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南京市2012-2013学年度第一学期高一期末调研数学试卷


南京市 2011-2012 学年度第一学期高一期末调研

数学卷


2012.01

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置 .......

1.已知集合 A={-1,0,1,2},B={-2,0,2,4},则 A∩B=______

___. 2.计算:sin210° 的值为_______. 3.函数 f(x)=log2(x+1)的定义域为_______. 4.计算:2lg 2+lg5 的值为_______. 5.已知 a=30.2,b=0.32,c=log0.32,则 a,b,c 的大小关系为_______.(用“<”连结)
?2-x,x<1, 6.已知函数 f(x)=? 2 则 f(f(0))的值为_______. ?x +x,x≥1,

7.对于任意的 a∈(1,+∞),函数 y=loga(x-2)+1 的图象恒过点_______.(写出点的坐标) 8.已知函数 f(x)=Asin(ωx+?)(其中 A>0,ω>0,-π<?≤π)的 5π 7π 部分图象如图所示,与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 , , 24 8
O

y
1
5π 24 7π 8

x

则函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离是_______. 9.在△ABC 中,已知 D 是 BC 上的点,且 CD=2BD.设 AB =a,


-1 第 8 题图 A



AC =b,则 AD =_______.(用 a,b 表示)
B D 第 9 题图 C



π π 10.函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]的最小值为_______. 3 2

11.若函数 y=|log2x|在区间(0,a]上单调递减,则实数 a 的取值范围是_______. 1 12. 将函数 y=sinx 的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 ,得到函数 y=f(x) 2 π 的图象,再将函数 y=f(x)的图象沿着 x 轴的正方向平移 个单位长度,得到函数 y=g(x) 6 的图象,则 g(x)的解析式为_______. 13.给出下列四个函数:①y=x+sinx;②y=x2-cosx;③ y=2 -2
x ?x

;④y=ex+lnx,其

第 1 页 共 5 页

中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调的函数是_______.(写出所有满足条件的函数的 序号) 14.设定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意的 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),对任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)>0,且 f(1)=2.若对任意的 x∈[-3,3]都有 f(x)≤a,则实数 a 的取值范围为_______. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 8 分) 设向量 a=(6,2),b=(-3,k). (1)当 a⊥b 时,求实数 k 的值;(2)当 a∥b 时,求实数 k 的值. 16.(本小题满分 10 分) 已知 tanα=3. (1)求 sinα+cosα 3π 的值;(2)若 π<α< ,求 cosα-sinα 的值. 2 sinα-cosα

17.(本小题满分 10 分) 已知向量 e1,e2 的夹角为 120o,且|e1|=2,|e2|=3.若 a=2e1+e2,b=e1-2e2, (1)求 a+2b;(用 e1,e2 表示); 18.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3. (1)求 f(-1)的值; (2)求函数 f(x)的表达式; (2)求|a|的值.

(3)求证:方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解. 19.(本小题满分 10 分) 下表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深.

第 2 页 共 5 页

时刻 水深/m

0∶00 5.0

3∶00 8.0

6∶00 5.0

9∶00 2.0

12∶00 5.0

15∶00 8.0

18∶00 5.0

21∶00 2.0

24∶00 5.0

(1)若该港口的水深 y(m)和时刻 t(0≤t≤24)的关系可用函数 y=Asin(ωt)+b(其中 A>0, ω>0,b∈R)来近似描述,求 A,ω,b 的值; (2)若一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4m, 安全条例规定至少要有 2.5m 的安 全间隙(船底与海底的距离),试用(1)中的函数关系判断该船何时能进入港口? 20.(本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=x2-2tx+2,其中 t∈R. (1)若 t=1,求函数 f(x)在区间[0,4]上的取值范围; (2)若 t=1,且对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5,求实数 a 的取值范围. (3)若对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求 t 的取值范围.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. 1.{0,2} 6.6 11.(0,1] 2.- 1 2 3.(-1,+∞) 2π 8. 3 13.①③ 4.1 2 1 9. a+ b 3 3 5.c<b<a 1 10. 2 14.[6,+∞).

7.(3,1)

π 12.g(x)=sin(2x- ) 3

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解 因为 a=(6,2),b=(-3,k),所以 (1)当 a⊥b 时,a·b=0,即 6×(-3)+2k=0,解得 k=9. (2)当 a∥b 时,6k=2×(-3),解得 k=-1. ?????4 分 ????8 分

16.解

因为 tanα=3,所以

sinα =3,即 sinα=3cosα,且 cosα≠0. ?????2 分 cosα ???6 分

sinα+cosα 3cosα+cosα (1) = =2. sinα-cosα 3cosα-cosα 1 (2)因为 sin2α+cos2α=1,所以 9cos2α+cos2α=1,即 cos2α= . 10 3π 10 又 π<α< ,所以 cosα<0,从而 cosα=- , 2 10
第 3 页 共 5 页

所以 cosα-sinα=cosα-3cosα=-2cosα=

10 . 5

??10 分

17.解

(1)因为 a=2e1+e2,b=e1-2e2,所以 a+2b=2e1+e2+2(e1-2e2)=4e1-3e2. ????4 分 o (2)因为向量 e1,e2 的夹角为 120 ,且|e1|=2,|e2|=3,所以 2 2 a2=(2e1+e2)2=4e1+4e1·e2+e2=4×22+4×2×3cos120o+32=13, ??8 分 所以 |a|= 13. ?????10 分

