1 ? e ? 2 1 ? x(1 ? ln x) ex
?2

综合(1)(2)可知对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e 恒成立.

x ?1 ?x , x ? (0,1) ,则 p ?( x) ? x ? 0 , e e e x ?1 则当 0 ? x ? 1 时 p( x) ? x ? p(0) ? 1 , e 1 ? 1 ? ln x 1 于是当 0 ? x ? 1 时,要证 g ( x) ? ( x 2 ? x) x ? x( ? 1 ? ln x) ? 1 ? e ?2 , x x e 1 ?2 只需证 x( ? 1 ? ln x) ? 1 ? e 即可, x
另证 1:设函数 p( x) ? 设 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x), x ? (0,1) , q?( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) , 令 q?( x) ? ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? e
?2 ?2

? (0,1) ,
?2

当 x ? (0, e ) 时 q?( x) ? 0 ;当 x ? (e ,1) 时 q?( x) ? 0 , 则当 0 ? x ? 1 时 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) ? q(e ) ? 1 ? e
?2 ?2

,

1 ? 1 ? ln x 2 x 于是可知当 0 ? x ? 1 时 ( x ? x) ? 1 ? e ?2 成立 ex
综合(1)(2)可知对任意 x>0, g ( x) ? 1 ? e 恒成立. 另证 2:根据重要不等式当 0 ? x ? 1 时 ln( x ? 1) ? x ,即 x ? 1 ? e ,
x
?2

1 ? 1 ? ln x 1 2 于是不等式 g ( x) ? ( x ? x) x ? x( ? 1 ? ln x) ? 1 ? e ?2 , x x e
设 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x), x ? (0,1) , q?( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) , 令 q?( x) ? ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? e
?2

? (0,1) ,

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当 x ? (0, e ) 时 q?( x) ? 0 ;当 x ? (e ,1) 时 q?( x) ? 0 ,
?2 ?2

则当 0 ? x ? 1 时 q( x) ? 1 ? x(1 ? ln x) ? q(e ) ? 1 ? e

?2

?2

,

1 ? 1 ? ln x 2 x 于是可知当 0 ? x ? 1 时 ( x ? x) ? 1 ? e ?2 成立. x e
错误!未找到引用源。 【答案及解析】

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【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.

3 x 在 (0,0)点相 2 9x 切,求出 a, b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明 f ( x) ? 即可.从近 x?6
本题容易忽略函数 f ( x) 的定义域 ,根据条件曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? 几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属 于中档题.

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错误!未找到引用源。 【答案】解:(1)由 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b . ∵1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a=0,b= ? 3 . (2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g ?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2 ? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 .
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x <1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x= ? 2 是 g ( x) 的极值点. ∵当 ?2 < x <1或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x=1 不是 g ( x) 的极值点. ∴ g ( x) 的极值点是-2. (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c . 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ? ? ?2, 2? 当 d =2 时 , 由 (2 ) 可知 , f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 , 注意到 f ( x) 是奇函 数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2. 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根. 由(1)知 f' ( x)=3 ? x ? 1?? x ? 1? .

? ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 . ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 无实根. 此时 f ( x)=d 在 ? 2, , 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数. ② 当 x ? ?1
又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根. 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根.

, 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数. ③ 当 x ? ? ?1
又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根. 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i=3, 4, 5 .
现考虑函数 y ? h( x) 的零点:

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t2 =2 . ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,
而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点. ( 11 )当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i=3, 4, 5 . 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点. 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点. 【考点】函数的概念和性质,导数的应用. 【解析】(1)求出 y ? f ( x) 的导数,根据 1 和 ?1 是函数 y ? f ( x) 的两个极值点代入列方 程组求解即可. (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可. (3) 比较复杂 , 先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况 ; 再考虑函数

y ? h( x) 的零点.
错误!未找到引用源。 【解析】(Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x) ? e ? x ? 1 ,这与题设
ax

矛盾,又 a ? 0 , 故a ? 0. 而 f ?( x) ? ae ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得x ?
ax

1 1 ln . a a

1 1 1 1 ln 时 , f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减; 当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增, a a a a 1 1 1 1 1 1 1 故当 x ? ln 时, f ( x) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a a
当x? 于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

1 1 1 ? ln ? 1 . a a a
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?

1 ? 1 即 a ? 1 时,①式成立. a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e ax2 ? e ax1 ? ? 1. x2 ? x1 x2 ? x1

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令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? ae ?
ax

e ax2 ? e ax1 ,则 x2 ? x1

eax1 ? ? ( x1 ) ? ? e a ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? ? ?, x2 ? x1

? ( x2 ) ?

e ax2 ? e a ( x1 ? x2 ) ? a ( x1 ? x2 ) ? 1? ? ?. x2 ? x1
t t

令 F (t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t
a( x ?x ) a( x ?x ) 从而 e 2 1 ? a( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e 1 2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0, 又

e ax1 e ax2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因 为 函 数 y ? ? ( x) 在 区 间 ? x1 , x2 ? 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 所 以 存 在

x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, ? ?( x) ? a 2eax ? 0, ? ( x) 单调 递增 , 故 这样的 c 是唯一的 , 且
1 e ax2 ? e ax1 1 e ax2 ? e ax1 , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k . c ? ln .故当且仅当 x ? ( ln a a ( x2 ? x1 ) a a ( x2 ? x1 )
综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为

1 e ax2 ? e ax1 ( ln , x2 ) . a a ( x2 ? x1 )
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能 力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导 函数法求出 f ( x) 取最小值 f ( ln ) ?

1 a

1 a

1 1 1 ? ln . 对一切 x∈R,f(x) ? 1 恒成立转化为 a a a

f ( x) min ? 1 ,从而得出 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,
研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断. 错误!未找到引用源。考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学 归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求. 解析:(Ⅰ) f ?( x) ? r ? rxr ?1 ? r (1 ? x r ?1 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

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当 0 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, 1) 内是减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ? ?) 内是增函数. 故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值 f (1) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? (0, ??) 时,有 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x r ? rx ? (1 ? r ) 若 a1 , a2 中有一个为 0,则 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 成立; 若 a1 , a2 均不为 0,又 b1 ? b2 ? 1 ,可得 b2 ? 1 ? b1 ,于是 在①中令 x ?
a1 a a , r ? b1 ,可得 ( 1 )b1 ? b1 ? 1 ? (1 ? b1 ) , a2 a2 a2



即 a1b1 a21?b1 ? a1b1 ? a2 (1 ? b1 ) ,亦即 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . 综上,对 a1 ? 0, a2 ? 0 , b1 , b2 为正有理数且 b1 ? b2 ? 1 ,总有 a1b1 a2b2 ? a1b1 ? a2b2 . ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 设 a1 , a2 , ?, an 为非负实数, b1 , b2 , ?, bn 为正有理数.
bn b2 若 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 1 ,则 a1b1 a2 ?an ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn .



用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,有 a1 ? a1 ,③成立. (2)假设当 n ? k 时,③成立,即若 a1 , a2 ,?, ak 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk 为正有理数,
bk b2 ?ak ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk . 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? 1 ,则 a1b1 a2

当 n ? k ? 1 时,已知 a1 , a2 ,?, ak , ak ?1 为非负实数, b1 , b2 ,?, bk , bk ?1 为正有理数, 且 b1 ? b2 ? ? ? bk ? bk ?1 ? 1 ,此时 0 ? bk ?1 ? 1 ,即 1 ? bk ?1 ? 0 ,于是
b1 b2 bk
bk bk ?1 bk bk ?1 b2 b2 1?bk ?1 1?bk ?1 1?bk ?1 1?bk ?1 bk ?1 a1b1 a2 ?ak ak ?1 ? (a1b1 a2 ?ak )ak a2 ?ak ) ak ?1 . ?1 = (a1



bk b1 b2 ? ??? ? 1 ,由归纳假设可得 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1

a

b1 1?bk ?1 1

a

b2 1?bk ?1 2

?a

bk 1?bk ?1 k

? a1 ?

bk b1 b2 a b ? a b ? ? ? ak bk , ? a2 ? ? ? ? ak ? ? 11 2 2 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1 1 ? bk ?1
1? bk ?1 bk ?1 ak ?1 .

? a b ? a2b2 ? ? ? ak bk ? bk bk ?1 b2 ? ak ak ?1 ? ? 1 1 从而 a1b1 a2 ? 1 ? bk ?1 ? ?

又因 (1 ? bk ?1 ) ? bk ?1 ? 1 ,由②得

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? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?

1? bk ?1 bk ?1 ak ?1 ?

a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? (1 ? bk ?1 ) ? ak ?1bk ?1 1 ? bk ?1

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 ,
bk bk ?1 b2 ? ak ak ?1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ak ?1bk ?1 . 从而 a1b1 a2

故当 n ? k ? 1 时,③成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n ,所推广的命题成立. 说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 n ? 2 成立,则后续证明中不需讨论 n ? 1 的情况. 错误!未找到引用源。解析:(Ⅰ)考虑不等式 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 的解. 因为 ? ? ?? ? 3 ?1 ? a ? ? ? ? 4 ? 2 ? 6a ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? ,且 a ? 1 ,所以可分以下三种情况:
2

1 ①当 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,此时 B ? R , D ? A ? ? 0, ?? ? . 3 1 ②当 a ? 时, ? ? 0 ,此时 B ? ? x x ? 1? , D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? . 3 1 ③ 当 a ? 时 , ? ? 0 , 此时 2 x 2 ? 3? 1? a? x ? 6a ? 0有 两根 , 设 为 x1 、 x2 , 且 x1 ? x2 , 则 3
x1 ? 3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4
, x2 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

,于是

B ? ? x x ? x1或x ? x2 ? .
当 0?a?

1 3 时 , x1 ? x2 ? ?1 ? a ? ? 0 , x1 x2 ? 3a ? 0 , 所 以 x2 ? x1 ? 0 , 此 时 3 2

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ;当 a ? 0 时, x1 x2 ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,此时 D ? ? x2 , ?? ? .
综上所述 , 当 时 ,

1 1 1 ? a ? 1 时 , D ? A ? ? 0, ?? ? ; 当 a ? 时 , D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ; 当 0 ? a ? 3 3 3
; 当

D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ?

a?0



,

D ? ? x2 , ?? ?

.





x1 ?

3? ? 1 a?

?? 4

a 3?? ?

3a ?

? 3 3 ?1 ? a 1? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? , x2 ? . 4

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 6 x 2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a , 令 f ? ? x ? ? 0 可 得 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 . 因 为 a ? 1 , 所 以

f ? ? x ? ? 0 有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,且 m1 ? m2 .
①当 得

1 ? a ? 1 时 , D ? A ? ? 0, ?? ? , 此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 , 列表可 3

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x
f ?? x? f ? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a,1?
递减

1 0 极大值

?1, ?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?

1 1 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ? ,列表可得 3 3
? 1? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

x
f ?? x? f ? x?

1 3
0 极小值

?1 ? ? ,1? ?3 ?
递减

?1, ?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?

1 时 , D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? , 此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 ( 可用分析法证明 ), 于是 3

f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ,列表可得

x
f ?? x? f ? x?

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a, x1 ?
递减

? x2 , ?? ?
+ 递增

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ④当 a ? 0 时, D ? ? x2 , ?? ? ,此时 x2 ? 1 ,于是 f ? ? x ? 在 D 内恒大于 0, f ? x ? 在 D 内没有极 值点.

1 1 综上所述,当 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a ;当 0 ? a ? 时, f ? x ? 在 3 3

D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.当 a ? 0 时, f ? x ? 在 D 内没有极值点.
错误!未找到引用源。 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性 质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力, 考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想. 解:(1)? f ?( x) ? e ? 2ax ? e , k ? f ?(1) ? 2a ? 0 ? a ? 0 ,故 f ?( x) ? e ? e
x x

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? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , x ? 1时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为
(??,1)
(2)设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 令 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ,因为只有一个切点,所以函数 g ( x) 就只有一个 零点,因为 g ( x0 ) ? 0

g ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? e x ? e x0 ? 2a( x ? x0 ) ,若 a ? 0,? g ?( x) ? 0

g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,因此有唯一零点,由 P 的任意性知 a ? 0 不合题意
若 a ? 0 ,令 h( x) ? e ? e 0 ? 2a( x ? x0 ) ,则 h( x0 ) ? 0
x x

h?( x) ? e x ? 2a ,存在一个零点 P(ln(?2a), f (ln ? 2a)) ,使曲线在该点处的切线与曲线只
有一个公共点.故 a 的取值范围为 a ? 0 . 错误!未找到引用源。 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数 中有三角函数,要利用三角函数的有界性 ,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式 问题的构造函数思想的运用.

? 解: f ( x) ? a ? sin x .
(Ⅰ)因为 x ?[0, ? ] ,所以 0 ? sin x ? 1 . 当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上为单调递增函数; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上为单调递减函数;

? 当 0 ? a ? 1 时,由 f ( x) ? 0 得 sin x ? a , ? 由 f ( x) ? 0 得 0 ? x ? arcsin a 或 ? ? arcsin a ? x ? ? ; ? 由 f ( x) ? 0 得 arcsin a ? x ? ? ? arcsin a .
所 以 当 0 ? a ? 1 时 f ( x) 在 [0,arcsin a] 和 [? ? arcsin a, ? ] 上 为 为 单 调 递 增 函 数 ; 在

[arcsin a, ? ? arcsin a] 上为单调递减函数.
(Ⅱ)因为 f ( x) ? 1 ? sin x ? ax ? cos x ? 1 ? sin x ? ax ? 1 ? sin x ? cos x 当 x ? 0 时, 0 ? 1 ? sin 0 ? cos0 ? 0 恒成立 当

0? x ??
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时, ax ? 1 ? sin x ? cos x ? a ? 令 g ( x) ?

1 ? sin x ? cos x (0 ? x ? ? ) ,则 x (cos x ? sin x) x ? 1 ? sin x ? cos x (1 ? x) cos x ? ( x ? 1) sin x ? 1 g ?( x) ? ? x2 x2

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x ? a ?[ ]min x x

又令 c( x) ? (1 ? x) cos x ? ( x ? 1)sin x ? 1 ,则

c?( x) ? cos x ? (1 ? x)sin x ? sin x ? ( x ?1) cos x ? ? x(sin x ? cos x)
则当 x ? (0, 当 x?(

3? , ? ] 时, sin x ? cos x ? 0 ,故 c?( x) ? 0 , c ( x ) 单调递增 4 3? 所以 c ( x ) 在 x ? (0, ? ] 时有最小值 c( ) ? ? 2 ? 1 ,而 4
x ? 0? x ??

3? ) 时, sin x ? cos x ? 0 ,故 c?( x) ? 0 , c ( x ) 单调递减 4

lim c( x) ? (1 ? 0) cos 0 ? (0 ? 1) sin 0 ? 1 ? 0 , lim? c( x) ? c(? ) ? ?(1 ? ? ) ? 1 ? 0

综上可知 x ? (0, ? ] 时, c( x) ? 0 ? g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在区间 (0, ? ] 单调递 所以 [ g ( x)]min ? g (? ) ?

2

?
2

故所求 a 的取值范围为 a ?

?

.

另解:由 f ( x) ? 1 ? sin x 恒成立可得

f (? ) ? 1 ? a? ? 1 ? 1 ? a ?
g ?( x) ? cos x ? 2

2

?

g ( x) ? sin x ?
令 当 x ? (arcsin

2

?

x(0 ? x ?

?

2 ,则

)

? 当 x ? (0, arcsin 2 ) 时, g ?( x) ? 0 , ?

又 g (0) ? g ( ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即

?

2 ? , ) 时, g ?( x) ? 0 ? 2 2

2

?

x ? sin x(0 ? x ?

?
2

)

故当 a ?

2

?

时,有 f ( x) ?

2

①当 0 ? x ? ②当

?
2

?

x ? cos x

时,

2

?
2

?

x ? sin x , cos x ? 1 ,所以 f ( x) ? 1 ? sin x

? x ? ? 时, f ( x) ?

2

?

x ? cos x ? 1 ?
2

( x ? ) ? sin( x ? ) ? 1 ? sin x ? 2 2

2

?

?

综上可知故所求 a 的取值范围为 a ?

?

.

