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高考数学柯西不等式教学题库大全


高考数学柯西不等式教学题库大全
一、二维形式的柯西不等式 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd) 2 (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .) 二、二维形式的柯西不等式的变式
(1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R

, 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .) (2) a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? ac ? bd (a , b , c , d ? R , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)

(3)(a ? b)(c ? d ) ? ( ac ? bd ) 2 (a , b , c , d ? 0 , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立 .)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

? ? ? ? ? ? . (当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k ? 时, 等号成立.)
借用一句革命口号说:有条件要用;没有条件,创造条件也要用。比如说吧,对 a^2 + b^2 + c^2, 并不是不等式的形状,但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。 基本方法 (1)巧拆常数: 例 1:设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。求证:
2 2 2 9 ? ? ? a?b b?c c?a a?b?c

(2)重新安排某些项的次序: 例 2: a 、 b 为非负数, a + b =1, x1 , x2 ? R ? 求证: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2 (3)改变结构: 例 3、若 a > b > c (4)添项:
a b c 3 ? ? ? b?c c?a a?b 2 ? ? ? ? ? 【1】 设 a ? (?2,1,2), b ? 6 ,则 a ? b 之最小值为________;此时 b ? ________。 、 ? ? ? ? ? ? ? ? 答案:?18; (4,?2,?4) 解析: a ? b ? a b ∴ a ? b ? 18 ∴ ? 18 ? a ? b ? 18 ? ? ? ? a ? b 之最小值为?18,此时 b ? ?2a ? (4,?2,?4) ? ? ? ? 【2】 设 a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z),若 x2 ? y2 ? z2 ? 16,则 a b 的最大值为 【解】 ? ? ? ? ∵ a ? (1,0,? 2), b ? (x,y,z) ∴ a . b ? x ? 2z 由柯西不等式[12 ? 0 ? (? 2)2](x2 ? y2 ? z2) ? (x ? 0 ? 2z)2

求证:

1 1 4 ? ? a?b b?c a?c

例 4: a, b, c ? R ? 求证:



? 5 ? 16 ? (x ? 2z)2 ? ? 4 5 ? x ? 4 5 ? ? ? ? ? ? 4 5 ? a . b ? 4 5 ,故 a . b 的最大值为 4 5

? ? ? ? ? ? 【3】 空间二向量 a ? (1, 2,3) ,b ? ( x, y, z) ,已知 b ? 56 ,则(1) a ? b 的最大值为多少?(2)此时 b ? ? Ans:(1) 28:(2) (2,4,6)
1

4 9 36 【4】设 a、b、c 为正数,求 (a ? b ? c)( ? ? ) 的最小值。Ans:121 a b c

【5】. 设 x,y,z ? R,且满足 x2 ? y2 ? z2 ? 5,则 x ? 2y ? 3z 之最大值为
解(x ? 2y ? 3z)2 ? (x2 ? y2 ? z2)(12 ? 22 ? 32) ? 5.14 ? 70 ∴

70 【6】 设 x,y,z ? R,若 x2 ? y2 ? z2 ? 4,则 x ? 2y ? 2z 之最小值为 时,(x,y,z) ? 2 2 2 2 2 2 2 解(x ? 2y ? 2z) ? (x ? y ? z )[1 ? ( ? 2) ? 2 ] ? 4.9 ? 36 x y z ?6 ?2 ∴ x ? 2y ? 2z 最小值为 ? 6,公式法求 (x,y,z) 此时 ? ? ? 2 ? 2 2 1 ? 2 2 2 ? (? 2) ? 2 3

x? ?2 4 ?4 ,y ? ,z ? 3 3 3

x ? 2y ? 3z 最大值为

【7】设 x, y, z ? R , x2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值 M 与最小值 m。 Ans: M ? 15; m ? ?15
【8】 设 x, y, z ?R, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 25 ,试求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值与最小值。 、
答:根据柯西不等式

