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高一上第2次教案集合间关系与运算 (1)


集合运算
一、集合间的基本关系 比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2,3} , B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2) C ? {北京一中高一一班全体女生} , D ? {北京一中高一一班全体学生} ; (3) E ? {x | x是两条边相等的三角形} , F ? {x x是等腰三角形} 观察可得: ⒈子集:对于两个集合 A,B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这 两个集合有包含 关系,称集合 A 是集合 B 的子集。 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于 B,或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合 B 时,记作 A?B(或 B?A) 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系: B A 表示: A ? B

⒉集合相等定义:如果 A 是集合 B 的子集,且集合 B 是集合 A 的子集,则集合 A 与集合 B 中的元素是一 样的,因此集合 A 与集合 B 相等,即若 A ? B且B ? A ,则 A ? B 。 如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z},此时有 A=B。 ⒊真子集定义:若集合 A ? B ,但存在元素 x ? B, 且x ? A ,则称集合 A 是集合 B 的真子集。 记作:A B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A) 4.空集定义:不含有任何元素的集合称为空集。记作: ? 用适当的符号填空:

?

?0? ;

0

? ; ?

{ ? };

?0?

{? }

5.几个重要的结论: ⑴空集是任何集合的子集;对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 ⑵空集是任何非空集合的真子集; ⑶任何一个集合是它本身的子集; ⑷对于集合 A,B,C,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C 。 练习:填空: ⑴2 N;

{2}
2

N;

?

A;

⑵已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},则 A B; A C; {2} C; 2 C 说明: ⑴注意集合与元素是“属于” “不属于”的关系,集合与集合是“包含于” “不包含于”的关系; ⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。 ⑶结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个, 特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 巩固练习:集合的子集问题 1、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。

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2、已知集合 M 满足{2,3} ? M ? {1,2,3,4,5}求满足条件的集合 M

3、已知集合 A={x|x2-2x-3=0},B={x|ax=1}若 B A,则实数 a 的值构成的集合是( ) A.{-1,0,

1 } 3

B.{-1,0}

C.{-1,

1 } 3

D.{

1 ,0} 3

4.设集合 A={2,8,a}B={2,a2-3a+4}且 B A,求 a 的值。

5.已知集合 A ? x ?2 ? x ? 5 , B ? x ? m ? 1 ? x ? 2m ? 1 且 A ? B ,求实数 m 的取值范围。

?

?

?

?

练习: 1、判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 2 (5) A={x| (x-1) =0},B={y|y -3y+2=0}; (6) A={1,3},B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1},B={x|x2-1=0}; (8)A={x|x 是两条边相等的三角形},B={x|x 是等腰三角形}。

2、设 A={0,1},B={x|x ? A},问 A 与 B 什么关系?

3、判断下列说法是否正确? (1)N ? Z ? Q ? R; (4)N ? Z; (2) ? ? A ? A; (5) ? ? { ? }; (3){圆内接梯形} ? {等腰梯形}; (6) ? ? { ? }

4.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,2,2y},且 A=B,求 x,y 的值。

5、已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。

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6、已知三个元素集合 A={x,xy,x-y},B={0,∣x∣,y}且 A=B,求 x 与 y 的值。

集合间的基本运算
考察下列集合,说出集合 C 与集合 A,B 之间的关系: (1) A ? {1,3,5} , B ? {2,4,6}, C ? ?1,2,3,4,5,6? ; (2) A ? {x x是有理数} , B ? {x x是无理数},

C ? ?x x 是实数? ;

1.并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与集合 B 的并集,即 A 与 B 的所有部分, 记作 A∪B, 读作:A 并 B 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}。 Venn 图表示:

练习: 1、讨论:A∪B 与集合 A、B 有什么特殊的关系? A∪A= , A∪Ф = , A∪B A∪B=A ? , A∪B=B ? 2: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∪B= ②.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∪B=

B∪A . ; 。

2.交集定义:一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫作集合 A、B 的交集。 记作:A∩B 读作:A 交 B 即:A∩B={x|x∈A,且 x∈B} Venn 图表示:

常见的五种交集的情况: B A A(B) A B A B A B

说明:当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集。 练习:1、讨论:A∩B 与 A、B、B∩A 的关系? A∩A= A∩ ? = A∩B B∩A A∩B=A ? 2: ①.A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则 A∩B= ②.A={等腰三角形},B={直角三角形},则 A∩B= ③.A={x|x>3},B={x|x<6},则 A∩B= 3.一些特殊结论 ⑴若 A ? B ,则 A∩B=A; ⑵若 B ? A ,则 A ? B=A; 。 ; ; A∩B=B ?

⑶若 A,B 两集合中,B= ? ,,则 A∩ ? = ? , A ? ? =A。
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并集与交集的运算 例 1:设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B。

例 2:设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B。

练习:已知集合 A={y|y=x2-2x-3,x∈R},B={y|y=-x2+2x+13,x∈R}求 A∩B、A∪B。

并集、交集的应用 例:设集合 A={∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a2+2a,a2+2a-1},当 A∩B={2,3}时,求 A∪B。 解:

练:.已知{3,4,m2-3m-1}∩{2m,-3}={-3},则 m= 巩固练习: 1、设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则 A∪B= 2、已知集合 M={x|x-2<0},N={x|x+2>0},则 M∩N = 。 。



3、 设 A= {不大于 20 的质数} , B={x|x=2n+1,n∈N*}, 用列举法写出集合 A∩B= 4、已知集合 M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么 M∩N 等于( A. ? B.N C.M D.R ) )



5、若集合 A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则满足条件的实数 x 的个数有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

6、满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是 。 7、已知集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|2a<x<a+3},且满足 A∩B= ? ,则实数 a 的取值围是



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