【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数, 这一点对于同学们来说有点难度 ,不同于平时的练习题 ,相对来说做得比较少 .但是解决

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的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式, 一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者 小于零的问题得到解决. 错误!未找到引用源。 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的 切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的 知识点. 解:(1)由 ?1 ,c ? 为公共切点可得: f ( x) ? ax2 ? 1(a ? 0) ,则 f ?( x) ? 2ax , k1 ? 2a ,
g ( x) ? x3 ? bx ,则 g ?( x)=3x 2 ? b , k2 ? 3 ? b ,? 2a ? 3 ? b ①

?a ? 3 又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ? . ?b ? 3
1 (2)? a 2 ? 4b ,?设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax 2 ? a 2 x ? 1 4
a a 1 则 h?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 ,令 h?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 2 6 4

? a ? 0 ,? ? ? ? , ?原函数在 ? ?? ,? ? 单调递增,在 ? ? ,? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 上单调递增 2 2 6 6
? ? ? ? a? ? a ? a?
2

a 2

a 6

? a ?

? ?

a a ,即 a≤2 时,最大值为 h(1) ? a ? ; 4 2 a a ? a? ②若 ? ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 2 6 ? 2?

①若 ?1≤ ?

③若 ?1≥ ?

a ? a? 时,即 a≥6 时,最大值为 h ? ? ? ? 1 . 6 ? 2?

a2 综 上 所 述 : 当 a ? ? 0 ,2? 时 , 最 大 值 为 h(1)? a ? ; 当 a ? ?2 , ? ?? 时 , 最 大 值 为 4
? a? h? ? ? ?1 . ? 2?

错误! 未找到引用源。 【解析】 (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ?
x

1 1 a 2t 2 ? 1 ? b ? y? ? a ? 2 ? at at at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数 at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ? b a 1 ②当 0 ? a ? 1时, y ? at ? ?b ? 2?b at 1 x 当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 a
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

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(II) f ( x) ? ae x ?

1 1 ? b ? f ?( x) ? ae x ? x x ae ae

1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e 由题意得: ? ?? 3?? f ?(2) ? ? ? ae2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ?
2011 年高考题 一、选择题 1.(安徽理 3) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? (A) ?? (B) ?? (C)1 (D)3
?

【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题. 【解析】 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1) ? (?1)] ? ?3 .故选 A.
2

(?? x) 在区 2.(安徽理 10) 函数 f ( x) ? ax g
m n

y

间〔0,1〕上的图像如图所示,则 m,n 的值 可能是 (A) m ? 1, n ? 1 (B) m ? 1, n ? 2 (C) m ? 2, n ? 1 (D) m ? 3, n ? 1 x O 0.5 1 0.5

【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证,当 m ? 1, n ? 2 , f ( x) ? axg(?? x) ? n( x ? ? x ? x) ,则
? ? ?

1 x1 ? , x2 ? 1 f ?( x) ? a(?x ? ? x ??) ,由 f ?( x) ? a(?x ? ? x ??) ? ? 可知, 3 ,结
?

?

? 1? ?1 ? 1 x? ? 0, ? ? ,1? 3 3 ? 递增,在 ? ? 递减,即在 3 取得最大值,由 合图像可知函数应在 ?

? ? ? ? f ( ) ? a ? g(?? ) ? ? ? ? ? ? ,知 a 存在.故选 B.

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3.(安徽文 5)若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是

? (A) ( a ,b) (B) (10a,1 ? b)

?? (C) ( a ,b+1)
2

(D)(a2,2b)

【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系. 【解析】由题意 b ? lg a , ?b ? ? lg a ? lg a ,即 4.( 安徽文 10) 函数 f ( x) ? ax g(?? x)
n ? ?

? a , 2b ? 也在函数 y ? lg x
y

图像上.

在 区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 可 能是 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

0.5

【答案】A【命题意图】本题考查导数在研 究函数单调性中的应用,考查函数图像, 考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证,当 n ? 1 时, O 0.5 1

x

f ( x) ? axg(?? x) ? ? a( x ? ? ? x ? ? x)
? ,则 f ( x) ? a(?x ? ? x ??) ,
?

? 1? 1 x1 ? , x2 ? 1 ? 0, ? ? f ( x ) ? a ( ? x ? ? x ?? ) ? ? 3 由 可知, ,结合图像可知函数应在 ? 3 ? 递增,在
?

?1 ? 1 ? ? ? ? x? f ( ) ? a ? g(?? )? ? ? ,1? ? 3 ? 递减,即在 3 取得最大值,由 ? ? ? ? ,知 a 存在.故选 A.
5. (北京理 6 )根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

? ? ? f ( x) ? ? ? ? ?

c ,x ? A x c ,x ? A A (A,c 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件
D. 60,16

产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 【答案】D

【解析】由条件可知, x ? A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分

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f (4) ?
段函数,即

c 60 ? 30 ? c ? 60 f ( A) ? ? 15 ? A ? 16 4 A , ,选 D。

6.(北京文 8)已知点

A ? 0, 2 ? B ? 2, 0 ?
,

,若点 C 在函数 y ? x 的图象上,则使得 ?ABC 的面
2

积为 2 的点 C 的个数为 A. 4 【答案】A B. 3 C. 2 D. 1

7.(福建理 5) A.1 【答案】C

? 0( e

1

x

? 2 x) dx
等于 B. e ? 1 C. e D. e ? 1

8.(福建理 9)对于函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? c (其中, a, b ? R, c ? Z ),选取 a, b, c 的一组 值计算 f (1) 和 f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能是 A.4 和 6 【答案】D B.3 和 1
x

C.2 和 4

D.1 和 2

9. (福建理 10) 已知函数 f ( x) ? e ? x , 对于曲线 y ? f ( x) 上横坐标成等差数列的三个点 A, B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】B 10.(福建文 6)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围 是 A. (-1,1) B. (-2,2) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-1)∪(1,+∞) 【答案】C
?2x, x>0 11.(福建文 8)已知函数 f(x)=? ,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于 ? x+1,x≤0

A.-3 B.-1 C.1 D.3 【答案】A 12.(福建文 10)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 A.2 B.3 C.6 D.9 【答案】D

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13.(广东理 4)设函数 f ( x) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x) | +g(x)是偶函数 【答案】A 【解析】 因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而 f ( x) +|g(x)|是偶函数, 故选 A. B. f ( x) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x) |- g(x)是奇函数

f ( x) ?
14.(广东文 4)函数 A. (??, ?1) 【答案】C B. (1, ??)

1 ? lg( x ? 1) 1? x 的定义域是
C. (?1,1) ? (1, ??)



) D. (??, ??)

15.(广东文 10)设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数.如下定义两个函数 ? f ? g ??x ? 和

? f ? g ??x? ;对任意 x ? R , ? f ? g ??x ? ? f ?g ( x)? ;? f ? g ??x? ? f ?x?g ( x) .则下列等式恒成
立的是( ) A. ?? f ? g ? ? h ??x ? ? ?? f ? h ? ? ?g ? h ??( x) B. ?? f ? g ? ? h ??x ? ? ?? f ? h ? ? ?g ? h ??( x) C. ?? f ? g ? ? h ??x ? ? ?? f ? h ? ? ?g ? h ??( x) D.

?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??( x)

【答案】B 16.(湖北理 6)已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足

f ?x ? ? g ?x ? ? a x ? a ? x ? 2

?a ? 0, 且a ? 1?,若 g ?2? ? a ,则 f ?2? ?
A.

2

15 B. 4

17 C. 4

D. a

2

【答案】B 【解析】由条件 f ?2? ? g ?2? ? a ? a
2 ?2

? 2 , f ?? 2? ? g ?? 2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,即

? f ?2? ? g ?2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,由此解得 g ?2? ? 2 , f ?2? ? a 2 ? a ?2 ,

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所以 a ? 2 ,

f ?2? ? 2 2 ? 2 ?2 ?

15 4 ,所以选 B.

17. (湖北理 10) 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减少, 这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝克)

M ?t ? ? M 0 2 与时间 t (单位:年)满足函数关系:

?

t 30

,其中

M0

为 t ? 0 时铯 137 的含量,

已知 t ? 30 时,铯 137 的含量的变化率是 ? 10 ln 2 (太贝克/年) ,则 M ?60 ? ? A. 5 太贝克 【答案】D
? ? 1 1 M / ?30 ? ? ? ln 2 ? M 0 2 30 ? ?10 ln 2 M ?t ? ? ? ln 2 ? M 0 2 30 30 30 【解析】因为 ,则 ,
/ t

B. 75 ln 2 太贝克

C. 150 ln 2 太贝克

D. 150 太贝克

30

解得

M 0 ? 600

,所以 M ?t ? ? 600 ? 2
? 60 30

?

t 30

,那么

M ?60 ? ? 600 ? 2

? 600 ?

1 ? 150 4 (太贝克) ,所以选 D.

y?
18.(湖南文 7)曲线

sin x 1 ? ? M ( , 0) sin x ? cos x 2 在点 4 处的切线的斜率为(
? 2 2



1 A. 2 ?
【答案】B

1 B. 2

C.

2 D. 2

y' ?
【解析】

cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cos x ? sin x) 1 ? 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x)2 ,所以

y'|

x?

?
4

? (sin

?

1

? cos )2 4 4

?

?

1 2

x 2

19.(湖南文 8)已知函数 f ( x) ? e ? 1, g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范 围为 A. [2 ? 2, 2 ? 2] 【答案】B 【 解 析 】 由 题 可 知 f ( x) ? e ? 1 ? ?1 , g ( x) ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ? 1 , 若 有
x 2 2

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

C. [1,3]

D. (1,3)

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f (a) ? g (b), 则 g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。

x??
20.(湖南理 6)由直线 ( )

?
3

,x ?

?
3

,y?0

与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为

1 A. 2
【答案】D

B.1

3 C. 2
?

D. 3

S?
【解析】由定积分知识可得

?

?? cos xdx ? sin x | ?
3 ? 3
2

3

?

?

3

3 3 ? (? )? 3 2 2
,故选 D。

21.(湖南理 8)设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当

| MN | 达到最小时 t 的值为(
1 B. 2
5 C. 2



A.1 【答案】D

2 D. 2

2 2 【解析】由题 | MN |? x ? ln x , ( x ? 0) 不妨令 h( x) ? x ? ln x ,则

h'( x ) ? 2x?

1 x ,令

h'(x ) ? 0解得
x?
以当

x?

2 2 2 x ? (0, ) x?( , ?? ) h '( x ) ? 0 2 ,因 2 时, 2 ,当 时, h'( x ) ? 0 ,所

2 2 t? 2 。 2 时, | MN | 达到最小。即

f ( x) ?
22.(江西文 3)若

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则 f ( x) 的定义域为(

)

1 ( ? , 0) 2
【答案】C

1 (? , ??) B. 2

1 (? , 0) ? (0, ??) C. 2

1 ( ? , 2) D. 2

log 1 ?2 x ? 1? ? 0,? 2 x ? 1 ? 0,2 x ? 1 ? 1
2

? 1 ? ? x ? ? ? ,0 ? ? ?0,?? ? ? 2 ? 【解析】

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23.(江西文 4)曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为(
x



A.1 【答案】A

B.2

C. e

1 D. e

【解析】 y ? e , x ? 0, e ? 1
' x 0
2011 24.(江西文 6)观察下列各式:则 7 ? 49, 7 ? 343, 7 ? 2401 ,?,则 7 的末两位数字
2 3 4

为( ) A.01 【答案】B

B.43

C.07

D.49

【解析】 2011 ? 2 ? 2009 ,? f ?2011 ? ? * * *343

? f ?x ? ? 7 x , f ?2? ? 49, f ?3? ? 343, f ?4? ? 2401, f ?5? ? 16807

f ( x) ?
25.(江西理 3)若

1 log 1 (2 x ? 1)
2

,则 f ( x) 定义域为

1 ( ? ,0 ) 2 A.
【答案】A

1 ( ? ,0 ] B. 2

1 (? ,??) 2 C.

D. (0,??)

1 ? ?2 x ? 1 ? 0 ?x ? ? ? 2 ? 1 ?log 1 (2 x ? 1) ? 0 ? ?x?0 ? ? x ? 0 2 【解析】由 ? 解得 ? ,故 2 ,选 A
26.(江西理 4)设 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 ln x ,则 f ( x) ? 0 的解集为
2 '

A. (0,??) 【答案】C

B. (?1,0) ? (2,??)

C. (2,??)

D. (?1,0)

【 解 析 】 f ( x) 定 义 域 为 (0,??) , 又 由

f ' ( x) ? 2 x ? 2 ?

4 2( x ? 2)( x ? 1) ? ?0 x x ,解得

' ? 1 ? x ? 0 或 x ? 2 ,所以 f ( x) ? 0 的解集 (2,??)

27.(江西理 7)观察下列各式: 5 ? 3125 , 5 ? 15625 , 5 ? 78125 ,?,则 5
5 6 7

2011

的末

四位数字为 A. 3125 【答案】D

B. 5625

C. 0625

D.8125

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【解析】观察可知当指数为奇数时,末三位为 125;又 2011 ? 5 ? 2(1004 ? 1) ,即 5
7

2011

为第
2011

1004 个指数为奇数的项,应该与第二个指数为奇数的项( 5 ? 78125 )末四位相同,∴ 5 的末四位数字为 8125

?21? x , x ? 1 f ( x) ? ? ?1 ? log 2 x, x ? 1 ,则满足 f ( x) ? 2 的 x 的取值范围是 28.(辽宁理 9)设函数
A. [?1 ,2] 【答案】D B.[0,2] C.[1,+ ? ] D.[0,+ ? ]

? 29. (辽宁理 11) 函数 f ( x) 的定义域为 R ,f (?1) ? 2 , 对任意 x ? R ,f ( x) ? 2 , 则 f ( x) ? 2 x ? 4
的解集为 A. ( ? 1 ,1) 【答案】B B. ( ? 1 ,+ ? ) C. ( ? ? , ? 1 ) D. ( ? ? ,+ ? )

f ( x) ?
30.(辽宁文 6)若函数

x (2 x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a=

1 A. 2
【答案】A

2 B. 3

3 C. 4

D.1

(0, +?) 31.(全国Ⅰ理 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是
(A) y ? x 【答案】B 32.(全国Ⅰ理 9)由曲线 y ?
3

(B)

y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为

10 (A) 3
【答案】C

(B)4

16 (C) 3

(D)6

y?
33. (全国Ⅰ理 12)函数 坐标之和等于 (A)2 【答案】D

1 x ? 1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横
(C) 6 (D)8

(B) 4
2

34.(全国Ⅰ文 4)曲线 y ? x ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x ? 1

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(C) y ? 2 x ? 2 【答案】A

(D) y ? ?2 x ? 2

35. (全国Ⅰ文 9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x ? 0) ,则 (A) (C)

?x

f ? x ? 2? ? 0

?=

? x x ? ?2或x ? 4?

(B) (D)

? x x ? 0或x ? 4?

? x x ? 0或x ? 6?

? x x ? ?2或x ? 2?

【答案】B 36.(全国Ⅱ理 2)函数 y = 2 x ( x ≥0)的反函数为

x x 2 2 (A) y = 4 ( x ∈R) (B) y = 4 ( x ≥0) (C) y = 4 x ( x ∈R) (D) y = 4 x ( x ≥0)
【答案】B 【命题意图】 :本小题主要考查函数与反函数概念及求法特别要注意反函数的定义域即原函数 的值域。

2

2

y2 x2 【解析】由 y = 2 x ,得 x = 4 .?函数 y = 2 x ( x ≥0)的反函数为 y = 4 .( x ≥0)
37.(全国Ⅱ理 8)曲线 y ? e 的面积为
?2 x

? 1 在点(0,2)处的切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形

1 (A) 3

1 (B) 2

2 (C) 3

(D)1

【答案】A 【命题意图】 :本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求 法。 【解析】

y? |x ?0 ? (?2e?2 x ) |x ?0 ? ?2

,故曲线 y ? e

?2 x

? 1 在 点 ( 0,2 ) 处 的 切 线 方 程 为

1 y ? ?2 x ? 2 ,易得切线与直线 y ? 0 和 y ? x 围成的三角形的面积为 3 。 5 f (? ) ? 2 38. (全国Ⅱ理 9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? 2 x(1 ? x) , 则 1 (A) 2 ? 1 (B) 4 ? 1 (C) 4 1 (D) 2

【答案】A 【命题意图】 :本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

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5 5 1 1 1 1 1 f (? ) ? f (? ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2? (1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2。 【解析】
y?
39.(山东理 9)函数

x ? 2sin x 2 的图象大致是

【答案】C

y' ?
【解析】 因为

1 1 1 ? 2 cos x y ' ? ? 2cos x ? 0 cos x ? 2 2 4 ,此时原函数是增函数; ,所以令 ,得

y' ?