18.解 (1)因为函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,所以对任意的 x∈R,都有 f(-x)=-f(x). 所以 f(-1)=-f(1). 因为当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3,所以 f(1)=log21+1-3=-2. 所以 f(-1)=-f(1)=2. ???3 分 (2)当 x=0 时,f(0)=f(-0)=-f(0),解得 f(0)=0; 当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3. 所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而 f(x)=-log2(-x)+x+3. 所以

?-log2(-x)+x+3,x<0, ? f(x)=?0,x=0, ? ?log2x+x-3,x>0.

????6 分

(3)因为 f(2)=log22+2-3=0,所以方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有解 x=2. 又方程 f(x)=0 可化为 log2x=3-x. 设函数 g(x)=log2x,h(x)=3-x. 由于 g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,h(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数, 所以,方程 g(x)=h(x) 在区间(0,+∞)上只有一个解. 所以,方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解. ?10 分 说明:指出有解 2 分,指出单调性 2 分. 2π π (1)由题知,A=3,b=5,T=12,所以 ω= = . T 6

19.解

????4 分

π (2)由(1)得 y=3sin( t)+5(0≤x≤24) . 6 货船需要的安全水深为 4+2.5=6.5(m),所以当 y≥6.5 时,货船就可以进港. π π 1 方法一 由 3sin( t)+5≥6.5,得 sin( t)≥ . 6 6 2 π π π 5π 13π π 17π 因为 0≤ t≤4π,所以 ≤ t≤ ,或 ≤ t≤ , 6 6 6 6 6 6 6 解得 1≤t≤5,或 13≤t≤17. 答 该货船可以在 1∶00~5∶00 和 13∶00~17∶00 进入港口. ???10 分 π π 1 方法二 由 3sin( t)+5=6.5,得 sin( t)= . 6 6 2 如图,在区间[0,12]内,函数的图象与直线 y=6.5 有两个交点 A,B, y
8 6 4 2 O 2 4 6 8 第 4 页 共 5 页 10 12 14 16 18 20 24 t π y=3sin( t)+5 6

A

B

C

D

π π π π 因此 tA= 或 π- tB= ,解得 tA=1,tB=5. 6 6 6 6 在区间[12,24]内,设函数的图象与直线 y=6.5 有两个交点 C,D. 由函数的周期性,易得 tC=12+1=13,tD=12+5=17. 答 该货船可以在 1∶00~5∶00 和 13∶00~17∶00 进入港口. ???10 分 说明:缺答扣 1 分. 20.解 因为 f(x)=x2-2tx+2=(x-t)2+2-t2,所以 f(x)在区间(-∞,t]上单调减,在区间 [t,∞)上单调增,且对任意的 x∈R,都有 f(t+x)=f(t-x), (1)若 t=1,则 f(x)=(x-1)2+1. ①当 x∈[0,1]时.f(x)单调减,从而最大值 f(0)=2,最小值 f(1)=1. 所以 f(x)的取值范围为[1,2]; ②当 x∈[1,4]时.f(x)单调增,从而最大值 f(4)=10,最小值 f(1)=1. 所以 f(x)的取值范围为[1,10]; 所以 f(x)在区间[0,4]上的取值范围为[1,10]. ?????3 分 (2)“对任意的 x∈[a,a+2],都有 f(x)≤5”等价于“在区间[a,a+2]上,[f(x)]max≤5” . 2 若 t=1,则 f(x)=(x-1) +1, 所以 f(x)在区间(-∞,1]上单调减,在区间[1,∞)上单调增. 当 1≤a+1,即 a≥0 时, 由[f(x)]max=f(a+2)=(a+1)2+1≤5,得 -3≤a≤1, 从而 0≤a≤1. 当 1>a+1,即 a<0 时,由[f(x)]max=f(a)=(a-1)2+1≤5,得 -1≤a≤3, 从而 -1≤a<0. 综上,a 的取值范围为区间[-1,1]. ????6 分 (3)设函数 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 M,最小值为 m, 所以“对任意的 x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8”等价于“M-m≤8” . ①当 t≤0 时,M=f(4)=18-8t,m=f(0)=2. 由 M-m=18-8t-2=16-8t≤8,得 t≥1. 从而 t∈?. ②当 0<t≤2 时,M=f(4)=18-8t,m=f(t)=2-t2. 由 M-m=18-8t-(2-t2)=t2-8t+16=(t-4)2≤8,得 4-2 2≤t≤4+2 2. 从而 4-2 2≤t≤2. ③当 2<t≤4 时,M=f(0)=2,m=f(t)=2-t2. 由 M-m=2-(2-t2)=t2≤8,得-2 2≤t≤2 2. 从而 2<t≤2 2. ④当 t>4 时,M=f(0)=2,m=f(4)=18-8t. 由 M-m=2-(18-8t)=8t-16≤8,得 t≤3. 从而 t∈?. 综上,a 的取值范围为区间[4-2 2,2 2]. ?????10 分

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