(1? x ? 2 ? y ? 2 ? z) 2 ? [12 ? (?2) 2 ? 2 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 即 ( x ? 2 y ? 2 z) ? 9 ? 25 而有 ? 15 ? x ? 2 y ? 2 z ? 15 故 x ? 2 y ? 2 z 的最大值为 15,最小值为–15。 【9】 设 x, y, z ?R, 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,试求 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值。 、 答案:考虑以下两组向量 ? ? ?2 ?2 ? ? u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 (u ? v ) 2 ? u ? v ,就有 [2x ? (?1) y ? (?2) z]2 ? [2 2 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ](x 2 ? y 2 ? z 2 ) 即 (2x ? y ? 2z) 2 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 将 2 x ? y ? 2 z ? 6 代入其中,得 36 ? 9( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 而有 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 故 x 2 ? y 2 ? z 2 之最小值为 4。 【10】设 x, y, z ? R , 2 x ? y ? 2 z ? 6 ,求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值 m,并求此时 x、y、z 之值。
4 2 4 Ans: m ? 4; ( x, y, z ) ? ( ,? ,? ) 3 3 3

【11】 设 x,y,z ? R,2x ? 2y ? z ? 8 ? 0,则(x ? 1)2 ? (y ? 2)2 ? (z ? 3)2 之最小值为 解: 2x ? 2y ? z ? 8 ? 0 考虑以下两组向量 ? u =( , , ? 2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3) ? ? 9, )
? , v =(

,

,

? ? ?2 ?2 ) (u ? v ) 2 ? u ? v

[2(x ? 1) ? 2(y ? 2) ? (z ? 3)]2 ? [(x ? 1)2 ? (y ? 2) 2 ? (z ? 3) 2].(22 ? 22 ? 12) ? (x ? 1) ? (y ? 2) ? (z ? 3) ?
2 2 2

( ? 9) 2 9

?9

【12】 x, y, z ? R, 2 x ? 3 y ? z ? 3 , x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 之最小值为________, 设 若 则 又此时 y ? ________。
2

解: 2 x ? 3 y ? z ? 3 ? 2x ? 3(y ? 1) ? z ?( 考虑以下两组向量 ? ? u =( , , ) , v =( , ,

), )
36 14

解析: [ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 ][ 2 2 ? (?3) 2 ? 12 ] ? (2 x ? 3 y ? 3 ? z ) 2 [ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? z 2 ] ?
x y1 ? z ? ? t? , ? 2 x 2 ? 3 1 3 2 ∴t ? ∴y?? 7 7 ?3 y ? z ? , ? 2t ( 2 ?) t ? ( ?3 3 3 t

∴最小值
3

18 7

?1 )?

【13】 设 a,b,c 均为正数且 a ? b ? c ? 9,则

4 9 16 ? ? 之最小值为 a b c

解:考虑以下两组向量 ? ? u =( , , ) , v =( , , ) 4 9 16 2 3 4 ? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v ( ? a? ? b? ? c ) 2 ? ( ? ? )(a ? b ? c) a b c a b c 4 9 16 ? ( ? ? ).9 ? (2 ? 3 ? 4)2 ? 81 a b c 4 9 16 81 ? ? ? ? ?9 a b c 9

【14】 设 a, b, c 均为正数, a ? 2b ? 3c ? 2 , 、 且 则

1 2 3 ? ? 之最小值为________, 此时 a ? ________。 a b c

解:考虑以下两组向量 ? u =( , ,
? ? ?2 ?2 (u ? v ) 2 ? u ? v

)

? , v =(

,

,

)

1 2 2 3 ) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ] ? (1 ? 2 ? 3) 2 a b c 1 2 3 a 2b 3c ? ? ∴ ( ? ? ) ? 18 ,最小值为 18 等号发生于 u // v 故 ? ? a b c 1 2 3 a b c 1 ∴ a ? b ? c 又 a ? 2b ? 3c ? 2 ∴ a ? 3 [( a ) 2 ? ( 2b ) 2 ? ( 3c ) 2 ][(

? 【15】. 设空间向量 a 的方向为?,?,?,0 ? ?,?,? ? ?,csc2? ? 9 csc2? ? 25 csc2? 的最小值


解∵ ∴


sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2 由柯西不等式

(sin2? ? sin2? ? sin2?)[ (

1 2 3 2 5 2 ) ?( ) ?( ) ] ? (1 ? 3 ? 5)2 sin ? sin ? sin ?
81 2
∴ 故最小值为

2(csc2? ? 9csc2? ? 25csc2?) ? 81



csc2? ? 9csc2? ? 25csc2? ?

