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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮专题训练:《数列的综合应用》


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一、选择题

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河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮专题训练《数列的综合应用》

1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( A.3×44 C.43 B.3×44+1 D.43+1

)

r />
解析:由 an+1=3Sn?Sn+1-Sn=3Sn,即 Sn+1=4Sn,又 S1=a1=1,可知 Sn=4n 1.于是 a6=S6-S5=45-44=3×44. 答案:A 1 - x 2.命题甲:( )x,21 x, 2 成等比数列;命题乙:lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列, 2
2



则甲是乙的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
- -

A.充分不必要条件 C.充要条件
2 解析:命题甲:(21 x)2=2 x·
x
2



即 2(1-x)=-x+x2. 得:x=-2 或 x=1. 命题乙:2lg(x+1)=lgx+lg(x+3), 即(x+1)2=x(x+3),得:x=1. 故甲 ? 乙,乙?甲, 故甲是乙的必要不充分条件. 答案:B 3.已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S21=S4 000,O 为坐标原点,点 P(1,an), 点 Q(2 011,a2 011),则 O P · Q =( O A.2 011 C.0
??? ??? ? ?

)
[:]

B.-2 011 D.1
??? ??? ? ?

解析:设 Sn=An2+Bn,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)A+B,由 S21=S4 000,知 4 021A+B=0,所以 a2 011=0, O P · Q =2 011+an×a2 011=2 011. O 答案:A 4.(2011· 日照模拟)已知函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线 l 与直线 3x 1 -y+2=0 平行,若数列{ }的前 n 项和为 Sn,则 S2 011 的值为( f?n? 2 009 A. 2 010 2 008 C. 2 009
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)

2 011 B. 2 012 2 010 D. 2 011

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解析:∵函数 f(x)=x2+bx 的图像的切线的斜率为 f′(x)=2x+b, ∴函数 f(x)=x2+bx 的图像在点 A(1,f(1))处的切线 l 的斜率为 k=2+b. ∵切线 l 与直线 3x-y+2=0 平行, ∴2+b=3,即 b=1. ∴f(x)=x2+x. ∴ 1 1 1 1 1 = 2 = =n- . f?n? n +n n?n+1? n+1

1 1 1 1 1 1 2 011 ∴S2 011=(1- )+( - )+?+( - )=1- = . 2 2 3 2 011 2 012 2 012 2 012 答案:B 3 5 5.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x)(x∈R),且 f(1)= ,则数列{f(n)}(n∈N*)前 20 项 2 2 的和为( A.305 C.325 ) B.315 D.335

5 3 5 解析:因为 f(1)= ,f(2)= + , 2 2 2 3 3 5 3 f(3)= + + ,?,f(n)= +f(n-1), 2 2 2 2 5 3 所以{f(n)}是以 为首项, 为公差的等差数列. 2 2 5 20?20-1? 3 所以 S20=20× + × =335. 2 2 2 答案:D 6.等差数列{an}中,a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,对任意自然数 n,若点(n, Sn)在以下 4 条曲线中的某一条上,则这条曲线应是( )
[:]

解析:∵Sn=na1+

n?n-1? d d d,∴Sn= n2+(a1- )n.又 a1>0,公差 d<0,所以点(n, 2 2 2

Sn)所在抛物线开口向下,对称轴在 y 轴右侧. 答案:C 二、填空题 7.(2011· 枣庄模拟)已知函数 f(x)=[x[x]](n<x<n+1,n∈N*),其中[x]表示不超过 x 的 最大整数,如[-2.1]=-3,[-3]=-3,[2.5]=2.定义 an 是函数 f(x)的值域中的元素个数, 数列{an}的前 n 项和为 Sn,则满足 anSn<500 的最大正整数 n=________.
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n2?n+1? 2

解析:由 n<x<n+1,知[x]=n,所以 n2<x[x]<n(n+1),故 n2≤f(x)=[x[x]]≤n(n+1) -1,从而函数 f(x)的值域中的元素个数为 an=n(n+1)-1-n2+1=n,故由 anSn= <500 得 n≤9,所以最大正整数 n=9. 答案:9 8.设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成 公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 解析:设 a2=t,则 1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于 t≥1,所以 q≥max{t, t+1, 3 3 t+2},故 q 的最小值是 3. 3 答案: 3 9.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a). 这里,x 被称 为乐观系数. 经验表明,最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得,最 佳乐观系数 x 的值等于________. 解析:根据题目条件可知,c-a=x(b-a),b-c=b-a-(c-a)=(1-x)(b-a),最佳 乐观系数满足:c-a 是 b-c 和 b-a 的等比中项,所以有[x(b-a)]2=(1-x)(b-a)·(b-a), 又因为(b-a)>0,所以 x2=1-x,即 x2+x-1=0.解得 x= -1+ 5 . 2 答案: -1+ 5 2 -1± 5 ,又 0<x<1,所以 x= 2