1 1 ? 2cos x ? 0 cos x ? 2 4 ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象, ,得 可得选 C 正确.

40. ( 山 东 理 10 ) 已 知 f ( x) 是 R 上 最 小 正 周 期 为 2 的 周 期 函 数 , 且 当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为
3

(A)6 (B)7 【答案】A

(C)8

(D)9
3

【解析】因为当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? x ,又因为 f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函

) 数 , 且 f( 0?

0 所 以 f ( 6? ) f ,

(? 4 )f

? ( 2f )

?, (又 0 )因 为 0 f ( 1? )

0所 以 ,

f ( 3? ) ,0f (5) ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 6 个,选
A. 41.(山东文 4)曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是
3

(A)-9 【答案】C

(B)-3

(C)9

(D)15

42. (陕西理 3) 设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) , 则函数 y ? f ( x) 的图像是 ( )

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【答案】B 【分析】根据题意,确定函数 y ? f ( x) 的性质,再判断哪一个图像具有这些性质. 【解析】选由 f (? x) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是偶函数, 所以函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 可知 B,D 符合;由 f ( x ? 2) ? f ( x) 得 y ? f ( x) 是周期为 2 的周期函数,选项 D 的图像的最 小正周期是 4,不符合,选项 B 的图像的最小正周期是 2,符合,故选 B. 43.(陕西文 4) 函数 y ? x 的图像是 (
1 3



【答案】B 【分析】已知函数解析式和图像,可以用取点验证的方法判断.

x?
【解析】 取 合题意.

1 1 1 1 ? y? ? 8 , 8 ,则 2 , 2 ,选项 B,D 符合;取 x ? 1 ,则 y ? 1 ,选项 B 符

44.(上海理 16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是(



y ? ln
(A) 【答案】A

1 | x| .

(B) y ? x .
3

(C) y ? 2 .
| x|

(D) y ? cos x .

45.(上海文 15)下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是(
?2 (A) y ? x ?1 (B) y ? x 2 (C) y ? x



(D) y ? x

1 3

【答案】A 46.(四川理 7)若 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, 图象大致是
1 f ( x) ? ( ) x ? 1 2 ,则 f ( x) 的反函数的

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【答案】A 【解析】 当 x ? 0 时, 函数 f ( x) 单调递减, 值域为 (1, 2) , 此时, 其反函数单调递减且图象在 x ? 1 与 x ? 2 之间,故选 A.
1 y ? ( )x ? 1 2 47.(四川文 4)函数 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是

【答案】A
1 y ? ( )x ? 1 2 【解析】 图象过点 (0, 2) ,且单调递减,故它关于直线 y=x 对称的图象过点 (2,0) 且 单调递减,选 A.

48.(天津理 2)函数 A.

f ? x ? ? 2 x ? 3x
B.

的零点所在的一个区间是( C.

) .

? ?2, ?1?

? ?1,0 ?

? 0,1?

D.

?1, 2 ?
f ? 0 ? ? 20 ? 0 ? 0

【答案】B 【解析】解法 1.因为 所以函数 解法 2.

f ? ?2 ? ? 2?2 ? 6 ? 0



f ? ?1? ? 2?1 ? 3 ? 0





f ? x ? ? 2 x ? 3x

的零点所在的一个区间是 可化为 2 ? ?3x .
x

? ?1, 0 ? .故选B.

f ? x ? ? 2 x ? 3x ? 0
x

画出函数 y ? 2 和 y ? ?3x 的图象,可观察出选项C,D不正确,且

f ? 0 ? ? 20 ? 0 ? 0

,由此可排除A,故选B.

log 2 x, x?0 ? ? f ? x ? ? ?log ? ? x ? , x ? 0 1 f ? a ? ? f ? ?a ? ? ? 2 49.(天津理 8)设函数 若 ,则实数 a 的取值范围
是( ) .

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59

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A. C.

? ?1,0 ? U ? 0 ,1?

B. D.

? ?? , ?1? U ?1, ?? ?

? ?1,0 ? U ?1, ?? ?

? ?? , ?1? U ? 0,1?
2 log 2 a ? 0
,所以 a ? 1 ,

【答案】C 【解析】若 a ? 0 ,则 若a ?0则
2

log 2 a ? log 1 a
2

,即

log 1 ? ?a ? ? log 2 ? ?a ?
,即

2 log 2 ? ?a ? ? 0

,所以 0 ? ?a ? 1 , ?1 ? a ? 0 。 .故选 C. ) .

所以实数 a 的取值范围是 a ? 1 或 ?1 ? a ? 0 ,即 50.(天津文 4)函数 A.

a ? ? ?1,0 ? U ?1, ?? ?

f ? x ? ? ex ? x ? 2
B.

的零点所在的一个区间是( C.

? ?2, ?1?

? ?1, 0 ?

? 0,1?

D.

?1, 2 ?

【答案】C 【解析】因为

f ? ?1? ? e?1 ? 1 ? 2 ? 0



f ? 0 ? ? e0 ? 0 ? 2 ? ?1 ? 0 f ? x ? ? ex ? x ? 2



f ?1? ? e1 ? 1 ? 2 ? e ? 1 ? 0
选C. 51.(天津文 6)设 A. a ? c ? b C. a ? b ? c 【答案】D 【解析】因为 所以

,所以函数

的零点所在的一个区间是

? 0,1? .故

a ? log5 4



b ? ? log 5 3?

2



c ? log 4 5

,则(

) .

B. b ? c ? a D. b ? a ? c

c ? log 4 5 ? c ? log 4 4 ? 1
2



0 ? a ? log5 4 ? 1




0 ? a ? log 5 3 ? 1



b ? ? log 5 3? ? log 5 3 ? log 5 4 ? log 5 4 ? a

所以 b ? a ? c ,故选D.

? ? g ? x ? ? x ? 4, x ? g ? x ? , f ? x? ? ? g ? x? ? x ? 2 ? x ? R ? ? ? g ? x ? ? x, x ? g ? x ? , 则 f ? x ? 52.(天津文 10)设函数 ,
2

的值域是(

) .

? 9 ? ? ? , 0 ? U ?1, ?? ? A. ? 4 ? ?9 ? , ?? ? ? ? C. ? 4

B.

? 0, ?? ? ,

? 9 ? ? ? , 0 ? U ? 2, ?? ? D. ? 4 ?

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【答案】D 【解析】 解

x ? g ? x ? ? x2 ? 2

2 x ? g ? x? ? x ? 2 得 x ? x?2 ? 0, 则 x ? ?1 或 x ? 2 . 因此 的
2

? x 2 ? x ? 2, x ? ?1或x ? 2, f ? x? ? ? 2 ? x ? x ? 2, ? 1 ? x ? 2, 解为: ?1 ? x ? 2 .于是
当 x ? ?1 或 x ? 2 时,
2

f ? x? ? 2


2

1? 9 ? 9 x ?x?2??x? ? ? f ? x? ? ? 2 4 ? ? 4, 当 ?1 ? x ? 2 时, ,则

9 ? ? f ? x? ? 0 又当 x ? ?1 和 x ? 2 时, x ? x ? 2 ? 0 ,所以 4 .
2

? 9 ? 9 ? , 0 ? U ? 2, ?? ? ? ? f x ? 0 ? ? ? f ? x? f ? x? ? 2 4 ? ? 4 由以上, 可得 或 , 因此 的值域是 . 故选D.
?x 2 x?0 f ?x ? ? ? ? f ( x ? 1), x ? 0 ,则 f ?2? ? f ?? 2? 的值为 53.(浙江理 1)已知
A.6 【答案】B B.5 C.4 D.2

54.(浙江文 10)设函数

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ? a, b, c ? R ?
y ? f ? x?
的图象是

,若 x ? ?1 为函数

f ? x ? e2

的一个

极值点,则下列图象不可能为

【答案】D

ln(2 ? x) ?在其上为增函数的是 55.(重庆理 5)下列区间中,函数 f ( x) =?
(A) (- ?,1 ] 【答案】D 56.(重庆理 10)设 m,k 为整数,方程 mx ? kx ? 2 ? 0 在区间(0,1)内有两个不同的根,
2

? 4? ?1, ? ? 3? ? (B)

? 3 0, ? 2 ? (C)

?
(D)

?1, 2 ?

则 m+k 的最小值为 (A)-8 (B)8

(C)12

(D) 13

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【答案】D 57. (重庆文 3)曲线 (A) (C) 在点 (B) (D) , 处的切线方程为 A

58. (重庆文 6)设 (A) (C) 【答案】B

, (B) (D)

,

,则 , , 的大小关系是

59. (重庆文 7)若函数



处取最小值,则

(A) (C)3 【答案】C 二、填空题 60. (重庆文 15)若实数 , , 满足 是 【答案】 .

(B) (D)4

,

,则 的最大值

2 ? log 2 3

61.(浙江文 11)设函数 k 【答案】-1

f ( x) ?

4 1 ? x ,若 f (a) ? 2 ,则实数 a =________________________

62.(天津文 16)设函数 则实数 m 的取值范围是 【答案】

f ? x? ? x ?


1 x .对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0 恒成立,

? ??, ?1? .
f ? x? ? x ? 1 x 对 x ? ?1, ?? ? 是增函数,

【解析】解法 1.显然 m ? 0 ,由于函数

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则当 m ? 0 时,

f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

不恒成立,因此 m ? 0 . 在

当 m ? 0 时,函数

h ? x ? ? f ? mx ? ? mf ? x ?

x ? ?1, ?? ?

是减函数,

因此当 x ? 1 时, 于是

h ? x?

取得最大值

h ?1? ? m ?

1 m,
h ? x ? ? x ? ?1, ?? ? ?
的最大值 ? 0 ,

h ? x ? ? f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

恒成立等价于



h ?1? ? m ?

1 ?0 m ,解

1 ? ? m ? ? 0, m ? ? ? m ? 0,

得 m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是

? ??, ?1? .

解法 2.然 m ? 0 ,由于函数

f ? x? ? x ?

1 x 对 x ? ?1, ?? ? 是 增 函 数 , 则 当 m ? 0 时 ,

f ? m x? ? m f? ? x? 0

不成立,因此 m ? 0 .

f ? mx ? ? mf ? x ? ? mx ?
x ? ?1, ?? ?

1 m 1 ? m 2 2m 2 x 2 ? 1 ? m 2 ? mx ? ? 2mx ? ? ?0 mx x mx mx ,
2 2 2

因为

2 2 2 g ? x ? ? 2m x ? 1 ? m , m ? 0 , 则 2m x ? 1 ? m ? 0 , 设 函 数 ,则当

x ? ?1, ?? ?

时为增函数,于是 x ? 1 时,

g ? x?

取得最小值

g ?1? ? m2 ? 1





? g ?1? ? m 2 ? 1 ? 0, ? ? m ? 0, ? ?

得 m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是

? ??, ?1? .

解法 3.因为对任意

x ? ?1, ?? ?



f ? mx ? ? mf ? x ? ? 0

恒成立,所以对 x ?1 ,不等式

f ? mx? ? mf? x ??0

也成立,于是

f ? m ? ? mf ?1? ? 0

m?
,即

1 ?0 m ,解

1 ? ? m ? ? 0, m ? ? ? m ? 0,



m ? ?1 .于是实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? .
?3 ? x ? ? , ?? ? f ? x ? ? x ?1 ?2 ?, 63.(天津理 16)设函数 .对任意
2

?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 恒成立,则实数 m 的取值范围是



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? ? 3? ? 3 ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 【答案】 .

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? 0 ?m? 【解析】解法1.不等式化为 ,即

? x ? 1? ? 1 ? 4m2 ? 4 ?
2

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 2 m ,

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? ,

因为 x ? 0 ,所以
2

1?

1 2x ? 3 2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? 4m 2 ? g ? x? ? ? ? 2 2 ?2 ?. m x ,设 x2 ,

1?
于是题目化为

?3 ? 1 2 x ? ? , ?? ? ? 4 m ? g x ? ? ?2 ? 恒成立的问题. m2 ,对任意

为此需求

g ? x? ?

2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? 1 2 u? 0?u? ? ? 2 ?2 ? 的最大值.设 x ,则 x , 3.
? 2? 2 u? ? 0, ? 3 处取得最大值. 在区间 ? 3 ? 上是增函数,因而在

函数

g ? x ? ? h ? u ? ? 3u 2 ? 2u

4 2? 2 8 ?2? 1 8 h ? ? ? 3? ? ? 1 ? 2 ? 4m2 ? umax ? x ? ? 9 3 3 ,所以 m ?3? 3,
4 2 4m ? 3 3m ? 1 ? 0 整理得 12m ? 5m ? 3 ? 0 ,即 ,
2 2

?

??

?

所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 , 2 或

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 因此实数 的取值范围是 .

1?
解法 2.同解法 1,题目化为

?3 ? 1 2 x ? ? , ?? ? ? 4 m ? g x ? ? ?2 ? 恒成立的问题. m2 ,对任意

为此需求

g ? x? ?

2 x ? 3 x ? ? 3 , ?? ? ? ? ?2 ? 的最大值. x2 ,

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g ? x ? ? h ?t ? ?
t ? ? 6, ?? ? 设 t ? 2 x ? 3 ,则 .

4t 4 ? t ? 6t ? 9 t ? 9 ? 6 t .
2

t?
因为函数

9 9 3 t ? 6 ? t 在 ? 3, ?? ? 上是增函数,所以当 t ? 6 时, t 取得最小值 2.

4 8 ? 1 8 3 1 ? 2 ? 4m2 ? g max ? x ? ? 6? ?6 3 h ?t ? 2 m 3 ,整理得 从 而 有 最 大 值 . 所 以
12m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 ,

? 4m 即

2

? 3?? 3m 2 ? 1? ? 0

,所以 4m ? 3 ? 0 ,解得
2

m??

3 3 m? 2 , 2 或

? ? 3? ? 3 m?? ? ??, ? 2 ? U ? 2 , ?? ? ? ? ? ? ?. 因此实数 m 的取值范围是

?x? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? 0 ?m? 解法 3.不等式化为 ,即

? x ? 1?

2

? 1 ? 4m 2 ? 4 ?

x2 ? 1 ? 4m 2 x 2 ? 4m 2 ? 0 2 m ,

1 ? 2? 2 ? 1 ? 2 ? 4m ? x ? 2 x ? 3 ? 0 m ? 整理得 ? , 1 ? ? F ( x ) ? ? 1 ? 2 ? 4m 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? m ? 令 .
由于

F ? 0 ? ? ?3 ? 0

,则其判别式 ? ? 0 ,因此

F ? x?

的最小值不可能在函数图象的顶点得到,

?3? ?3 ? F? ? x ? ? , ?? ? ?2 ? 恒成立,必须使 ? 2 ? 为最小值, 所以为使 F ( x) ? 0 对任意
即实数 m 应满足

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? ? 1 ?1 ? 2 ? 4 m2 ? 0 ; ? m ? ? ?3? ? F ? ? ? 0; ? ?2? ? 2 3 ? ? 1 2 2? ?2? ?1 ? 2 ? 4m ? ? ? m ? ?
? ? 3? ? 3 3 m ? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? m ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? m 4 解得 ,因此实数 的取值范围是 .
2

?3 ? x ? ? , ?? ? ?2 ?, 解法 4.(针对填空题或选择题)由题设,因为对任意 ?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 恒成立,

x?
则对

3 2 ,不等式

?x? f ? ? ? 4m 2 f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 4 f ? m ? ?m? 也成立,

x?


? 3 ? ?1? 3 2 ?3? f? ? ? 4m f ? ? ? f ? ? ? 4 f ? m ? ?2? ?2? 2 代入上式得 ? 2m ? ,即

9 9 1 ? 1 ? 4m 2 ? ? 4m 2 ? ? 1 ? 4 m 2 ? 4 2 2 2 4 4 4m ,因为 4m ? 0 ,上式两边同乘以 4 m ,并整理


12m ? 5m ? 3 ? 0 , 即
4 2

? 4m2 ? 3?? 3m2 ? 1? ? 0

, 所 以 4m ? 3? 0, 解 得
2

m??

3 2 或

m?

3 2 ,

? ? 3? ? 3 m?? ?? , ? U , ?? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 因此实数 m 的取值范围是
1 ? 1 (lg ? lg 25) ? 100 2 = 64.(四川理 13)计算 4 _______.

