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海南省嘉积中学2015届高三数学模拟测试试题(二)理


2014-2015 学年度第二学期海南省嘉积中学高三模拟测试(二) 高三年级数学科试题(理科)
(考试时间:120 分钟 欢迎你参加这次测试,祝你取得好成绩! 注意事项: 1、请考生把试题卷的答案写在答题卷上,并在方框内答题,答在框外不得分; 2、禁止考生使用计算器作答. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的)
2 1. 已知集合 A ? {x ?1≤ x ≤1} , B ? {x x ? 2 x ≤ 0} ,则 A ? B =

满分:150 分)

A. [0,1]

B. [?1, 2]

C. [?1, 0]

D. (??,1] ? [2, ??)

2. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 1 ? i B. ?1 ? i C.

2 ? z2 = z

2

D. 2

3. 运行如图所示的程序框图的相应程序. 为使输出的 S 为 判断框中填入的是 A. n ? 6 ? C. n ≤ 6 ? B. n ? 6 ? D. n ≤ 8 ?
2

11 ,则 12

4.已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数 f ( x) ? (a ? 2) x ? b 为增函数的概率是 A.

2 5

B.

3 5

C.

1 2

D.

3 10

5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.32 B.18 C.16 D.10

1

?x ? y ? 0 16 ? 6. 若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 表示的平面区域是面积为 的三角形,则 m 的值为 9 ?x ? m ?
A.

14 3

B. ?

2 3

C. ?

2 14 或 3 3

D. ?

3 2

7. 已知直线 y ? 2 2( x ?1) 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点,点 M (?1, m) ,若

MA ? MB ? 0 ,则 m ?
A.

2

B.

2 2

C.

1 2

D. 0

2 2 2 2 8. 设 {an } 是公差不为零的等差数列,满足 a4 ,则该数列的前 10 项和等于 ? a5 ? a6 ? a7

A. ? 10 9.计算定积分 A.

B. ? 5

C. 5

D. 0

?(
0

2

2 x ? x 2 ? x)dx ?
B. ? ? 2 C.
? ?

? ?4 2
?

? ?2 2
?

D. ? ? 4
? ? ?

10. 已知向量 a ? (?1,2) , b ? (3,?6) ,若 c 与 b 的夹角为 120 ,且 c (4 a ? b ) ? 5 ,则 c = A.1 B. 5 C.2 D. 2 5

?

?

11. 把正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A ? BD ? C ,则下列四个结论
? ① AC ? BD ;② ?ACD 是等边三角形;③ AB与平面CBD成60 角 ;

④ AB与CD所成角为45 ,其中正确的 结论个数是 A. 1 B. 2
3

?

C. 3

D. 4

12. 已知函数 f ( x) ? (a ? 3) x ? ax 在 [ ?1,1] 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 A. (??,?1] B. [12,??) C. [?2,12] D. [ ?

3 ,12 ] 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. 某中学推荐甲、乙、丙、丁 4 名同学参加 A、B、C 三所大学的自主招生考试,每名同学只 被推荐一所大学,每所大学至少有 1 名推荐名额,则不推荐甲同学到 A 大学的推荐方案有 种 14. 函数 y ?

? 1 3 sin x ? cos x ,其中 x ? [0, ] ,则此函数单调递增区间是__________ 2 2 2
2

15 . 我们把同时满足以下两个条件的函数 f ( x) 称为 M 函数: (1) 对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ≥ 0 ; (2) 当 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 ? x2 ≤1 时,总有 f ( x1 ? x2 ) ≥ f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立. ① f ( x) ? x2 ② f ( x) ? x2 ? 1 ③ f ( x) ? ln x 2 (填写编号)
n ( n ?1) 2

④ f ( x) ? 2 x ? 1

则以上四个函数中是 M 函数的有 16. 已知数列 {an } 满足 an ? an?1 ? n ? (?1) 且 a1b ? 0 ,则

, Sn 是其前 n 项和,若 S2015 ? ?1007? b ,

1 2 ? 的最小值为 a1 b

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)如图,在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场,游乐 场的前一部分边界为 曲线段 FGBC ,该曲线段是函数 y ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ∈( 0 , ? ) ) ,

x ?[?4,0] 的图象,图象的最高点为 B(?1,2) ,边界的中间部分为长 1千米的直线段 CD ,且
CD // EF .游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧
(Ⅰ)求曲线段 FGBC 的函数解析式; (Ⅱ)曲线段 FGBC 上的入口 G 距海岸线 EF 最近距离为 1千米,现准备从入口 G 修一条 笔直的景观路到 O ,求景观路 GO 长; (Ⅲ)如图,在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ ,平行四边形的一边在 海岸线 EF 上,一边在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及此时 ? 的值. 上,且∠ POE ? ? ,求 .

3

18. (本小题满分 12 分)某校学生 参加“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每个科 目成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级,分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,该校某学 生两科测试成绩的数据统计如图,其中“铅球”科目成绩为 E 的学生有 16 人.