81 2

【注】本题亦可求 tan2? ? 9 tan2? ? 25tan2? 与 cot2? ? 9cot2? ? 25cot2? 之最小值,请自行练习。

? 【16】. 空间中一向量 a 与 x 轴,y 轴,z 轴正向之夹角依次为?,?,?(?,?,? 均非象限角) ,
3



1 4 9 的最小值。 ? ? 2 2 sin ? sin ? sin 2 ?
解 : 由柯西不等式

[( (

1 2 2 2 3 2 ) ?( ) ?( ) ](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? sin ? sin ? sin ?

1 2 3 ? sin ? ? ? sin ? ? ? sin ? ) 2 sin ? sin ? sin ? 1 4 9 ) ? ( 2 ) ? ( 2 )](sin2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? (1 ? 2 ? 3) 2 2 sin ? sin ? sin ?
∴ 2(

? (


sin2? ? sin2? ? sin2? ? 2

1 4 9 1 4 9 ? ? ) ? 36 ? ( 2 ? ? ) ? 18 2 2 2 2 sin ? sin ? sin ? sin ? sin ? sin 2 ?

1 4 9 的最小值 ? 18 ? ? 2 2 sin ? sin ? sin 2 ? ? 【17】.空间中一向量 a 的方向角分别为 ? , ? , ? ,求


9 25 16 ? 2 ? 2 的最小值。 2 sin ? sin ? sin ?

答 72 利用柯西不等式解之 【18】 设 x, y, z ? R,若 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ? 4 ,则 3x ? y ? 2 z 之范围为何?又 3x ? y ? 2 z 发生最 、 小值时, x ? ? 答案: [(x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? z 2 ][32 ? (?1) 2 ? (?2) 2 ] ? (3x ? 3 ? y ? 2 ? 2z) 2

4(14) ? (3x ? y ? 2 z ? 5) 2 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 5 ? 2 14 ? 3x ? y ? 2 z ? 5 ? 2 14 x ?1 y ? 2 z ? ? ? t ∴ 3(3t ? 1) ? (?t ? 2) ? 2(?2t ) ? 5 ? 2 14 若 3x ? y ? 2z ? 5 ? 2 14 又 3 ?1 ?2 3 14 14 ?1 ∴t ? ? ∴x ?? 7 7
【19】 设?ABC 之三边长 x,y,z 满足 x ? 2y + z = 0 及 3x + y ? 2z = 0,则?ABC 之最大角是多 少度? ?2 1 1 1 1 ?2 ? x ? 2y ? z ? 0 【解】 ? ? x:y:z = : : = 3:5:7 1 ?2 ?2 3 3 1 ?3x ? y ? 2 z ? 0
1 (3k ) 2 ? (5k ) 2 ? (7k ) 2 设三边长为 x = 3k,y = 5k,z = 7k 则最大角度之 cos? = = ? ,∴? = 120? 2 2(3k )(5k )

【20】. 设 x,y,z ? R 且

( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ? 1,求 x ? y ? z 之最大值,最小值。 16 5 4 Ans 最大值 7;最小值 ? 3

【解】
( x ? 1) 2 ( y ? 2) 2 ( z ? 3) 2 ? ? ?1 16 5 4 由柯西不等式知



4

? x ?1 2 y?2 2 z ?3 2 [42 ? ( 5 )2 ? 22] ?( ) ?( ) ?( ) 2 5 ? 4

? x ?1 y?2 ? ) ? 5.( ) ? 2. ?? ? ?4.( 4 5 ? ?

(

z ?3 ? ) 2 ? ?