【答案】-20
1 ? 1 lg 2 ? lg 5 1 (lg ? lg 25) ? 100 2 ? ?2 ? ? ?2 ? lg10 ? ? ?20 1 ? 4 10 100 2 【解析】 .

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65. (四川理 16) 函数 f ( x) 的定义域为 A, 若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 , 则称 f ( x) 为单函数.例如,函数 f ( x) =2x+1( x ? R )是单函数.下列命题:
2 ①函数 f ( x) ? x (x ? R)是单函数;

②若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③若 f:A→B 为单函数,则对于任意 b ? B ,它至多有一个原象; ④函数 f ( x) 在某区间上具有单调性,则 f ( x) 一定是单函数. 其中的真命题是_________. (写出所有真命题的编号) 【答案】②③ 【解析】对于①,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ,不满足;②实际上是单函数命题的逆否命题, 故为真命题;对于③,若任意 b ? B ,若有两个及以上的原象,也即当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时,不一 定有 x1 ? x2 ,不满足题设,故该命题为真;根据定义,命题④不满足条件. 66.(上海文 3)若函数 f ( x) ? 2 x ? 1 的反函数为 f
?1

( x) ,则 f ?1 (?2) ?

3 【答案】 2 ?
a
67.(上海文 12)行列式

b d

c

(a, b, c, d ? {?1,1, 2}
所有可能的值中,最大的是

15 【答案】 2
68.(上海文 14)设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区间

[0,1] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [0,3] 上的值域为
【答案】 [?2,7]

f ( x) ?
69.(上海理 1)函数

1 ?1 x ? 2 的反函数为 f ( x) ?

.

1 ?2 【答案】 x

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a
70. (上海理 10) 行列式 【答案】 6

b d

c

(a, b, c, d ? {?1,1, 2})
所有可能的值中, 最大的是 .

71.(上海理 13) 设 g ( x) 是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x ? g ( x) 在区 间 [3, 4] 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x) 在区间 [?10,10] 上的值域为 【答案】 [?15,11] .

?lg x, x ? 0 f ( x) ? ? x ?10 , x ? 0 ,则 f ( f (?2)) ? ______. 72.(陕西文 11)设
【答案】 ?2 【分析】由 x ? ?2 算起,先判断 x 的范围,是大于 0,还是不大于 0,;再判断 f (?2) 作为自 变量的值时的范围,最后即可计算出结果. 【 解 析 】 ∵ x ? ?2 ? 0 , ∴

f (?2) ? 10?2 ?

1 ?0 ?2 ?2 100 , 所 以 f (10 ) ? lg10 ? ?2 , 即

f ( f (? 2 ) ? )? . 2

lg x ? ? f ( x) ? ? a x ? 3t 2dt ? ? 0 ? 73.(陕西理 11)设

x?0 x? 0
,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? .

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断,从 x ? 1 算起是解答本题的突破口.

f ( x) ? x ? ? 3t 2dt ? x ? a3 0 【解析】因为 x ? 1 ? 0 ,所以 f (1) ? lg1 ? 0 ,又因为 ,
3 所以 f (0) ? a ,所以 a ? 1 , a ? 1 .
3

a

【答案】1 74. (陕西理 12) 设

n ? N?

, 一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是 n ?
2



【答案】3 或 4 【分析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断计算.

x?
【解析】

4 ? 16 ? 4n ? 2 ? 4 ? n ,因为 x 是整数,即 2 ? 4 ? n 为整数,所以 4 ? n 2
,验证可知 n ? 3, 4 符合题意;反之 n ? 3, 4

n ? N? ,2,3 ,4 为整数,且 n ? 4 ,又因为 ,取 n ? 1

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时,可推出一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根.
2

75.(山东理 16)已知函数 f(x) =

log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1).
.

当 2<a<3<b<4 时,函数

x ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= f(x) 的零点 0
【答案】5 【解析】方程

log a x ? x ? b(a>0,且a ? 1)

=0 的根为

x0

,即函数

y ? log a x(2 ? a ? 3)

的图

象与函数 y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的交点横坐标为

x0

,且

x0 ? (n, n ? 1), n ? N *

,结合图象,因为当

x ? a(2 ? a ? 3) 时, y ? 1 ,此时对应直线上 y ? 1 的点的横坐标 x ? 1 ? b ? (4,5) ;当 y ? 2 时,
对数函数

y ? log a x(2 ? a ? 3)

的图象上点的横坐标 x ? (4,9) ,直线 y ? x ? b(3 ? b ? 4) 的图

象上点的横坐标 x ? (5,6) ,故所求的 n ? 5 .
x 76.(辽宁文 16)已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范围是___________.

【答案】 (??, 2ln 2 ? 2] 77.(江苏 2)函数

f ( x) ? log 5 (2 x ? 1)

的单调增区间是__________

1 (- , +?) 【答案】 2 1 x ? ( ? , ??), y ? log5 u (0, ??) ? . u ? 2x ? 1 2 【解析】 在 在 大于零,且增.
本题主要考查函数的概念,基本性质,指数与对数,对数函数图象和性质,容易题 78.(江苏 8)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 【答案】4.

f ( x) ?

2 x 的图象交

4 2 2 PQ ? (2 x) 2 ? ( ) 2 ? 4 ( x , ) ( ? x, ? ) x x , x ,则 【解析】设经过原点的直线与函数的交点为 .
本题主要考查幂函数,函数图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,两点间距离公式以 及基本不等式,中档题.

?2 x ? a , x ? 1 f ( x) ? ? ?? x ? 2a, x ? 1,若 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,则 a 79.(江苏 11)已知实数 a ? 0 ,函数
的值为________

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a??
【答案】

3 4

【解析】 ? a ? 0 .

a ? 0, 2 ? 2a ? a ? ?1 ? a ? 2a, a ? ?

3 2 ,不符合; 3 4 .

a ? 0, ?1 ? a ? 2a ? 2 ? 2a ? a, a ? ?

本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题. 80.(江苏 12)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动
x

点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点 的纵坐标为 t,则 t 的最大值是_____________

1 1 (e ? ) e 【答案】 2
【解析】设

P( x0 , e x0 ),



l : y ? e x0 ? e x0 ( x ? x0 ),? M (0, (1 ? x0 )e x0 )


,过点 P 作 l 的垂线

y ? e x0 ? ?e? x0 ( x ? x0 ),? N (0, e x0 ? x0e? x0 )

1 1 ? t ? [(1 ? x0 )e x0 ? e x0 ? x0e? x0 ] ? e x0 ? x0 (e? x0 ? e x0 ) 2 2
1 t ? ? (e x0 ? e? x0 )(1 ? x0 ) 2 ,所以,t 在 (0,1) 上单调增,在 (1, ??) 单调减,
1 1 ? x0 ? 1, tmax ? (e ? ) 2 e .
本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用 导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系,运算求解能力 ,综合应用 有关知识的能力,本题属难题. 81.(湖南文 12)已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? 【答案】6 【解析】 g (?2) ? f (?2) ? 9 ? 3, 则f (?2) ? ?6 ,又 f ( x) 为奇函数,所以 .

f (2) ? ? f (?2) ? 6 。

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82.(湖北文 15)里氏震级 M 的计算公式为:

M ? l g A ? l g A 0 ,其中 A 是测震仪记录的地震

曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1000,此时标准地震 的振幅为 0.001,则此次地震的震级为__________级;9 级地震的最大的振幅是 5 级地震最大 振幅的__________倍。 【答案】6,10000 83.(广东文 12)设函数 f ( x) ? x cos x ? 1. 若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ?
3



【答案】-9 84.(广东理 12)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ?
3 2

处取得极小值.

【答案】

解析 : f ' (x) ? 3x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2),? f ( x)的单调递增区间为: (??,0), (2,??), 递减区间为(0,2), ? f ( x)在x ? 2处取得极小值.

?2 x?2 ? , f ( x) ? ? x ?( x ? 1)3 , x ? 2 ? 85.(北京理 13)已知函数 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的
实根,则实数 k 的取值范围是________. 【答案】

f ( x) ?
【解析】

2 ( x ? 2) 3 x 单调递减且值域为(0,1], f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 2) 单调递增且值域

为 (??,1) , f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是(0,1) 。

y?
86.(安徽文 13)函数

1 6 ? x ? x 2 的定义域是
.

【答案】 (-3,2) 【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.

? x +3?? x ? 2 ? ? 0 ,所以 ?3 ? x ? 2 . 【解析】由 6 ? x ? x ? 0 可得 x ? x ? 6 ? 0 ,即
2 2

三、解答题

ex f ( x) ? 1 ? ax ,其中 a 为正实数 87.(安徽理 16)设
? 4 3 时,求 f ( x) 的极值点;

(Ⅰ)当 a

(Ⅱ)若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。 本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等 式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.

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71

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解:对 f ( x) 求导得

f ?( x) ? e x

1 ? ax 2 ? ax . (1 ? ax 2 ) 2



a?
(I)当 综合①,可知

4 3 1 f ?( x) ? 0, 则4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0, 解得x1 ? , x2 ? . 3 ,若 2 2

x
f ?( x)
f ( x)

1 ( ??, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2
- ↘

3 2
0 极小值

3 ( , ?) 2
+ ↗

所以,

x1 ?

3 1 x2 ? 2 是极小值点, 2 是极大值点.

? ( II )若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则 f ( x) 在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0
在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0, 由此并结合 a ? 0 ,知 0 ? a ? 1.
2

88.(北京理 18)已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e .
2

x k

(1)求 f ( x) 的单调区间;

(2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有
/

f ( x) ?

1 e ,求 k 的取值范围。

x 1 2 2 k f ( x ) ? ( x ? k )e / k 解:(1) ,令 f ( x) ? 0 得 x ? ?k

当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ?k ) 上递增

(2) 当 k ? 0 时,

f (k ? 1) ? e

k ?1 k

?

1 1 f ( x) ? e ;所以不可能对 ?x ? (0 , ? ?) 都有 e;

4k 2 f (?k ) ? e ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) 都 当 k ? 0 时有(1)知 f ( x) 在 (0, ??) 上的最大值为

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f ( x) ?


1 e

4k 2 1 1 1 1 ? ?? ?k?0 [ ? ,0) f ( x) ? ? ? ) ? x ? ( 0 e 2 e 时,k 的取值范围为 2 即 e , 故对 , 都有 。
89.(北京文 18)已知函数 (II)求

f ? x ? ? ? x ? k ? ex

, (I)求

f ? x?

的单调区间;

f ? x?

在区间

? 0,1? 上的最小值。

/ x / f ? x ? (??, k ? 1) 解: (I) f ( x) ? ( x ? k ? 1)e ,令 f ( x) ? 0 ? x ? k ? 1 ;所以 在 上递减,

在 (k ? 1, ??) 上递增;

f ? x? ? 0,1? 上递增,所以 f ( x)min ? f (0) ? ?k ; (II)当 k ? 1 ? 0, 即k ? 1 时,函数 在区间 f ? x? ? 0, k ? 1? 上递减, (k ? 1,1] 上递 当 0 ? k ? 1 ? 1 即 1 ? k ? 2 时,由(I)知,函数 在区间
增,所以

f ( x)min ? f (k ? 1) ? ?ek ?1



f ? x? ? 0,1? 上递减,所以 f ( x)min ? f (1) ? (1 ? k )e 。 当 k ? 1 ? 1,即k ? 2 时,函数 在区间
90.(福建理 18)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克)与销

售价格 x (单位:元/千克)满足关系式

y?

a ? 10( x ? 6)2 x ?3 ,其中 3 ? x ? 6 , a 为常数,已

知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 若该商品的成品为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的 利润最大.

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 y ? 11 解:(Ⅰ)因为 x ? 5 时 ,所以 2 ; y?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 利润:

2 ? 10( x ? 6)2 x ?3 , 所以商场每日销售该商品所获得的

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6)2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6)2 ,3 ? x ? 6 x ?3 ;

f / ( x) ? 10[( x ? 6)2 ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) ,令 f / ( x) ? 0 得 x ? 4

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函数 f ( x) 在 (3, 4) 上递增, 在 (4,6) 上递减, 所以当 x ? 4 时函数 f ( x) 取得最大值 f (4) ? 42 答:当销售价格 x ? 4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. 91.(福建文 22)已知 a、b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2, (e= 2.71828?是自然对数的底数) 。 (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M) ,使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 1 与曲线 y=f(x)(x∈[ ,e])都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若 e 不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)b=2; (Ⅱ)a>0 时单调递增区间是(1,+∞) ,单调递减区间是(0,1) , a< 0 时单调递增区间是(0,1) ,单调递减区间是(1,+∞) ; (Ⅲ)存在 m,M;m 的最小值为 1, M 的最大值为 2。 92.(广东理 21)

在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:y ?

1 2 x .实数p, q满足p 2 ? 4q ? 0,x1 , x2是方程 4 x 2 ? px ? q ? 0的两根, 记? (p, q ) ? max{| x1 |,| x2 |}. 1 2 p0 )( p0 ? 0)作L的切线交y轴于点B.证明:对线段AB上的作一点Q(p, q), 4 |p | 有? (p, q) ? 0 ; 2
2

(1)过点A(p0 ,

l ,l (2)设 M (a,b) 是定点,其中 a, b 满足 a ? 4b>0,a≠0 .过 M (a, b) 作 L 的两条切线 1 2 ,
E ( p1 , 1 2 1 p1 ), E '( P2 , P2 2 ) l , l 4 4 ,1 2 与 y 分别交于 F , F ' .线段 EF 上异于两端点的点

切点分别为

集记为 X .证明:

M ( a, b) ? X ? P 1 ? P 2 ? ? ( a, b) ?

|P 1| 2

? 1 5? (3)设D ? ?( x, y ) y ? x ? 1, y ? ( x ? 1) 2 ? ? , 当点(p, q)取遍D时,求 4 4? ? ? (p, q)的最小值(记为? min )和最大值(记为? max ).



1 1 k AB ? y ' |x ? p0 ? ( x) |x ? p0 ? p0 2 2 , 解: (1) y?
直线 AB 的方程为

1 2 1 1 1 y ? p0 x ? p0 2 p0 ? p0 ( x ? p0 ) 2 4 4 2 ,即 ,

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?q ?

1 1 p0 p ? p0 2 2 ? ? p 2 ? 4q ? ( p ? p0 ) 2 2 4 ,方程 x ? px ? q ? 0 的判别式 ,
p ? | p0 ? p | p0 p p? 0 ? 2 , 2 2 或 ?| p ?


两根

x1,2 ?

? p ? p0 ? 0

p0 p |?|| p | ? | 0 || 2 2 ,又 0 ? | p | ?| p0 | ,

?? |

p0 p p p p p |? | p | ? | 0 |? | 0 | ?| p ? 0 |?|| p | ? | 0 ||?| 0 | 2 2 2 ,得 2 2 2 , p0 | 2 .

?? ( p, q) ?|
2

(2)由 a ? 4b ? 0 知点 M (a, b) 在抛物线 L 的下方, ①当 a ? 0, b ? 0 时,作图可知,若 M (a, b) ? X ,则 若

p1 ? p2 ? 0

,得

| p1 | ? | p2 |



| p1 | ? | p2 |

?| p1 | ? | p2 | ,显然有点 M (a, b) ? X ; ? M (a, b) ? X .

②当 a ? 0, b ? 0 时,点 M (a, b) 在第二象限, 作图可知,若 M (a, b) ? X ,则 若

p1 ? 0 ? p2

,且

| p1 | ? | p2 |



| p1 | ? | p2 |

,显然有点 M (a, b) ? X ;

? M (a, b) ? X ?| p1 | ? | p2 | .
根据曲线的对称性可知,当 a ? 0 时, M (a, b) ? X 综上所述, M (a, b) ? X

?| p1 | ? | p2 |



?| p1 | ? | p2 |

(*) ;

由(1)知点 M 在直线 EF 上,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根
2

x1,2 ?

p1 p a? 1 2 , 2 或

同理点 M 在直线 E ' F ' 上,方程 x ? ax ? b ? 0 的两根
2

x1,2 ?

p2 p a? 2 2 , 2 或

? (a, b) ?|


p1 p p p p | 1| |a? 1 | | 2 | |a? 2 | | 2 、 2 、 2 ,则 2 不比 2 小,
,又

?| p1 |?| p2 |

| p1 | ? | p2 | ? M (a, b) ? X ,

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?? (a, b) ?|

p1 p |? ? ? (a, b) ?| 1 | M (a, b) ? X ;又由(1)知, M (a, b) ? X 2 2 ; p1 |? M (a, b) ? X ,综合(*)式,得证. 2

?? (a, b) ?|

(3)联立 y ? x ? 1 ,

y?

