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江西省百强中学2014届高三上学期第二次月考(数学理)


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2013-2014 学年度上学期第二次考试 高三数学理试卷

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2 在区间 ?

?1,1? 上的最大值是( A. ? 2 2. 函数 y ? 2sin( x ? A. x ? B. 0 C. 2 ) D. x ? 2? ) D. 4

?
4

) 图象的一条对称轴方程是(
B. x ?

3? 4

? 8

C. x ?

? 2

3. 把函数 y = sin x(x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐 3

1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 2 ? x ? A. y = sin (2 x- ),x ? R B. y = sin ( + ),x ? R 3 2 6 ? 2? C. y = sin (2 x + ),x ? R D. y = sin (2 x + ),x ? R 3 3


4. 在△ABC 中角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若(2b﹣c)cosA=acosC,则∠A 为( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

5? 6

5. 对于 ?ABC ,有如下四个命题: ①若 sin 2 A ? sin 2B ,则 ? ABC 为等腰三角形, ②若 sin B ? cos A ,则 ? ABC 是直角三角形 ③若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ? ABC 是钝角三角形 其中正确的命题个数是 A. 1 B. 2 ( ) C. 3 D. 4

x 6. 现有四个函数:① y ? x sin x ② y ? x cos x ③ y ? x cox ④ y ? x 2 的图象(部分)如下,但顺序被打乱,则

按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ ) D. [?4,3]

) D.③④②①

7.函数 y ? 3sin x ? 4cos x, x ? [0, ? ] 的值域为( A. [?5,5] B. [?4,5] C. [?3,5]

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8. 若函数 f ( x) ? 2sin ? x ?? ? 0 ? 的图象在 ? 0, 2? ? 上恰有一个极大值和一个极小值,则 ? 的取值范围是 ( )

A.

3 ( ,1] 4

B.

5 (1, ] 4

C.

(

34 ] 45
?

D.

(

35 ] 44
x1 ? x2 的值为( 2


9. 已知函数 f ( x) ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? m在[0, ] 上有两个零点 x1 , x2 ,则 tan 2
2 2
C.

A. 3

B.

3 2

D.

3 3

10 .设函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? a ln x 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 < x2 ,则 A. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

B. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4 1 ? 2 ln 2 4

C. f ( x2 ) ?

1 ? 2 ln 2 4

D. f ( x2 ) ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. 曲线 xy ? 1 与直线 y=x 和 y=3 所围成的平面图形的面积为_________. 12. 己知△ABC 三边长成等比数列,公比为 2 .则其最大角的余弦值为______. 13. 已知函数 f ( x ) ? cos x, x ? (

?
2

,3? ) ,若方程 f ( x) ? m 有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,

则 m 的值为 _____________ .

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? ? ? ? 14. 已知函数 f ( x ) ? ? 3 , ? 2 x , x ? ? 1 ,1? ? ? ? x ?1 ?2 ? ?
函数 g ( x ) ? a sin( x ) ? 2a ? 2, (a ? 0) ,若存在 x1 , x2 ? ? 0,1? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取 值范围是 。

π 6

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15. 给出下列个命题: ①若函数 f ( x) ? a sin(2 x ?

?
3

? ? )( x ? R)为偶函数,

则 ? ? k? ?

?
6

(k ? Z )

②已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? 单调递减,则 ? 的取值范围是 [ , ]

?

) 在 ( ,? ) 上 4 2
O

?

y
x

1 5 2 4

? 3
x

7? 12
x

③函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

?
2

x
图象如图所示,则
x

?1 )的

f ( x) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) ; 3
④设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c 若 (a ? b)c ? 2ab ;则 C ? ⑤设ω >0,函数 y ? sin(? x ?

?

?
2

?
3

) ? 2 的图象向右平移

4? 个单位后与原图象重 合,则ω 的最小值是 3

3 . 2
其中正确的命题为____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ?

3 sin x cos x ? cos2 x ? a .

(1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)当 x ? [?

? ?

3 , ] 时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

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2 c o s x ?(? ?

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17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? m s i n x? ?

0 ,? 的 最 大 值 为 2. 且 m 0)

x?

?
4

,x ?

5? 是相邻的两对称轴方程. 4

(1)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的值域; (2)△ABC 中, f ( A ? 求△ABC 的面积.

?

B、 b、 ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A、 C 所对的边分别是 a、 c,且 C=60?,c=3, 4 4

?

18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ?

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2sin ? x ? cos ? x ? 2 3 cos2 ? x ? 3 ? 1(其中 ? ? 0 ) x1 、x 2 是函数 y ? f (x) 的 , 两个不同的零点,且 | x1 ? x2 | 的最小值为 (1)求 ? 的值; (2)若 f (a) ?

? . 3

2 5? ,求 sin( ? 4a) 的值. 3 6

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20. (本小题满分 13 分)

f ? x ? ? x ? a ? ln x ?a ? 0 ? .
(1)若 a ? 1, 求 f ? x ? 的单调区间及 f ? x ? 的最小值;

(2)试比较

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 ?n ? 1??2n ? 1? ? 2 ??? 2 与 的大小. ?n ? N ? 且n ? 2 ? ,并证明你的结论. 2 2?n ? 1? 2 3 n

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? x ln x, g ( x ) ? ? x ? ax ? 2
2

(1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1,x2(x1<x2)且 x2﹣x1>ln2,求实数 a 的取值范围.

(附加题) (本小题满分 10 分)已知对任意 x ? R, a cos x ? b cos2 x ? 1 ? 0, 恒成立(其中 b ? 0) ,求

a ? b 的最大值.