(Ⅰ)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ) 若该班共有 10 人的两科成绩得分之和大于 7 分, 其中有 2 人 10 分, 2 人 9 分, 6 人 8 分. 从 这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 平面 PAD ? 平面 ABCD ,

PD ? PB , PA ? PD .
(Ⅰ)求证:平面 PCD ? 平面 PAB ;
? (Ⅱ)设是 E 棱 AB 的中点, ?PEC ? 90 , AB ? 2 ,求二面角 E ? PC ? B 的余弦值.

P

D

C

A

E

B

4

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,点 P 是椭圆上 2 a b 2

任意一点, F1、F2 分别是椭圆的左右焦点, ?PF 1 F2 的面积最大值为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)从圆 x2 ? y 2 ? 16 上一点 P 向椭圆 C 引两条切线 ,切点分别为 A, B ,当直线 AB 分别与

x 轴、 y 轴交于 M 、 N 两点时,求 MN 的最小值.

21. (本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , 2

x 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a . 2 4
(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) 求函数 g ( x) 的单调区; (Ⅲ) 我们定义: 如果 s 、 那么称 s 比 t 更靠近 r . 当 a ≥ 2 且 1 ? x ? e t 、r 满足 | s ? r |≤| t ? r | , 时,试比较

e x ?1 和 e ? a 哪个更靠近 ln x ,并说明理由. x

5

选做题:请考生在 22, 23, 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ) 求证: AD // OC ; (Ⅱ) 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值并写出此时 点 M 的坐标.

24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲
3 3 2 2 (Ⅰ) 已知 a , b 都是正数,且 a ? b ,求证: a ? b ? a b ? ab ;

(Ⅱ) 已知 a , b, c 都是正数,求证:

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ≥ abc . a?b?c

6

2014-2015 学年度第二学期高三模拟测试(二) 高三年级数学科答案(理科) 一、选择题 1-5 二、填空题 13、24 ACCBA 6-10 BBDCD 15、①④ 11-12 BD 16、 3 ? 2 2

14、 [0,

?
6

]

17、 解: (1)由已知条件,得 A=2, 又∵ 有 ∴曲线段 FBC 的解析式为 . (2)由
k

,又∵当 x=﹣1 时, ,

得,

x=6k+(﹣1) ﹣4(k∈Z) ,又∵x∈[﹣4,0],∴k=0,x= ﹣3, ∴G(﹣3,1) , (3)如图, , 作 PP1⊥x 轴于 P1 点,在 Rt△OPP1 中,PP1=OPsinθ =2sinθ , ;∴景观路 GO 长为 千米.

在△OMP 中,

=



∴OM=

=2cosθ ﹣

sinθ ,

SOMPQ=OM?PP1=(2cosθ ﹣ = sin(2θ + )﹣

sinθ )2sinθ ,θ ∈(0, ) ; (平方千米) .

当 2θ + = 时,即 θ = 时,平行四边形面积有最大值为 18、 (1)因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的考生有 16 人, 所以该班有 16 ? 0.2 ? 80 人 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为

7

80 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.150 ? 0.025) ? 6
(2)设两人成绩之和为 X ,则 X 的值可以为 16,17,18,19,20

P ( X ? 16) ?

1 1 1 1 2 C62 15 C6 C2 12 C6 C2 C2 13 , , ? P ( X ? 17) ? ? P ( X ? 18) ? ? ? 2 2 2 2 C10 45 C10 45 C10 C10 45

P ( X ? 19) ?

1 1 2 C2 C2 C2 4 1 , 所以 X 的分布列为 ? P ( X ? 20) ? ? 2 2 C10 45 C10 45

X P
所以 EX ? 16 ?

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5 86 所以 X 的数学期望为 5
19、 (1)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD I 平面 ABCD ? AD , AB ? AD 所以 AB ? 平面 PAD 又 PD ? 平面 PAD ,所以 PD ? AB 又 PD ? PB ,所以 PD⊥平面 PAB 而 PD ? 平面 PCD,故平面 PCD⊥平面 PAB (2)如图,建立空间直角坐标系 设 AD ? 2a ,则 A(a,0,0) , D(? a,0,0)

B(a, 2,0) , C (?a, 2,0) , P(0,0, a) , E (a,1,0) uur uuu r uur uuu r 2 EP ? (? a, ?1, a), EC ? (?2a,1,0) ,则 EP ? EC ? 0 得 a ? 2 uur uu u r 2 2 CE ? ( 2, ?1,0) , EP ? (? , ?1, ) 2 2 u r 设平面 PEC 的一个法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

u r uur ? ?n1 ? CP ? 0 ? ? 2 x1 ? y1 ? 0 由 ?u 得? r uur ? ? x1 ? 2 y1 ? z1 ? 0 ?n1 ? EP ? 0 ?
u r 令 x1 ? 1 ,则 n1 ? (1, 2,3)

uur uur u u r 2 2 CB ? ( 2,0,0) , CP ? ( , ?2, ) ,设平面 PEC 的一个法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 2 2