1 5 ( x ? 1)2 ? 4 4 得交点 (0, ?1), (2,1) ,可知 0 ? p ? 2 ,

1 2 x0 ? q 1 4 1 2 ? x0 ( x0 , x0 ) x ?p 2 , 4 过点 ( p, q) 作抛物线 L 的切线,设切点为 ,则 0


x0 2 ? 2 px0 ? 4q ? 0

,解得

x0 ? p ?

p 2 ? 4q



q?


1 5 ( p ? 1) 2 ? 2 4 4 ,即 p ? 4q ? 4 ? 2 p ,
4 ? 2p ? t

? x0 ? p ? 4 ? 2 p

,设

1 1 5 ? x0 ? ? t 2 ? t ? 2 ? ? (t ? 1) 2 ? 2 2 2, ,

? ?max ?|

x0 5 5 x0 ? ? ? max ? |max 2 2, 4; ,又
p 2 ? 4 p ? 4 ? p ? | p ? 2 |? 2


? q ? p ? 1,? x0 ? p ?
??min ?| x0 |min ? 1 2 .

93.(广东文 19) 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性.
2

解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞)

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f '( x ) ?

2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 , x

1 当a ? 1时,方程2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 ? 0的判别式? ? 12(a ? 1)(a ? ) 3 1 ①当0<a ? 时,? ? 0, f '( x )有2个零点 3 x1 ? (a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? , 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a )

且当0 ? x ? x1或x ? x2时,f '( x ) ? 0, f ( x )在(0, x1 )与( x2 , ??)内为增函数; 当x1 ? x ? x2时,f '( x ) ? 0, f ( x )在( x1 , x2 )内为减函数 1 ②当 ? a ? 1时,? ? 0, f '( x ) ? 0, f ( x )在(0, ??)内为增函数; 3 1 ③当a ? 1时,f '( x ) ? ? 0( x ? 0), f ( x ) 在(0, ??)内为增函数; x ④当a ? 1时,? ? 0, x1 ? (a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? ? 0, x2 ? ? ? 0, 所以f '( x )在定义域内有唯一零点x1; 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a )

且当0 ? x ? x1时,f '( x ) ? 0, f ( x )在(0, x1 )内为增函数;当x ? x1时,f '( x ) ? 0, f ( x ) 在( x1, ??)内为减函数;

综上所述,f(x)的单调区间如下表:

0?a?
(0, x1 )

1 3
( x1 , x2 )

1 ? a ?1 3
( x2 , ??)

a ?1
(0, x1 ) ( x1 , ??)

(0, ??)
?

?
x1 ?
(其中

?

?

?

?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ? , x2 ? ? 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a ) )

94.(湖北理 17)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下, 大桥上的车流速度 v (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) f ?x ? ? x ? v?x ? 可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) 本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v?x ? ? 60 ;当 20 ? x ? 200 时,设 v?x ? ? ax ? b ,

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1 ? a?? ? ? 3 ? ?200 a ? b ? 0 ?b ? 200 ? ? 20 a ? b ? 60 3 显然 v?x ? ? ax ? b 在 ?20,200 ?是减函数,由已知得 ? ,解得 ?
0 ? x ? 20, ?60, ? ?1 ?200 ? x ?, 20 ? x ? 200 . ? ? ? ? ? v x v x 3 ? 故函数 的表达式为 = 0 ? x ? 20, ?60 x, ? ?1 20 ? x ? 200 . ? x?200 ? x ?, (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ?x ? ? ? 3
当 0 ? x ? 20 时, f ? x ? 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;

当 20 ? x ? 200 时,

f ?x ? ?

1 1 ? x ? ?200 ? x ?? 10000 x?200 ? x ? ? ? ? ? 3 3? 2 3 , ?
2

当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 所以,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?20,200 ?上取得最大值 综上,当 x ? 100 时, f ? x ? 在区间 ?0,200 ? 上取得最大值

10000 3 .

10000 ? 3333 3 ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 95.(湖北理 21) (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1 , x ? (0, ??) ,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)设 (1)若

ak , bk (k ? 1, 2 ?, n) 均为正数,证明:
?
bn an bn ? b1 ? b2 ? bn a b1 a b2 ? an ?1 ? ,则 1 2 ;

a1b1 ? a2b2 ? b1 ? b2 ?

(2)若

?

bn

1 2 2 2 bn bb1bb2 ? bn ? b1 ? b2 ?+ bn 。 =1,则 n ? 1 2

解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令

f / ( x) ?

1 ?1 ? 0 ? x ? 1 x ,

f ( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减,故函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得最大值 f (1) ? 0
(Ⅱ) (1)由(Ⅰ)知当 x ? (0, ??) 时有 f ( x) ? f (1) ? 0 即 ln x ? x ? 1,

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n n



ak , bk ? 0
n

,∴
n

bk bk ? ln ak ? bk (ak ? 1),(k ? 1, 2,? n) ? ? ln ak ? ? bk (ak ? 1) k ?1 k ?1



? ak bk ? ? bk
k ?1 k ?1



? ln a
k ?1

n

bk k

?0


bn bn b2 b2 ln(a1b1 a2 ? an ) ? 0 ? a1b1 a2 ? an ?1

n 1 1 1 a ? ,( k ? 1, 2, ? , n ) a b ? ? ak bk ? 1 b b ?b ? k ? k k nb n k ? 1 k n (2)①先证 ,令 ,则

b1 b2 1 2

bn n

1 b1 1 b2 1 bn 1 ) ( ) ?( ) ? 1 ? b1 b2 ? nb1?b2 ???bn ? n bn nb1 nb2 nbn b1 b2 ?bn 由(1)知 (
bn b2 b1b1b2 ?bn ?



1 n;
bn n

②再证
n

b b b ? b ? b1 ? b2 ?+ n ,记
b1 b2 1 2

2

2

2

S ? ? bk2 , ak ?
k ?1

n

bk ,(k ? 1, 2,?, n) S



? ak bk ?
k ?1

n 1 n 2 b ? 1 ? bk ?k ? S k ?1 k ?1 于是由(1)得

b b b bn b2 ( 1 )b1 ( 2 )b2 ?( n )bn ? 1 ? b1b1b2 ?bn ? S b1?b2 ???bn ? S S S S
所以
2 2 2 bn b2 b1b1b2 ? bn ? b1 ? b2 ?+ bn 。综合①②, (2)得证

() x? x? 2 a x? b x ? a ( )? x? 3 x ? 2 96.(湖北文 20)设函数 f , gx ,其中 x ? R ,a、b
3 2 2

为常数,已知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l 。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程;

x x x ? x2 x ) ? gx ( )? m x (II)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 1 、 2 ,其中 1 ,且对任意的

x??x 1, x 2?
/

() x ? g () x ? m ( x ? 1 ) ,f 恒成立,求实数 m 的取值范围。
2 /

解: (I) f ( x) ? 3x ? 4ax ? b, g ( x) ? 2 x ? 3 , 由于曲线曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点 (2,0) 处有相同的切线,故有 f (2) ? g (2) ? 0, f (2) ? g (2) ? 1 ,由此解得: a ? ?2, b ? 5 ;
/ /

切线 l 的方程: x ? y ? 2 ? 0 ‘ (II)由(I)得 f ( x) ? g ( x) ? x ? 3x ? 2 x ,依题意得:方程 x( x ? 3x ? 2 ? m) ? 0 有三个互
3 2 2

不相等的根

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0, x1, x2

,故

x1 , x2

是方程 x ? 3x ? 2 ? m ? 0 的两个相异实根,所以
2

? ? 9 ? 4(2 ? m) ? 0 ? m ? ?
x??x 1, x 2?

1 4;

又对任意的

x ? x1 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) ,f 恒成立,特别地,取 时,
成 立 , 即 0 ? ?m ? m ? 0 , 由 韦 达 定 理 知 : , 故

f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? ?m

x1 ? x2 ? 3 ? 0, x1x2 ? 2 ? m ? 0 x ? x2 ? 0, x ? x1 ? 0, x ? 0

0 ? x1 ? x2

, 对 任 意 的

x??x 1, x 2?

, 有

,则: ;又

f ( x) ? g ( x) ? mx ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0
所以函数在

f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? mx1 ? 0

x??x 1, x 2?

x??x 1, x 2? 上的最大值为 0,于是当 m?0 时对任意的 ,

1 ( ? ,0) f () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 恒成立;综上: m 的取值范围是 4 。

1 f ( x) ? x ? ? a ln x(a ? R). x 97.(湖南文 22)设函数
(I)讨论 f ( x) 的单调性;

x 和x2 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) (II)若 f ( x) 有两个极值点 1 ,记过点 的直线的斜率为 k ,
问:是否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由. 解析: (I) f ( x) 的定义域为 (0, ??).

f '( x) ? 1 ?
2

1 a x 2 ? ax ? 1 ? ? x2 x x2

2 令 g ( x) ? x ? ax ? 1, 其判别式 ? ? a ? 4.

当 | a |? 2时,? ? 0, f '( x) ? 0, 故 f ( x)在(0, ??) 上单调递增.

?>0,g(x)=0 的两根都小于 0,在 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 ,故 f ( x)在(0, ?? ) 上 当 a ? ?2时,
单调递增.

?>0,g(x)=0 的两根为 当 a ? 2时,

x1 ?

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 2 2 ,

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0 ? x ? x1

x ? x ? x2 x ? x2 时, f '( x) ? 0 ;当 1 时, f '( x) ? 0 ;当 时, f '( x) ? 0 ,故

f ( x) 分别在 (0, x1 ), ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减.
(II)由(I)知, a ? 2 .

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?
因为

x1 ? x2 ? a(ln x1 ? ln x2 ) x1 x2 ,所以

k?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x ? ln x2 1 ? 1? ? a? 1 x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2

ln x ? ln x2 k ? 2 ? a? 1 x x ?1 x1 ? x2 又由(I)知, 1 2 .于是 ln x1 ? ln x2 ?1 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 x ? x k ? 2 ? a . a 1 2 若存在 ,使得 则 .即 .亦即
x2 ? 1 ? 2 ln x2 ? 0( x2 ? 1)(*) x2

1 h(t ) ? t ? ? 2 ln t x ?1 t 再由(I)知,函数 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 , 而 2 ,所以
x2 ? 1 1 ? 2 ln x2 ? 1 ? ? 2 ln1 ? 0. x2 1 这与 (*) 式矛盾.故不存在 a ,使得 k ? 2 ? a.

98.(湖南理 20)如图 6,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动, 速度为 v(v ? 0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) 。E 移动时单位时间内的淋雨量包括 两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与

v?c

?S 成正比,

1 1 比例系数为 10 ; (2)其它面的淋雨量之和,其值为 2 ,记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当

3 移动距离 d=100,面积 S= 2 时。

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(Ⅰ)写出 y 的表达式 (Ⅱ)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最 少。

3 1 |v?c|? 2, 解析: (I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 20

y?


100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) v 20 2 v .

5 5(3c ? 10) y ? (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v (II)由(I)知,当 0 ? v ? c 时,
5 5(10 ? 3c) y ? (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v 当 c ? v ? 10 时,
? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v y?? ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10 ? v ? 故 。

0?c?
(1)当

10 3c ymin ? 20 ? y 3 时, 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, 2 。

10 ?c?5 (2) 当 3 时,在 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增函数;
故当 v ? c 时,

ymin ?

50 c 。

3 99.(湖南理 22) 已知函数 f ( x ) = x ,g ( x )= x + x 。

(Ⅰ)求函数 h ( x )= f ( x )-g ( x )的零点个数,并说明理由; (Ⅱ)设数列

{an }(n ? N * )
*

满足

a1 ? a(a ? 0)



f (an?1 ) ? g (an )

,证明:存在常数 M,使得

对于任意的 n ? N ,都有

an

≤ M.
3

解 析 : ( I ) 由 h( x ) ? x ? x ? x

, ?,) 而 h( 0? ) 知 , x ?[ 0 ?

0 且 ,

h( 1? ) ? ? 1h

0 ?, ? ( 2 ? ) ,则 6x ? 0 为 2 h( x0 ) 的一个零点,且 h( x) 在 ( 1, 2) 内有零点,因

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此 h( x ) 至少有两个零点

1 ?1 1 ?3 1 ?1 2 2 2 h'( x) ? 3x ? 1 ? x ? '( x) ? 6 x ? x 2 ? ( x) ? 3 x ? 1 ? x 2 4 2 解法 1: ,记 ,则 。
2

当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多只

? (1) ? 0, ? (
有一个零点。 又因为

3 3 ( ,1) )?0 ? ( x ) 3 ,则 在 3 内有零点,所以 ? ( x) 在 (0, ??)
x1
,则当

内有且只有一个零点。记此零点为 时,

x ? (0, x1 )

时,

? ( x) ? ? '( x1 ) ? 0 ;当 x ? ( x1, ?? )

? ( x) ? ? '( x1 ) ? 0 ;
时, h( x ) 单调递减,而 h(0) ? 0 ,则 h( x ) 在 时, h( x ) 单调递增,则 h( x ) 在

所以, 当 当

x ? (0, x1 )

(0, x1 ]

内无零点;

x ? ( x1 , ??)

( x1 , ??)

内至多只有一个零点;

从而 h( x ) 在 (0, ??) 内至多只有一个零点。综上所述, h( x ) 有且只有两个零点。
? 1 2 ? 1 2

解法 2: h( x) ? x( x ? 1 ? x ) ,记 ? ( x) ? x ? 1 ? x
2 2

? '( x) ? 2 x ? x
,则

1 2

?

3 2



当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多只 有一个零点。因此 h( x ) 在 (0, ??) 内也至多只有一个零点, 综上所述, h( x ) 有且只有两个零点。

x03 ? x0 ? x0 x0 h ( x ) (II)记 的正零点为 ,即 。
(1)当

a ? x0

时,由

a1 ? a

,即

a1 ? x0

.而

a23 ? a1 ? a1 ? x0 ? x0 ? x03

,因此

a2 ? x0



由此猜测:

an ? x0

。下面用数学归纳法证明: 显然成立;

①当 n ? 1 时,

a1 ? x0

a ? x0 ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 k 成立,则当 n ? k ? 1 时,由
ak ?13 ? ak ? ak ? x0 ? x0 ? x03
故对任意的 n ? N ,
*

知,

ak ?1 ? x0

,因此,当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ? x0

成立。

an ? x0

成立。

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(2) 当 从而

a ? x0

h( x ) 在 时, 由 (1) 知,

( x0 , ??)

上单调递增。 则

h(a) ? h( x0 ) ? 0
an ? a

a ?a , 即a ?
3



a23 ? a1 ? a1 ? a ? a ? a 3

,即

a2 ? a

,由此猜测:

。下面用数学归纳法证明:

①当 n ? 1 时,

a1 ? a

显然成立;

a ?a ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 k 成立,则当 n ? k ? 1 时,由
ak ?13 ? ak ? ak ? a ? a ? a 3
故对任意的 n ? N ,
*

知,

ak ?1 ? a

,因此,当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ? a

成立。

an ? a

成立。 ,使得对于任意的 n ? N ,都有
*

综上所述,存在常数

M ? max{x0 , a}

an ? M

.

100.(江苏 17)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切 去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图 中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜 边的两个端点,设 AE=FB=xcm. (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值.
3 2

D

C

【解】 (1)根据题意有

S ? 602 ? 4 x 2 ? (60 ? 2 x)2 ? 240 x ? 8 x 2 A 2 ? ?8( x ? 15) ? 1800 (0<x<30),
所以 x=15cm 时包装盒侧面积 S 最大.

x

E

F x

B

V ? ( 2 x) 2
(2)根据题意有 所以, V ? 6 2 x(20 ? x),
'

2 (60 ? 2 x) ? 2 2 x 2 (30 ? x)(0 ? x ? 30) 2 ,

? ? 当 0 ? x ? 20, 时, V ? 0,V 递增;当20 ? x ? 30时,V <0,V 递减 ,
所以,当 x=20 时,V 取极大值也是最大值.