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17. 【解析】(1) 由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m 2 ? 2=2 . 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x ) ? 2sin(? x ? ∴ω =1

?
4

). ∵ x ?

?
4

,x ?

5? 2? 是相邻的两对称轴方程.∴T=2π = , 4 ?

? ? 5? 2 ? ? ?? ? sin( x ? ) ? 1 ? f ( x ) ? 2sin( x ? ) ,∵ 0 ? x ? ? ? ? x ? ? 4 4 4 2 4 4
∴ f ( x ) 的值域为 [ ? 2, 2] . (2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2 R ?
π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .

c 3 ? =2 3 . sin C sin 60?

由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2



由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 . ②
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将①式代入②,得 2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

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3 3 3 1 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去). S?ABC ? ab sin C ? . 4 2 2

18. 解: (1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , 因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x 2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 19. ⑴ f ( x ) ? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 1 ? 2sin(2? x ?

?
3

5 . 2

) ?1,

? 1 ?sin(2? x ? ) ? , 3 2
? 2? x1 ?

?
3

?

?
6

? 2k? 或 2? x2 ?

?
3

?

5? ? 2k? (k ? Z ) 6
2? 3

? 2? | x1 ? x2 |? 2k? (k>0)或 2? | x1 ? x2 |? 2k? ?

?| x1 ? x2 |min ?

? ? ? 3? 3
?
3

∴ ? ? 1.

⑵ f ( x ) ? 2sin(2 x ? ∵ sin(

) ? 1 ,由 f (a) ?

2 ? 5 ,得 sin(2? ? ) ? , 3 6 3

5? 3? 5? ? ? 4? ) ? ? cos[ ? ( ? 4? )] ? ? cos 2(2? ? ) 6 2 6 3
? 2 sin 2 (2? ?

?
3

) ?1 ?

7 . 18

20. 解:(1) a ? 1, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x 当 x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x, f
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'

?x ? ? 1 ? 1 ?
x

x ?1 ? 0. x
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? f ? x ? 在区间 ?1,?? ? 上是递增的
当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? ln x, f
'

?x ? ? ?1 ? 1 ? 0.
x

? f ? x ? 在区间 ?0,1? 上是递减的.
故 a ? 1 时, f ? x ? 的增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ?0,1? , f ? x ?min ? f ?1? ? 0 (2) 由(1)可知,当 a ? 1, x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0, 即

ln x 1 ? 1? x x

?

ln 2 2 ln 3 2 ln n 2 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 1? 2 ?1? 2 ? ? ?1? 2 ? n ?1? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 3 n 2 3 n 3 n ? ?2

? 1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 1 1 ? n ?1? ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? n ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 ? ? ? ? ? ?
= n ?1? ?

1 ? ?n ? 1??2n ? 1? ?1 . ? ?? 2?n ? 1? ? 2 n ?1?

21. 解: (1)由 f′(x)=lnx+1=0,可得 x= ,

1 e

∴∴①0<t<

1 1 1 ,时,函数 f(x)在(t, )上单调递减,在( ,t+2)上单调递增, e e e 1 e 1 , e

∴函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值为 f( )=﹣

②当 t≥ 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增, ∴f(x)min=f(t)=tlnt,

1 e

? f ( x ) m in

1 ? 1 ? ,0 ? t ? ? e ? e ?? ; ?t ln t , t ? 1 ? e ?

(2)y=f(x)+g(x)=xlnx﹣x2+ax﹣2,则 y′=lnx﹣2x+1+a 题意即为 y′=lnx﹣2x+1+a=0 有两个不同的实根 x1,x2(x1<x2) , 即 a=﹣lnx+2x﹣1 有两个不同的实根 x1,x2(x1<x2) , 等价于直线 y=a 与函数 G(x)=﹣lnx+2x﹣1 的图象有两个不同的交点 ∵G′(x)=﹣ +2, ,∴G(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,
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画出函数图象的大致形状(如右图) ,

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由图象知,当 a>G(x)min=G( ) )=ln2 时,x1,x2 存在,且 x2﹣x1 的值随着 a 的增大而增大而当 x2﹣

x1=ln2 时,由题意



两式相减可得 ln

=2(x2﹣x1)=2ln2

∴x2=4x1 代入上述方程可得 x2=4x1= ln2, 此时 a= ln2﹣ln( )﹣1, 所以,实数 a 的取值范围为 a> ln2﹣ln( )﹣1;

? (a ? b) max ? 2

法二(导数)
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?a ? x x 2 ? ? 2( y ? 1) 2 ? 1, 令? ?b ? y 2

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则即求函数的导数,椭圆的上半部分

1? 1? y?

x2 2 ? y? ? 1 ? 2 4

?x x2 1? 2

? ?1 ? x ?

4 2 ,? y ? 3 3

? ( x ? y )max ? 2
(法三、柯西不等式)由柯西不等式可知:

1 1 1 1 1 (a ? b ? )2 ? [a ? 1 ? 8(b ? ) ? ]2 ? [a 2 ? 8(b ? ) 2 ][12 ? ( ) 2 ] 2 2 2 8 8

1 8(b ? ) 1 9 a 2 ,即 a ? 8(b ? 1 ) 及 a 2 ? 8b ? 8b2 时等号 ? (8b ? 8b2 ? 8b2 ? 8b ? 2)(1 ? ) ? ,当且仅当 ? 1 8 4 2 1 8
成立.即当 a ?

4 2 , b ? 时,a+b 最大值为 2. 3 3

综上可知 ( a ? b) max ? 2 .

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