2

? 25 ? 1 ? (x ? y ? z ? 2)2

? 5 ? |x ? y ? z ? 2|

? ?5?x?y?z?2?5 ∴ ?3?x?y?z?7 故 x ? y ? z 之最大值为 7,最小值为 ? 3

【21】. 求 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? 的最大值与最小值。 答. 最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【详解】
? ? 令向量 a ? (2sin?, 3 cos?,? cos?), b ? (1,sin?,cos?) ? ? ? ? 由柯西不等式 | a . b | ? | a || b |得

| 2sin? ? 3 cos? sin? ? cos? cos? | ? 4 sin 2 ? ? 3 cos2 ? ? cos2 ? ,
1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4(sin 2 ? ? cos 2 ? )(1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ) ? 2 2

所求最大值为 2 2 ,最小值为 ? 2 2 【22】△ABC 的三边长为 a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:
(a 2 ? b 2 ? c 2 )( sin A ? 1 1 1 ? ? ) ? 36 R 2 证明:由三角形中的正弦定理得 2 2 sin A sin B sin 2 C

1 4R 2 1 4R 2 1 4R 2 a ? 2 ,同理 ? 2 , ? 2 于是左边= ,所以 2R sin 2 A a sin 2 B b sin 2 C c
4R 2 4R 2 4R 2 2R 2R 2R 2 ? 2 ? 2 ) ? (a ? ?a? ?a? ) ? 36R 2 。 2 a b c a b c | Ax0 ? By0 ? C |

(a 2 ? b 2 ? c 2 )(

【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=

A2 ? B 2

.

证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得
2 2 (A2+B2[(x-x0)2+(y-y0)2] ) ≥ [A(x-x0)+B(y-y0)]= [(Ax+By)-(Ax0+By0)]=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.



x ? x0 y ? y 0 Ax ? By ? C | Ax0 ? By0 ? C | ? ? ? 0 2 02 时,取等号,由垂线段最短得 d= . A B A ?B A2 ? B 2

【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1 1 1 ? ? ≤λ 恒成立,求 λ 的范围. x? y y?z z?x

1 1 1 1 z 1 1 1 ? ? ? ( ? ? ? ≤ x ? y y ? z z ? x 2 xy 2 y z 2 zx 2 x ? y ? z

x ? x? y?z

y ) x? y?z

5

?

3 1 z x y 3 故 λ 的取值范围是[ ,+∞). (12 ? 12 ? 12 )( ? ? )? 2 2 x? y?z x? y?z x? y?z 2

温馨提示 本题主要应用了最值法,即不等式 化为求 f(x,y,z)=

1 1 1 1 1 1 ≤λ 恒成立,等价于( )max≤λ,问题转 ? ? ? ? x? y y?z z?x x? y y?z z?x

1 1 1 的最大值. ? ? x? y y?z z?x a?b?c 的值. x? y?z

【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式. 由柯西不等式等号成立的条件,知

a b c a?b?c =λ.因此只需求 λ 的值即可.由柯西不 ? ? =λ,再由等比定理,得 x y z x? y?z a b c ? ? =λ 时,上式等号成立. x y z

等式,得 302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25× 36,当且仅当 于是 a=λx,b=λy,c=λz,从而有 λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±

5 a b c 5 (舍负),即 ? ? ? . 6 x y z 6

竞赛欣赏
1 (1987 年 CMO 集训队试题)设 a, b, c ? R ? ,求证:
a5 ? b5 ? c5 ? a3bc ? b3ca ? c3ab

(2-10)

证明:因 a 2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ca ,由定理 1 有
a 4 b 4 c 4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 ? ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 此即(2-10)式。 bc ca ab bc ? ca ? ab

2 设 a, b, c ? R ? ,求证:

b2 c 2 a 2 ? ? ? 3(a 2 ? b2 ? c 2 ) a b c

证明:由均值不等式得 a3 ? c2a ? 2a2c, b3 ? a2b ? 2ab, c3 ? b2c ? 2bc2 ,故
2 a3 ? b3 ? c3 ? a2 b? b c 2 2? ? c a ( 2 ab ? 2

b? ) 2c a c

即 (a2 ? b2 ? c2 )(a ? b ? c) ? 3(ab2 ? bc2 ? ca2 ) . 又由柯西不等式知 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ,故 3(a 2 ? b 2 ? c 2 ) ? a ? b ? c 又由定理 1,得

a4 b4 c4 (a 2 ? b 2 ? c 2 ) 2 3(a 2 ? b2 ? c 2 )2 ? ? 原式右 原式左= 2 ? 2 ? 2 ? 2 a c b a c b bc ? ca 2 ? ab2 (a 2 ? b2 ? c 2 )(a ? b ? c)

6


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