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2 (60-2x) 1 2 ? 2. 2x 此时,包装盒的高与底面边长的比值为

1 3 即 x=20 包装盒容积 V(cm )最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为 2
解析:本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建 立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用,中档题. 101.(江苏 19)已知 a,b 是实数,函数 f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx,
3 2

f ?( x) 和 g ?( x) 是

f ( x), g ( x) 的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上
单调性一致. (1)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1,??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2) 设 a ? 0, 且 a ? b , 若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致, 求|a-b| 的最大值.

? ? 答案:? f ( x) ? x ? ax, g ( x) ? x ? bx,? f ( x) ? 3x ? a, g ( x) ? 2 x ? b.
3 2 2

因为函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致,所以,

?x ? [?1, ??), f ' ( x) g ' ( x) ? 0, (3x +a)(2x+b)? 0, ? a ? 0,3x ? a ? 0 ??x ? [?1, ??), 2x+b ? 0, 即 ?x ? [?1, ??),
2 2

即??x ?[?1, ??), b ? ?2x,? b ? 2; 实数 b 的取值范围是 [2, ??)

f ?( x) ? 0, x ? ? ?


a 3

? ? 若 b ? 0 ,则由 a ? 0 , 0 ? (a, b), f (0) g (0) ? ab ? 0 , f ( x) 和 g ( x) 在区间 (a , b ) 上不是单调
性一致, 所以 b ? 0 .

a a x ? (??, ? ? ), f ?( x) ? 0; x ? (? ? , 0), f ?( x) ? 0 ? x ? (??,0), g ?( x) ? 0 ;又 3 3 . a a 1 1 1 a ? ? ? ,b ? ? ? ? ? a ? 0, ? ? b ? 0,| a ? b |? ? ? 3 3, 3 3 3 所以要使 f ( x) g ( x) ? 0 ,只有

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1 1 1 x ? (? , 0) a ? ? , b ? 0, f ?( x) g ?( x) ? 6 x( x 2 ? ) 3 3 9 ,当 取 时 ,
| a ? b |m a ? x 1 3

f ' ( x) g ' ( x) ? 0, 因 此

当 b ? a 时 , 因 为 , 函 数 f ( x) 和 g ( x) 在 区 间 ( b,a ) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ? (b, a), f ' ( x) g ' ( x) ? 0,


?x ? (b, a), (3x 2 +a)(2x+b)? 0,

?b ? a ? 0,??x ? (b, a), 2 x ? b ? 0



??x ? (b, a), a ? ?3x 2 , ? b ? a ? ?3b 2 , 设 z ? a ? b ,考虑点(b,a)的可行域,函数 y ? ?3x 2 的斜率为 1 的切线的切
点设为

( x0 , y0 )

1 1 1 1 1 ?6 x0 ? 1, x0 ? ? , y0 ? ? , ? zmax ? ? ? (? ) ? 6 12 12 6 6; 则
当 a ? b ? 0 时 , 因 为 , 函 数 f ( x) 和 g ( x) 在 区 间 ( a, b ) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ? (a, b), f ' ( x) g ' ( x) ? 0,


?x ? (a, b), (3x 2 +a)(2x+b)? 0,

?b ? 0,??x ? (a, b), 2 x ? b ? 0



??x ? (a, b), a ? ?3x 2 ,

1 1 ? a ? ?3a 2 ,?? ? a ? 0, ? (b ? a)max ? ; 3 3
当 a ? 0 ? b 时 , 因 为 , 函 数 f ( x) 和 g ( x) 在 区 间 ( a, b ) 上 单 调 性 一 致 , 所 以 ,

?x ? (a, b), f ' ( x) g ' ( x) ? 0, ? 0, ? b ? 0, 而 x=0 时, (3x 2 +a)(2x+b)=ab<0,不符合题 即 ?x ? (a, b), (2x+b)(3x +a)
2

意, 当 a ? 0 ? b 时,由题意:

?x ? (a, 0), 2x(3x 2 +a) ? 0, ??x ? (a, 0), 3x 2 +a ? 0,?3a 2 ? a ? 0,

1 1 ?? ? a ? 0,? b ? a ? 3 3

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综上可知,

a ? b max ?

1 3。

解析:本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题,综合考查、线 性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想,考查用分类讨论思想进行探索 分析和解决问题的综合能力.(1)中档题; (2)难题.

1 1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax 3 2 102.(江西理 19)设 .
2 ( ,?? ) (1)若 f ( x) 在 3 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ? 16 3 ,求 f ( x) 在该区间上的最大值.

(2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为

2 2 ( ,?? ) (m, n) ? ( ,??) 3 【解析】 (1) f ( x) 在 3 上存在单调递增区间,即存在某个子区间 使

1 1 2 [ ,?? ) f ' ( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? ?( x ? ) 2 ? ? 2a ' 2 4 得 f ( x) ? 0 .由 , f ( x) 在区间 3 上单调
'

2 2 2 1 f '( ) ? 0 f ' ( ) ? ? 2a ? 0 a?? 3 3 9 9, 递减,则只需 即可。由 解得 a??
所以,当

1 2 ( ,?? ) 9 时, f ( x) 在 3 上存在单调递增区间.
x1 ? 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a x1 ? x2 ? 2 2 2 , , .

' (2)令 f ( x) ? 0 ,得两根

所以 f ( x) 在 (??, x1 ) , ( x 2 ,??) 上单调递减,在 ( x1 , x 2 ) 上单调递增 当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 f ( x2 )

f (4) ? f (1) ? ?


27 ? 6a ? 0 2 ,即 f (4) ? f (1)
f (4) ? 8a ? 10 3 . 40 16 ?? 3 3 ,得 a ? 1 , x2 ? 2 ,

所以 f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为

从而 f ( x) 在 [1,4] 上的最大值为 103.(江西文 18)

f ( 2) ?

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?ABC中,?B= ,AB ? BC ? 2, P为AB边上一动点,PD//BC 2 如图,在 交 AC 于 点
D,现将 ?PDA沿PD翻折至?PDA , 使平面PDA ? 平面PBCD.
' '

?

(1)当棱锥 A ? PBCD 的体积最大时,求 PA 的长;
'

(2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 AC的中点,求证:A B ? DE.
' '

1 1 x2 VA?-PBCD ? PA ? S 底面PDCB ? x(2 ? ) 3 3 x 解: (1)设 PA ? x ,则 f ( x) ?


1 x2 2 x x3 x(2 ? ) ? ? , ( x ? 0) 3 2 3 6

f ?( x) ?


2 x2 ? 3 2
(0, 2 3 ) 3 2 3 3

x
f ?( x)
f ( x)

(

2 3 ,?? ) 3

?
单调递增

0
极大值

?
单调递减

PA ? x ?
由上表易知:当

2 3 3 时,有 VA?-PBCD 取最大值。

证明:作 A?B 得中点 F,连接 EF、FP,由已知得:

1 EF // BC //PD ? ED // FP 2

?A?PB 为等腰直角三角形, A?B ? PF ,所以 A?B ? DE .
f ?x ? ? 1 3 x ? mx 2 ? nx 3 .

104.(江西文 20)设

? (1)如果 g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ? x ? 的解析式;
(2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ? x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.(注:区间 ?a, b ? 的长度为 b ? a )

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.解: (1)已知
'

f ?x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx ' 2 3 ,? f ?x ? ? x ? 2mx ? n
2

又? g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 ? x ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值, 则 g ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5.
'

则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,
2

? f ?x ? ?

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x 3

(2)要使

f ?x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx ' 2 3 单调递减,则? f ?x ? ? x ? 2mx ? n ? 0
' 2

又递减区间长度是正整数,所以 f ?x ? ? x ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b。即有: b-a 为区间长度。又

b?a ?

?a ? b ?2 ? 4ab ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ?

又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合。
2 105.(辽宁理 21)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性;

(II)设 a ? 0 ,证明:当

0? x?

1 1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) a 时, a a ;

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明:

f ? (x0)<0.

解: (I) f ( x)的定义域为(0, ??),

f ?( x) ?

1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2ax ? (2 ? a) ? ? . x x

? (i)若 a ? 0, 则f ( x) ? 0, 所以f ( x)在(0, ??) 单调增加.

1 a ? 0, 则由f ?( x) ? 0得x ? , a 且当 (ii)若

1 1 x ? (0, )时, f ?( x) ? 0,当x ? 时, f ?( x) ? 0. a a
1 1 f ( x)在(0, ) ( , ??) a 单调增加,在 a 所以 单调减少.

1 1 g ( x) ? f ( ? x) ? f ( ? x), a a (II)设函数 则

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g ( x) ? ln(1 ? ax) ? ln(1 ? ax) ? 2ax, g ?( x) ? a a 2a 3 x 2 ? ? 2a ? . 1 ? ax 1 ? ax 1 ? a2 x2

1 0 ? x ? 时, g ?( x) ? 0, 而g (0) ? 0, 所以g ( x) ? 0 a 当 .
1 1 1 0 ? x ? 时 f ( ? x) ? f ( ? x). a , a a 故当
(III)由(I)可得,当 a ? 0时,函数y ? f ( x) 的图像与 x 轴至多有一个交点,

故 a ? 0 ,从而 f ( x) 的最大值为

1 1 f ( ), 且f ( ) ? 0. a a

不妨设

A( x1 , 0), B( x2 , 0), 0 ? x1 ? x2 , 则0 ? x1 ?

1 ? x2 . a
x2 ? x ? x2 1 2 ? x1 , 于是x0 ? 1 ? . a 2 a

2 1 1 f ( ? x 1) ? f ( ? ? x 1 ) ? f (x ) 1 ? 0. a a 由(II)得 a
由(I)知,

从而

f ?( x0 ) ? 0.

106.(辽宁文 20)设函数 f ( x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f ( x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线 率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ≤2x-2.

b f ?( x) ? 1 ? 2ax ? . x 解: (I)
? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 即? ? ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2a ? b ? 2.

由已知条件得

,解得 a ? ?1, b ? 3.
2

(II) f ( x)的定义域为(0, ??) ,由(I)知 f ( x) ? x ? x ? 3ln x. 设 g ( x) ? f ( x) ? (2 x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3ln x, 则
2

g ?( x) ? 1 ? ?2 x ?

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? . x x

当0 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0;当x ? 1时, g ?( x) ? 0. 所以g ( x)在(0,1)单调增加, 在(1, ??)单调减少.

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而 g (1) ? 0, 故当x ? 0时, g ( x) ? 0,即f ( x) ? 2 x ? 2.

f ( x) ?
107.(全国Ⅰ理 21)已知函数 为 x ? 2y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值;

a ln x b ? x ? 1 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程

(Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时,

f ( x) ?

ln x k ? x ? 1 x ,求 k 的取值范围。

f '( x) ?
解: (Ⅰ)

?(

x ?1 ? ln x) b 1 x ? 2 ? 2 ( x ? 1) x ,由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 2 ,且过点 (1,1) ,

? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? ? ?a 1 1 f '(1) ? ? , ? ? b ? ? , ? 2 即?2 2 故?

解得 a ? 1 , b ? 1。

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ln x 1 f ( x) ? ( ? )? (2 ln x ? ) f( x ) ? ? x ?1 x 1 ? x2 x x ? 1 x ,所以 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 。

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x h '( x) ? ( x ? 0) ,则 x x2 考虑函数 h( x) ? 2ln x ? 。 h '( x) ? k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 x2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故

(i)设 k ? 0 ,由

1 h( x ) ? 0 2 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x ; 1 2 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 1 ? x h(x)>0 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( x ? 1 + x )>0,即 f(x)> x ? 1 + x . 1 ' (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, 1 ? k )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h (x)>0,而 1 1 2 h(1)=0,故当 x ? (1, 1 ? k )时,h(x)>0,可得 1 ? x h(x)<0,与题设矛盾。

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(iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得

'

1 1 ? x 2 h(x)<0,与题设矛盾。综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]
f ? x e ? 1 ? ax 108.(全国Ⅰ文 21)设函数 ? x ?
x

?

?

2

1 f (Ⅰ)若 a= 2 ,求 ? x ? 的单调区间;
f (Ⅱ)若当 x ≥0 时 ? x ? ≥0,求 a 的取值范围
(21)解:

a?
(Ⅰ)

1 1 x f ( x) ? x( e ? 1)? 2x x x x 2 时, 2 , f '( x) ? e ? 1 ? xe ? x ? (e ? 1)( x ? 1) 。 当
x ? ? ?1, 0 ? x ? ? 0, ?? ? 时 f '( x) ? ? ; 当 时, f '(x ) ? 0 ; 当 时, f '(x ) ? 0 。故

x ? ? ??, ?1?

f ( x) 在 ? ??, ?1? , ? 0, ?? ? 单调增加,在(-1,0)单调减少。
( Ⅱ ) f ( x) ? x( x ? 1 ? ax) 。 令 g ( x) ? x ? 1 ? ax, 则 g '( x ) ? e ? a。 若 a ? 1 , 则 当
a a x

x ? ? 0, ?? ?

时, g '(x ) ? ? , g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0 ,从而当 x≥0 时 g ( x) ≥0,即

f ( x) ≥0.
若 a ? ?, 则当

x ? ? 0, ln a ?

时,g '( x) ? ? ,g ( x) 为减函数, 而 g (0) ? 0 , 从而当

x ? ? 0, ln a ?

? ??,1? 时 g ( x) <0,即 f ( x) <0.综合得 a 的取值范围为
f ( x) ? ln(1 ? x) ?
109.(全国Ⅱ理 22) (Ⅰ)设函数

2x x ? 2 ,证明:当 x >0 时, f ( x) >0;

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取

9 1 ( )19 2 20 次,设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p < 10 < e .
【命题立意】 :本小题主要考查函数、导数、不等式证明及等可能事件的概率等知识。通过运 用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力.

? f ?( x) ?
【解析】 (Ⅰ)

1 2( x ? 2) ? 2 x x2 ? ? ? 0, ( x ? ?1) x ?1 ( x ? 2) 2 ( x ? 1)( x ? 2) 2 , (仅当 x ? 0 时

f ?( x) ? 0 )

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故函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增.当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故当 x >0 时, f ( x) >0. (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取 20 次,则抽
20 A100 9 1 p? 20 p 100 ,要证 <( 10 )19< e 2 . 得的 20 个号码互不相同的概率为 20 A100 9 19 100 ? 99 ? ... ? 81 100 90 20 ? ( ) ? ? ( ) 20 20 100 10 100 90 100 即证
2 2 2

p?
先证:

19 (90) (90) 即证 99 ? 98 ? ... ? 81 ? 而 99 ? 81 ? (90 ? 9) ? (90 ? 9) ? 90 ? 9 ?
2 98 ? 82 ? (90 ? 8) ? (90 ? 8) ? 902 ? 82 ? (90)

???

2 91 ? 89 ? (90 ? 1) ? (90 ? 1) ? 902 ? 12 ? (90)

9 19 p? ( ) (90) . 即 10 所以 99 ? 98 ? ... ? 81 ?
19

9 19 10 19 10 10 2 ( ) ? e?2 ( ) ? e2 19ln ? 2 ln ? 9 9 19 再证: 10 ,即证 9 ,即证 ,即证 f ( x) ? ln(1 ? x) ?
由(Ⅰ)

2x x ? 2 ,当 x >0 时, f ( x) >0.

1 2? 1 1 2 ln(1 ? ) ? 9 ? ln(1 ? ) ? ? 0 1 10 2 9 1?2 9 19 x? , ln ? 9 则 9 19 9 令 ,即
9 19 p? ( ) ? e?2 10 综上有:
110.(全国Ⅱ文 20)已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

(Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2); (Ⅱ)若

f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3)
2

,求 a 的取值范围。

【解析】(Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 6ax ? (3 ? 6a) , f ?(0) ? 3 ? 6a ,又 f (0) ? 12a ? 4 曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线方程是:y ? (12a ? 4) ? (3 ? 6a) x , 在上式中令 x ? 2 , 得y?2 所以曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2);

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2 ? (Ⅱ)由 f ( x) ?0 得 x ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0 , (i)当 ? 2 ? 1? a?

2 ? 1 时, f ( x) 没有极小

值;

? (ii)当 a ? 2 ? 1 或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ( x) ? 0 得
x1 ? ? a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ? a ? a 2 ? 2a ? 1


x0 ? x2

。由题设知 1 ? ?a ? a ? 2a ? 1 ? 3 ,当 a ? 2 ? 1 时,不等式
2

1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 ? 3 无解;

5 ? ? a ? ? 2 ?1 当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a ? 2a ? 1 ? 3 得 2
2

5 (? , ? 2 ? 1) 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 2 。
111.(山东理 21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中

80? 间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 3 立方米,且 l≥2r .假设
该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部 分每平方米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r .