三、解答题 1 1 1 10.(2011· 烟台模拟)将函数 f(x)=sin x· (x+2π)·sin (x+3π)在区间 (0, sin +∞)内的全 4 4 2 部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2nan,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 1 π 解:(1)f(x)=sin x· (x+2π)·sin (x+3π)=- sinx.其极值点为 x=kπ+ (k∈Z). sin 4 4 2 4 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2 2n-1 π ∴an= +(n-1)·π= π(n∈N*). 2 2

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π (2)∵bn=2nan= (2n-1)·n, 2 2

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π - ∴Tn= [1· 2+3·2+…+(2n-3)·n 1+(2n-1)·n], 2 2 2 2 π + 2Tn= [1·2+3·3+…+(2n-3)·n+(2n-1)·n 1], 2 2 2 2 2 两式相减,得 π + -Tn= [1· 2+2·2+2·3+…+2·n-(2n-1)·n 1], 2 2 2 2 2 ∴Tn=π[(2n-3)·n+3]. 2 11.设 C1,C2,?,Cn,?是坐标平面上的一系列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴 上,且都与直线 y= 3 x 相切,对每一个正整数 n,圆 Cn 都与圆 Cn+1 相互外切,以 rn 表示 3

Cn 的半径,已知数列{rn}为递增数列. (1)证明:数列{rn}为等比数列; n (2)设 r1=1,求数列{r }的前 n 项和.
n

解:(1)证明:将直线 y=

3 3 1 x 的倾斜角记为 θ,则有 tanθ= ,sinθ= . 3 3 2

rn 1 设 Cn 的圆心为(λn,0)(n∈N*),则由题意知 =sinθ= ,得 λn=2rn, λn 2 同理 λn+1=2rn+1,依题意知 λn+1=λn+rn+rn+1=2rn+1,① 将 λn=2rn 代入①解得 rn+1=3rn. 故数列{rn}是以 3 为公比的等比数列. n - - (2)由于 r1=1,q=3,故 rn=3n 1,从而r =n·1 n, 3 n n 1 2 记 Sn= + +?+r , r1 r2 n 则有 Sn=1+2· 1+3· 2+?+n·1 n,② 3 3 3 Sn - - - - =1· 1+2· 2+?+(n-1)·1 n+n· n.③ 3 3 3 3 3 2Sn - - - - ②-③,得 =1+3 1+3 2+?+31 n-n· n 3 3 1-3 n 3 3 - - = -n· n= -(n+ )· n. 3 3 2 2 2 3 9 1 3 - Sn= - (n+ )·1 n. 3 4 2 2 3+?-1?n 1 12.已知数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn= ,n∈N*,且 2 a1=2.
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- -
[: ]







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(1)求 a2,a3 的值;

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(2)设 cn=a2n+1-a2n-1,n∈N*,证明{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设 Sn 为{an}的前 n 项和,证明 + +?+ + ≤n- (n∈N*). a1 a2 3 a2n-1 a2n 3+?-1?n 1 解:(1)由 bn= ,n∈N*, 2
? ?2,n为奇数, 可得 bn=? ? ?1,n为偶数.


又 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1, 3 当 n=1 时,a1+2a2=-1,由 a1=2,可得 a2=- ; 2 当 n=2 时,2a2+a3=5,可得 a3=8. (2)证明:对任意 n∈N*, a2n-1+2a2n=-22n 1+1,①, 2a2n+a2n+1=22n+1.② ②-①,得 a2n+1-a2n-1=3×22n 1, 即 cn=3×22n 1.于是
- - -
[ :]

cn+1 =4. cn

所以{cn}是等比数列. (3)证明:a1=2,由(2)知,当 k∈N*且 k≥2 时, a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+?+(a2k-1-a2k-3)=2+3(2+23+25+?+22k
-3

2?1-4k 1? - )=2+3× =22k 1, 1-4


故对任意 k∈N*,a2k-1=22k 1. 由①得 22k 1+2a2k=-22k 1+1, 1 - 所以 a2k= -22k 1,k∈N*. 2 k 因此,S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+?+(a2k-1+a2k)= . 2 于是,S2k-1=S2k-a2k= k-1 2k-1 +2 . 2
- -



k-1 k - +22k 1 2 2 S2k-1 S2k k-1+22k k k 1 故 + = + = - 2k =1- k- k k . - 1 22k 4 4 ?4 -1? a2k-1 a2k 22k 1 2 -1 2k-1 -2 2 所以,对任意 n∈N*, S2n-1 S2n S1 S2 + +?+ + = a1 a2 a2n-1 a2n
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S2n-1 S2n S1 S2 S3 S4 ( + )+( + )+?+( + )= a1 a2 a3 a4 a2n-1 a2n 1 1 1 2 1 n 1 1 1 2 (1- - )+(1- 2- 2 2 )+?+(1- n- n n )=n-( + )-( 2+ 2 2 )-? 4 12 4 4 ?4 -1? 4 4 ?4 -1? 4 12 4 4 ?4 -1? 1 n 1 1 1 -( n+ n n )≤n-( + )=n- . 4 4 ?4 -1? 4 12 3

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