80? 【解析】 (Ⅰ)因为容器的体积为 3 立方米,所以

4? r 3 ? ? r 2l ? 3

80? 3

l?
, 解 得

8 0 r 4 ? 3r 2 3 , 所 以 圆 柱 的 侧 面 积 为

160? 8? r 2 80 4r ? 2? r ( 2 ? ) ? 2? rl = 3r 3 , 两 端 两 个 半 球 的 表 面 积 之 和 为 4? r 2 , 所 以 3r 3

160? l ? 8? r 2 2 y? r + 4? cr ,定义域为(0, 2 ). ?
20 8? [(c ? 2)r 3 ? 20] 160? r?3 ? 16 ? r ' 2 2 c?2 ; r r + 8? cr = , 所以令 y ? 0 得 :

(Ⅱ)因为 y ?
'

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令 y ? 0 得:
'

0?r ?

3

20 20 r?3 c ? 2 米时, 该容器的建造费用最小. c ? 2 ,所以

?? )上 , f (1)? 0, 导 函 数 112. ( 陕 西 理 21 ) 设 函 数 f ( x) 定 义 在 ( 0 ,

f ?( x) ?

1 x ,

g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) .
(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

(2)讨论 g ( x) 与

1 g( ) x 的大小关系; | g ( x) ? g ( x0 ) |? 1 x 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的取值范

(3)是否存在

x0 ? 0

,使得

围;若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)先求出原函数 f ( x) ,再求得 g ( x) ,然后利用导数判断函数的单调性(单调区 间) ,并求出最小值; (2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并 由单调性判断函数的正负; (3)存在性问题通常采用假设存在,然后进行求解;注意利用前 两问的结论.

f ?( x) ?
【解】 (1)∵ 即c ? 0,

1 x ,∴ f ( x) ? ln x ? c ( c 为常数) ,又∵ f (1) ? 0 ,所以 ln1 ? c ? 0 ,

∴ f ( x) ? ln x ;

g ( x) ? ln x ?

1 x ?1 x ?1 g ?( x) ? 2 ?0 x ,∴ x ,令 g?( x) ? 0 ,即 x 2 ,解得 x ? 1 ,

当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 是减函数,故区间在 (0,1) 是函数 g ( x) 的减区间; 当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 是增函数,故区间在 (1, ??) 是函数 g ( x) 的增区间; 所以 x ? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 .

?

?

( x ? 1) 2 1 1 1 h?( x) ? ? g ( ) ? ? ln x ? x h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? 2ln x ? x ? x2 , x x ,则 (2) x ,设
当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即

1 g ( x) ? g ( ) x ,当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h?(1) ? 0 ,

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因此函数 h( x ) 在 (0, ??) 内单调递减,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴

1 g ( x) ? g ( ) x ;

当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) =0,∴ (3)满足条件的

1 g ( x) ? g ( ) x .

x0

不存在.证明如下:

证法一 假设存在

x0 ? 0

,使

| g ( x) ? g ( x0 ) |? 2 x

1 x 对任意 x ? 0 成立,

即对任意 x ? 0 有 但对上述的

ln x ? g ( x0 ) ? ln x ?
x1 ? e g ( x0 )

① ,这与①左边的不等式矛盾,

x0

,取

时,有

ln x1 ? g ( x0 )

因此不存在

x0 ? 0

,使

| g ( x) ? g ( x0 ) |?

1 x 对任意 x ? 0 成立. 1 x 对任意 x ? 0 成立,

证法二 假设存在

x0 ? 0

,使

| g ( x) ? g ( x0 ) |?

由(1)知, g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,

g ( x) ? ln x ?


1 ? ln x x ,而 x ? 1 时, ln x 的值域为 (0, ??) ,∴当 x …1 时, g ( x) 的值域为

[1, ??) ,
从而可以取一个值

x1 ? 1

,使

g ( x1 ) …g ( x0 ) ? 1

,即

g ( x1 ) ? g ( x0 ) …1

| g ( x1 ) ? g ( x0 ) |…1 ?
,∴

1 x1 , 这 与 假 设 矛 盾 . ∴ 不 存 在 x0 ? 0 , 使

1 | g ( x )? g (0 x ) ?| x 对任意 x ? 0 成立.

? 113.(陕西文 21)设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ( x) .
(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

(2)讨论 g ( x) 与

1 g( ) x 的大小关系;

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1 g ( a ) ? g ( x ) (3)求 a 的取值范围,使得 < a 对任意 x >0 成立.
【分析】 (1)先求出原函数 f ( x) ,再求得 g ( x) ,然后利用导数判断函数的单调性(单调区 间) ,并求出最小值; (2)作差法比较,构造一个新的函数,利用导数判断函数的单调性,并 由单调性判断函数的正负; (3)对任意 x >0 成立的恒成立问题转化为函数 g ( x) 的最小值问 题.

f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ?
【解】 (1)由题设知

1 x ?1 g ?( x) ? 2 , x 令 g ?( x) ? 0 得 x =1, x ,∴

? 当 x ∈(0,1)时, g ( x) <0, g ( x) 是减函数,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间。 ? 当 x ∈(1,+∞)时, g ( x) >0, g ( x) 是增函数,故(1,+∞)是 g ( x) 的单调递增区间,
因此, x =1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以 g ( x) 的最小值为

g (1) ? 1.

( x ? 1) 2 1 1 1 h?( x) ? ? g ( ) ? ? ln x ? x h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? ln x ? x ? x2 , x x ,则 (2) x ,设
当 x ? 1 时, h(1) ? 0 ,即

1 g ( x) ? g ( ) x ,当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 ,

1 g ( x) ? g ( ). x 因此, h( x ) 在 (0, ??) 内单调递减,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( a ) ? g ( x) ? 1 1 ? g (a) ? 1 ? , a, a 对任意 x ? 0 , 成立

(3) 由 (1) 知 g ( x) 的最小值为 1, 所以, 即 Ina ? 1, 从而得 0 ? a ? e 。

114.(上海理 20) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围. 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 则

x1 , x2 ? R, x1 ? x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )

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1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ 2 ? 2 , a ? 0 ? a(2 ? 2 ) ? 0 , 3 ? 3 , b ? 0 ? b(3 ? 3 ) ? 0 ,

x

x

x

x

x

x

x

x



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

, 函数 f ( x) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时, 同理函数 f ( x) 在 R 上

是减函数。

3 a a ( )x ? ? x ?o l g 5 (.1 ?) , b? 0 时, 2 2b , 2b ; ⑵ f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 ? 2b ? 3 ? 0 , 当a ? 0 则
x x

3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) 2b ,则 2b 。 当 a ? 0, b ? 0 时, 2
115.(上海文 21)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围. 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 则

x1 , x2 ? R, x1 ? x2



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
x x x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2 ∵ 2 ? 2 , a ? 0 ? a(2 ? 2 ) ? 0 , 3 ? 3 , b ? 0 ? b(3 ? 3 ) ? 0 ,



f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

, 函数 f ( x) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时, 同理函数 f ( x) 在 R 上

是减函数。 ⑵

f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 x ? 2b ? 3x ? 0

3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) 2b ,则 2b ; 当 a ? 0, b ? 0 时, 2 3 a a ( )x ? ? x ? log1.5 (? ) a ? 0, b ? 0 2b ,则 2b 。 当 时, 2
2 1 x? 3 2 , h( x ) ? x . 116.(四川理 22)已知函数 (Ⅰ)设函数 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的单调区间与极值; 3 3 log4 [ f ( x ? 1) ? ] ? log2 h(a ? x) ? log 2 h(4 ? x) 2 4 (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 ; f ( x) ?
f (100)h(100) ? ? h(k )
k ?1 100

(Ⅲ)试比较

1 与 6 的大小.

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基本知识,考查数形结合、函数 与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.

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解: (Ⅰ)由
x ? (0,

F ( x) ?

4 x ?3 9 2 1 F ?( x) ? x? x? ? x ? 6 x ,令 F ( x) ? 0 ,得 16 . 3 2 ( x ? 0 )知,



9 9 ) x ? ( , ??) ? ? F ( x ) ? 0 16 时, 16 ;当 时, F ( x) ? 0 . 9 9 ) x ? [ , ??) 16 时, F ( x) 是减函数; 16 时, F ( x) 是增函数. x? 9 9 1 F( ) ? 16 处有得极小值 16 8 .

故当

x ? [0,

函数 F ( x) 在

3 3 log4 [ f ( x ? 1) ? ] ? log2 h(a ? x) ? log 2 h(4 ? x) 2 4 (Ⅱ)方法一:原方程可化为 ,
log 4 ( x ? 1) ? log 2 a ? x ? log 2 4 ? x ? log 2 a?x 4 ? x ,且
? x ? a, ? ?1 ? x ? 4,

即为

①当 1 ? a ? 4 时, 1 ? x ? a ,则

x ?1 ?

a?x 4 ? x ,即 x2 ? 6x ? a ? 4 ? 0 ,
6 ? 20 ? 4a ? 3? 5? a 2 ,∵ 1 ? x ? a ,

? ? 36 ? 4(a ? 4) ? 20 ? 4a ? 0 ,此时

x?

此时方程仅有一解 x ? 3 ? 5 ? a . ②当 a ? 4 时, 1 ? x ? 4 ,由
x ?1 ? a?x 4 ? x ,得 x2 ? 6x ? a ? 4 ? 0 , ? ? 36 ? 4(a ? 4) ? 20 ? 4a ,

若 4 ? a ? 5 ,则 ? ? 0 ,方程有两解 x ? 3 ? 5 ? a ; 若 a ? 5 时,则 ? ? 0 ,方程有一解 x ? 3 ; 若 a ? 1 或 a ? 5 ,原方程无解. 方法二:原方程可化为 log4 ( x ? 1) ? log2 h(4 ? x) ? log 2 h(a ? x) ,
? x ? 1 ? 0, ?4 ? x ? 0, ?1 ? x ? 4 ? ?? ? ? ? x ? a, ?a ? x ? 0, ? a?x 2 ?( x ? 1)(4 ? x) ? a ? x. ?a ? ?( x ? 3) ? 5. , ?

1 log2 ( x ? 1) ? log2 4 ? x ? log2 即2

①当 1 ? a ? 4 时,原方程有一解 x ? 3 ? 5 ? a ; ②当 4 ? a ? 5 时,原方程有二解 x ? 3 ? 5 ? a ; ③当 a ? 5 时,原方程有一解 x ? 3 ; ④当 a ? 1 或 a ? 5 时,原方程无解.

用心 爱心 专心

99

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100 100

(Ⅲ)由已知得 k ?1

? h( k ) ? ?
k ?1

k


Sn ? f (n)h(n) ?

1 6 ( n ? N* ) 4k ? 3 4k ? 1 ak ? Sk ? Sk ?1 ? k? k ?1 a ? S ? 1 2 ? k ? 100 6 6 1 1 从而 ,当 时, . 1 ak ? k ? [(4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1] 6 又

设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

?

1 (4k ? 3)2 k ? (4k ? 1)2 (k ? 1) 1 1 ? ? ?0 ? 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 .

即对任意 2 ? k ? 100 时,有 ak ? k ,又因为 a1 ? 1 ? 1 ,所以 k ?1
f (100)h(100) ? ? h(k ) ?
k ?1 100

?a ? ?
k k ?1

100

100

k





1 6.

2 1 x? 3 2 , h( x ) ? x . 117.(四川文 22)已知函数 (Ⅰ)设函数 F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求 F(x)的单调区间与极值; 3 3 lg[ f ( x ? 1) ? ] ? 2lg h(a ? x) ? 2lg h(4 ? x) 4 (Ⅱ)设 a ? R ,解关于 x 的方程 2 ; f ( x) ?
* (Ⅲ)设 n ? N ,证明:

f (n)h(n) ? [h(1) ? h(2) ? ? ? h(n)] ?

1 6.

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.
2 2 3 解: (Ⅰ) F ( x) ? 18 f ( x) ? x [h( x)] ? ? x ? 12 x ? 9( x ? 0) ,

? F ?( x) ? ?3x 2 ? 12 .

? 令? F ( x) ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?2 舍去) . ? ? 当 x ? (0, 2) 时. F ( x) ? 0 ;当 x ? (2, ??) 时, F ( x) ? 0 ,

故当 x ? [0, 2) 时, F ( x) 为增函数;当 x ?[2, ??) 时, F ( x) 为减函数.
x ? 2 为 F ( x) 的极大值点,且 F (2) ? ?8 ? 24 ? 9 ? 25 .

3 3 log4 [ f ( x ? 1) ? ] ? log2 h(a ? x) ? log 2 h(4 ? x) 2 4 (Ⅱ)方法一:原方程可化为 ,
log 4 ( x ? 1) ? log 2 a ? x ? log 2 4 ? x ? log 2 a?x 4 ? x ,且
? x ? a, ? ?1 ? x ? 4,

即为

用心 爱心 专心

100

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①当 1 ? a ? 4 时, 1 ? x ? a ,则

x ?1 ?

a?x 4 ? x ,即 x2 ? 6x ? a ? 4 ? 0 ,
6 ? 20 ? 4a ? 3? 5? a 2 ,∵ 1 ? x ? a ,

? ? 36 ? 4(a ? 4) ? 20 ? 4a ? 0 ,此时

x?

此时方程仅有一解 x ? 3 ? 5 ? a . ②当 a ? 4 时, 1 ? x ? 4 ,由
x ?1 ? a?x 4 ? x ,得 x2 ? 6x ? a ? 4 ? 0 , ? ? 36 ? 4(a ? 4) ? 20 ? 4a ,

若 4 ? a ? 5 ,则 ? ? 0 ,方程有两解 x ? 3 ? 5 ? a ; 若 a ? 5 时,则 ? ? 0 ,方程有一解 x ? 3 ; 若 a ? 1 或 a ? 5 ,原方程无解. 方法二:原方程可化为 log4 ( x ? 1) ? log2 h(4 ? x) ? log 2 h(a ? x) ,
? x ? 1 ? 0, ?4 ? x ? 0, ?1 ? x ? 4 ? ?? ? ? ? x ? a, ?a ? x ? 0, ? a?x 2 ?( x ? 1)(4 ? x) ? a ? x. ?a ? ?( x ? 3) ? 5. , ?

1 log2 ( x ? 1) ? log2 4 ? x ? log2 即2

①当 1 ? a ? 4 时,原方程有一解 x ? 3 ? 5 ? a ; ②当 4 ? a ? 5 时,原方程有二解 x ? 3 ? 5 ? a ; ③当 a ? 5 时,原方程有一解 x ? 3 ; ④当 a ? 1 或 a ? 5 时,原方程无解. (Ⅲ)由已知得 h(1) ? h(2) ? ? ? h(n)] ? 1 ? 2 ? ? ? n ,
f ( n) h ( n ) ? 1 4n ? 3 1 ? n? 6 6 6. Sn ? f (n)h(n) ?

1 6 ( n ? N* ) 4k ? 3 4k ? 1 ak ? Sk ? Sk ?1 ? k? k ?1 6 6 从而有 a1 ? S1 ? 1 ,当 2 ? k ? 100 时, .

设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且

1 (4k ? 3)2 k ? (4k ? 1)2 (k ? 1) 1 ak ? k ? [(4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1] ? 6 ? (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 6 又

1 1 ? ? ?0 6 (4k ? 3) k ? (4k ? 1) k ? 1 .

用心 爱心 专心

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即对任意 k ? 2 时,有 ak ? k ,又因为 a1 ? 1 ? 1 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ? 2 ? ? ? n . 则 Sn ? h(1) ? h(2) ? ? ? h(n) ,故原不等式成立. 118.(天津理 21)已知函数 (Ⅰ)求函数

f ? x ? ? xe? x ? x ? R ?



f ? x?

的单调区间和极值; 的图象与函数

(Ⅱ) 已知函数

y ? g ? x?

y ? f ? x?

的图象关于直线 x ? 1

对称.证明当 x ? 1 时, (Ⅲ)如果

f ? x? ? g ? x?

. ,证明

x1 ? x2

,且

f ? x1 ? ? f ? x2 ?
.令

x1 ? x2 ? 2

. ,则 x ? 1 .

【解】 (Ⅰ)

f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x f ?? x?, f ? x?

f ? ? x ? ? ?1 ? x ? e? x ? 0

当 x 变化时,

的变化情况如下表:

x
f ?? x?

? ??,1?
?


1
0
极大值

?1, ?? ?
?


f ? x?
所以

f ? x? f ? x?

在区间

? ??,1? 内是增函数,在区间 ?1, ?? ? 内是减函数.
f ?1?
.且

函数

在 x ? 1 处取得极大值

f ?1? ?

1 e.
的图象关于直线 x ? 1 对称,

(Ⅱ)因为函数 所以 记

y ? g ? x?

的图象与函数

y ? f ? x?

g ? x? ? f ?2 ? x?

,于是 ,则

g ? x ? ? ? 2 ? x ? e x?2

. ,

F ? x? ? f ? x? ? g ? x?

F ? x ? ? xe? x ? ? x ? 2 ? e x ? 2
2 x ?2

F ? ? x ? ? ? x ? 1? ? e 2 x ? 2 ? 1? e ? x



当 x ? 1 时, 2x ? 2 ? 0 ,从而 e 于是函数 因为

? 1 ? 0 ,又 e? x ? 0 ,所以 F ? ? x ? ? 0 ,

F ? x?

在区间

?1, ?? ? 上是增函数.
,所以,当 x ? 1 时,

F ?1? ? e?1 ? e?1 ? 0

F ? x ? ? F ?1? ? 0

.因此

f ? x? ? g ? x?



(Ⅲ)(1) 若

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 ,由(Ⅰ)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾;

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102

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(2) 若

? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 ,由由(Ⅰ)及 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,得 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾; ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? 0 .不妨设 x1 ? 1, x2 ? 1 .
,所以

根据(1),(2)可得 由(Ⅱ)可知 因为 所以

f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? g ? x2 ? ? f ? 2 ? x2 ?
f ? x?
在区间



x2 ? 1

,所以

2 ? x2 ? 1

,又

x1 ? 1


,由(Ⅰ) ,

? ??,1? 内是增函数,

x1 ? 2 ? x2

,即

x1 ? x2 ? 2

3 f ? x ? ? ax3 ? x 2 ? 1 ? x ? R ? 2 119.(天津文 20)已知函数 ,其中 a ? 0 .
(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线

y ? f ? x?

在点

? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程;

? 1 1? ? , ? ? 2 2 ? 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? (Ⅱ)若在区间
【解】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, 所以曲线 (Ⅱ)

f ? x ? ? x3 ?

3 2 x ? 1 f ? 2 ? ? 3 f ? ? x ? ? 3x 2 ? 3x f ? ? 2 ? ? 6 2 , . , .

y ? f ? x?

在点

? 2, f ? 2 ? ? 处的切线方程为 y ? 3 ? 6 ? x ? 2 ? ,即 y ? 6x ? 9 .


f ? ? x ? ? 3ax 2 ? 3x ? 3x ? ax ? 1?



f ?? x? ? 0

,解得 x ? 0 或

x?

? 1 1? 1 ?? , ? a .针对区间 ? 2 2 ? ,需分两种情况讨论:

1 1 ? (1) 若 0 ? a ? 2 ,则 a 2 .
当 x 变化时,

f ?? x?, f ? x?

的变化情况如下表:

x

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

0

? 1? ? 0, ? ? 2?

f ?? x?

?


0
极大值

?


f ? x?

? 1 1? ? 1 1? ? , ? ? , ? ? ? f ? x? 2 2 2 2? 上, ? ? ? 所以 在区间 上的最小值在区间的端点得到.因此在区间

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f ? x? ? 0

恒成立,等价于

? ? 1? ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? ? ?2?
(2) 若 a ? 2 ,则 当 x 变化时,

?5 ? a ? 0, ? ? 8 ? ? 5 ? a ? 0, ? 即? 8 解得 ?5 ? a ? 5 ,又因为 0 ? a ? 2 ,所以 0 ? a ? 2 .

0?

1 1 ? a 2.
的变化情况如下表:

f ?? x?, f ? x?

x

? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?

0

? 1? ? 0, ? ? a?

1 a

?1 1? ? , ? ?a 2?

f ?? x?

?


0
极大值

?


0
极小值

?


f ? x?

? 1 1? 1 ? , ? x? ? f ? x? a 处得到. 所以 在区间 ? 2 2 ? 上的最小值在区间的端点或
? ? 1? ? f ? ? 2 ? ? 0, ? ? ? ? ? f ? 1 ? ? 0, ? ? ? ? ?a?

? 1 1? ?? , ? f ? x? ? 0 因此在区间 ? 2 2 ? 上, 恒成立,等价于

? 5?a ? 0, ? ? 8 ? ?1 ? 1 ? 0, ? 2a 2 即?

2 2 ?a?5 a?? 2 ,又因为 a ? 2 ,所以 2 ? a ? 5 . 解得 2 或
综合(1),(2), a 的取值范围为 0 ? a ? 5 . 120.(浙江理 22)已知函数 f ( x) ? 2a ln(1 ? x) ? x(a ? 0) . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间和极值;

lg e lg e lg e 4 lg e ? ? ? ??? ? ? lg e 2 3 n (Ⅱ)求证:

(1? n )n nn

(n ? 1)

(n ? N * ) .

解: (Ⅰ)定义域为

? ?1, ?? ? ,

f '( x) ?

2a ?1 1? x ???2 分

令 f '( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 2a ? 1 ,令 f '( x) ? 0 ? x ? 2a ? 1

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? ?1, 2a ? 1? , f ( x) 的单调递减区间为 ? 2a ? 1, ?? ? 故 f ( x) 的单调递增区间为
f ( x) 的极大值为 2a ln 2a ? 2a ? 1
lg e lg e lg e 4 lg e ? ? ? ??? ? ? lg e 2 3 n (Ⅱ)证:要证
(1? n ) n nn

(1? n )n nn

(n ? 1)

1 1 1 lg e ( n ?1) 1 1 1 4 ? ? ? ??? ? ? 4 ? ? ? ??? ? ? ln e 2 3 n lg e 2 3 n 即证 , 即证
1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 3 ? ln( n ?1) ? (1 ? ) n 2 3 n n 即证
a?


(1? n ) n nn

( n ? 1)

1 2 ,由(Ⅰ)可知 f ( x) 在 (0, ??) 上递减,故 f ( x) ? f (0) ? 0 x? 1 1 n ?1 1 (n ? N * ) ln(1 ? ) ? ln ? ln(n ? 1) ? ln n ? n n n n ,故

即 ln(1 ? x) ? x ,令

1 1 1 ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ??? ? 2 3 n 累加得,

1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? )n ? 1 ? (1 ? )n ? e ? 3 n n n n
1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 3 ? ln(n ? 1) ? (1 ? ) n 2 3 n n ,得证 故
1 1 1 1 0 1 1 2 1 n 1 (1 ? ) n Cn ? 2 ? ? ? ??? ? ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn 2 n n = 2! 3! n! n n n 法二:

1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? ??? ? n 2 2 2

1 1 (1 ? n ?1 ) 1 2 ? 2? 2 ? 3 ? n ?1 ? 3 1 2 1? 2 ,其余相同证法.
2 2

121.(浙江文 21)设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax , a ? 0 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求所有实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ? [1, e] 恒成立.
2

注: e 为自然对数的底数. (21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概

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括、推理论证能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? a ln x ? x ? ax.其中x ? 0 ,所以
2 2

f ?( x) ?

a2 ( x ? a)(2 x ? a) ? 2x ? a ? ? x x

由于 a ? 0 ,所以 f ( x) 的增区间为 (0, a) ,减区间为 (a, ??) (Ⅱ)证明:由题意得, f (1) ? a ? 1 ? c ? 1,即a ? c ,由(Ⅰ)知 f ( x)在[1, e] 内单调递 增,

? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1, ? 2 f (e) ? a 2 ? e 2 ? ae ? e 2 e ? 1 ? f ( x ) ? e 对 x ? [1, e ] 要使 恒成立,只要 ? ,解得 a ? e.
122.(重庆理 18)设 f ( x) ? x ? ax ? bx ??的导数 f '( x) 满足 f '(?) ? ?a, f '(?) ? ?b ,其 中常数 a, b ? R 。 (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f '( x)e
/ 2 ?x ? ?

,求函数 g ( x) 的极值。
/

解: (Ⅰ) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b 则 f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 2a ? b ? ?3 ;

f / (2) ? 12 ? 4a ? b ? ?b ? a ? ?
5 f ( 1? ) f / , ? ? ( 1 ) 2 3

3 2 ; 所 以

3 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x ? 1 2 , 于 是 有

故曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程为: 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? (3x ? 3x ? 3)e
2 ?x

? g / ( x) ? (?3x 2 ? 9 x)e? x ,令

g / ( x) ? 0 ? x1 ? 0, x2 ? 3



于是函数 g ( x) 在 (??,0) 上递减, (0,3) 上递增, (3, ??) 上递减; 所以函数 g ( x) 在 x ? 0 处取得极小值 g (0) ? ?3 ,在 x ? 3 处取得极大值

g (3) ? 15e?3 。
123. (重庆文 19)设 的导数为 ,若函数 的图象关于

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直线
/

对称,且
2

.](Ⅰ)求实数 , 的值;(Ⅱ)求函数

的极值

a 2 a2 f ( x) ? 6 x ? 2ax ? b ? 6( x ? ) ? b ? 6 6 ,函数 解:(Ⅰ)

的图象关于直线

x??

a 6 对称,

a 1 ?? ?a?3 / 2 所以 6 ,又 f (1) ? 0 ? 6 ? 2a ? b ? 0 ? b ? ?12 ; ?
(Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 1, f ( x) ? 6 x ? 6 x ? 12 ,
3 2 / 2



f / ( x) ? 0 ? x1 ? ?2, x2 ? 1



函数 f ( x) 在 (??, ?2) 上递增,在 (?2,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增,所以函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 21 ,在 x ? 1 处取得极大值 f (1) ? ?6 。

2010 年高考题 选择题

log b x
1.(2010 湖南文)函数 y=ax2+ bx 与 y= 中的图像可能是
| | a

(ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系

答 案 D 2. ( 2010 数的集 浙江理) 设函 合

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? ? 1 1 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a ) ? b a ? ? , 0, ,1; b ? ?1, 0,1? 2 2 ? ?,
平面上点的集合

? ? 1 1 Q ? ?( x, y ) x ? ? , 0, ,1; y ? ?1, 0,1? 2 2 ? ?,
则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x) 的图象恰好经过 Q 中两个点的函数的个数是 (A)4 答案 B (B)6 (C)8 (D)10

1 1 解析:当 a=0,b=0;a=0,b=1;a= 2 ,b=0; a= 2 ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案选
B,本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学素养 有较高要求,体现了对能力的考察,属中档题

x 3. (2010 辽宁文) 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ax ? bx ? c , 若 0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,
2

则下列选项的命题中为假命题的是 (A) (C) 答案 C 解析:选 C.函数 f ( x) 的最小值是 等价于

?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

(B) (D)

?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

f (?

b ) ? f ( x0 ) 2a

?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

,所以命题 C 错误.

4.(2010 江西理)给出下列三个命题:

y?
①函数

1 1 ? cos x x ln y ? ln tan 2 1 ? cos x 与 2 是同一函数;②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像

1 y ? f ? 2x? y ? 2 g ? x? y ? x 关于直线 对称,则函数 与 的图像也关于直线 y ? x 对称;
③若奇函数

f ? x?

对定义域内任意 x 都有

f ? x ? ? f (2 ? x)

,则

f ? x?

为周期函数。

其中真命题是 A. ①② B. ①③ C.②③ D. ② 答案 C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排除 A、 B,验证③,

f ? ? x ? ? f [2 ? (? x)] ? f (2 ? x)

,又通过奇函数得

f ? ? x ? ? ? f ( x)

,所以 f(x)

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是周期为 2 的周期函数,选择 C。

5.(2010 重庆理)函数 A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 答案 D

f ? x? ?

4x ? 1 2 x 的图象
B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

f (? x) ?
解析:

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称 2?x 2x
2

6.(2010 天津文)下列命题中,真命题是 (A) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是偶函数 (B) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是奇函数
2

(C) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是偶函数
2

(D) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是奇函数
2

答案 A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。当 m=0 时,函数 f(x)=x2 是偶函数,所以选 A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 7.(2010 天津理)命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若 f(x) 是偶函数,则 f(-x)是偶函数 (B)若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 (C)若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 (D)若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 答案 B 【解析】本题主要考查否命题的概念 ,属于容易题。 否命题是同时否定命题的条件结论,故否命题的定义可知 B 项是正确的。 【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。 8.(2010 广东理)若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则 A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 答案 D 【解析】 f (? x) ? 3
?x

? 3x ? f ( x), g (? x) ? 3? x ? 3x ? ? g ( x) .
x ?x

9.(2010 广东文)若函数 f ( x) ? 3 ? 3 A. f ( x) 与 g ( x) 与均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 与均为奇函数

与 g ( x) ? 3 ? 3
x

?x

的定义域均为 R,则

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

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答案 D 解:由于 f (? x) ? 3
?x

? 3?( ? x ) ? f ( x) ,故 f ( x) 是偶函数,排除 B、C

由题意知,圆心在 y 轴左侧,排除 A、C

0A 5 1 OA 1 ? ? ? 0O ? 5 ?k ? 0 O 0 O 5 Rt ? 0 AO 0 A 2 在 , ,故 ,选 D
10.(2010 广东文)函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 A. (2,??) 答案 B 解: x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1,选 B. 11.(2010 全国卷 1 理)已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??) (D) [3, ??) B. (1,??) C. [1,??) D. [2,??)

y?
12.(2010 湖北文)函数

1 log 0.5 (4 x ? 3)

的定义域为

3 A.( 4 ,1)

3 B( 4 ,∞)

C(1,+∞)

3 D.( 4 ,1)∪(1,+∞)

13.(2010 山东理)函数 y=2x - x 的图像大致是

2

【答案】A

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1 ? 4<0 【解析】因为当 x=2 或 4 时,2x - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2x - x = 4 ,故
2 2

排除 D,所以选 A。 【命题意图】本题考查函数的图象,考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的 思维能力。 14.(2010 山东理)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为常数), 则 f(-1)= (A) 3 【答案】D (B) 1 (C)-1 (D)-3
x

15.(2010 湖南理)用

表示 a,b 两数中的最小值。若函数

1 的图像关于直线 x= 2 对称,则 t 的值为 ?
A.-2 B. 2 C.-1 D.1

16.(2010 安徽理)

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17.(2010 重庆文数)函数 y ? 16 ? 4 的值域是
x

(A) [0, ??) (C) [0, 4) 答案 B 解析:

(B) [0, 4] (D) (0, 4)

? 4 x ? 0,? 0 ? 16 ? 4 x ? 16 ? 16 ? 4 x ? ? 0, 4 ?

y?
18.(2010 全国卷 2 理)函数

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 2 的反函数是
2 x ?1

y ? e2 x ?1 ? 1( x ? 0)
(C) y ? e
2 x ?1

(B) y ? e

? 1( x ? 0)
2 x ?1

? 1( x ? R)

(D) y ? e

? 1( x ? R)

答案 D 【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得 ,即 ∴在反函数中 ,故选 D. ,又 ;

19.(2010 陕西文)下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+ y)=f(x)f(y) ”的是 (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数 答案 C 【解析】本题考查幂的运算性质

f ( x) f ( y ) ? a x a y ? a x ? y ? f ( x ? y )

1 1 ? ?2 20.(2010 辽宁文)设 2 ? 5 ? m ,且 a b ,则 m ?
a b

(A) 10 答案 A

(B)10

(C)20

(D)100

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1 1 ? ? log m 2 ? log m 5 ? log m 10 ? 2,? m2 ? 10, 【解析】选 A. a b 又? m ? 0,? m ? 10.
21.(2010 全国卷 2 文)函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 (A)y= e (C) y= e
x ?1

-1(x>0) -1(x ? R)

(B) y= e (D)y= e
x ?1

x ?1

+1(x>0)

x ?1

+1 (x ? R)

答案 D 【解析】D:本题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数 y=1+ln(x-1)(x>1),∴

ln( x ? 1) ? y ? 1, x ? 1 ? e y ?1 , y ? e x ?1 ? 1
2 3 2 3 5 2 5 2 5 a? ( ),b ? ( ) ,c ? ( ) 5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 22.(2010 安徽文)设

(A)a>c>b 答案 A
2 5

(B)a>b>c

(C)c>a>b

(D)b>c>a

2 y ? ( )x 5 在 x ? 0 时是减函数, 【解析】 y ? x 在 x ? 0 时是增函

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