8

u u r uuu r ? u r ?n2 ? BC ? 0 ? ? x2 ? 0 由 ?u 得? ,令 y2 ? 1 ,则 n1 ? (0,1, 2 2) u r uur ? ? x2 ? 2 2 y2 ? z2 ? 0 ?n2 ? CP ? 0 ? u r u u r u r u u r | n1 ? n2 | 7 6 设二面角 E ? PC ? B 的大小为 ? ,则 cos ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? u r u u r ? | n1 | ? | n2 | 18
故二面角 E ? PC ? B 的余弦值为 20、解: (1)

7 6 18

1 c 3 2 2 2 ? 2c ? b ? 3 , e ? = , a ? b ? c ? a ? 2, b ? 1 , 2 a 2 2 x ? 椭圆 C 方程为 ? y 2 ? 1. 4 x2 ? y 2 ? 1 的切线,切点 (2)设点 P ( xp , y p ) 为圆 x2 ? y 2 ? 16 上一点, PA, PB 是椭圆 4 xx p ? yy p ? 1 . A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? 弦 AB 所在直线方程为 4

1 4 ? M (0, ) , N ( , 0) , yp xp
2 2 16 1 ? 16 1 ? x p ? y p ? MN ? 2 ? 2 = ? 2 ? 2 ? ? ? xp yp ? ? x p y p ? 16 2 ? 25 ? 1? y2 x2 y2 1 ? xp p p p ? = ? 2 ? 17 ? 16 ? 2 ? ? 17 ? 2 16 ? 2 ? 2 ? ? . 16 ? xp ? y p x p ? 16 ? yp ? 16 ? ? ? 2 2 xp yp 64 16 2 , yP 2 ? 时取等号, 当且仅当 2 ? 16 2 ,即 xP ? 5 5 yp xp 5 5 ? MN ? ,? MN 的最小值为 . 4 4 2 x ?2 0 ) 1 ? . 21、 解: (1)f '( x) ? f '(1)e 所以 f '(1) ? f '(1) ? 2 ? 2 f (0) , 即 f( ? 2x ? 2 f (0) , f ?(1) ?2 ?e , 又 f (0) ? 2 2 所以 f '(1) ? 2e ,所以 f ( x) ? e2 x ? x 2 ? 2 x . 2

(2)? f ( x) ? e2 x ? 2 x ? x 2 ,

x 1 1 1 ? g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? x 2 ? x ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? e x ? a( x ? 1) 2 4 4 4 x ? g ?( x) ? e ? a . ①当 a ≤ 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在 R 上单调递增;
②当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? e x ? a ? 0 得 x ? ln a ,

9

∴ x ? ? ??,ln a ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减; x ? ? ln a, ??? 时,

g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) ;当 a ? 0 时, 函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? ln a, ??? ,单调递减区间为 ? ??,ln a ? .
(3)解:设 p ( x) ?

e ? ln x, q ( x) ? e x ?1 ? a ? ln x , x

e 1 ? ? 0 ,? p( x) 在 [1, e] 上为减函数,又 p(e) ? 0 , x2 x ? 当 1 ? x ? e 时, p( x) ? 0 , 1 1 ? q '( x) ? e x ?1 ? , q ''( x) ? e x ?1 ? 2 ? 0 , x x ? q '( x) 在 [1, e] 上为增函数,又 q '(1) ? 0 , ? x ?[1, e] 时, q '( x) ? 0 ,? q( x) 在 [1, e] 上为增函数, ? q( x) ? q(1) ? a ? 2 ? 0 . e x ?1 当 1 ? x ? e 时, | p( x) | ? | q( x) |? p( x) ? q( x) ? ? e ? a , x e e x ?1 x ?1 设 m( x) ? ? e ? a ,则 m '( x) ? ? 2 ? e ? 0 , x x ? m( x) 在 [1, e] 上为减函数,? m( x) ? m(1) ? e ? 1 ? a , e ? a ? 2 ,? m( x) ? 0 ,? | p( x) |?| q( x) | ,? 比 e x ?1 ? a 更靠近 ln x . x ? BD ? OC , 又 AB 为直径, 22、 解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线, ? AD ? DB , AD // OC . (2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB , AD AB ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC ? x ? 3 ? 2 cos? 23、解: (1)圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ? 2 2 所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 . ? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 . | 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | (2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 2

? p '( x) ? ?

1 ? ?ABM 的面积 S ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以 ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 此时点 M 为 (3 ? 2 ,?4 ? 2 )
24、解: (1)证明: (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? (a ? b)(a ? b)2 . 因为 a , b 都是正数,所以 a ? b ? 0 .又因为 a ? b ,所以 (a ? b)2 ? 0 .

10

于是 (a ? b)(a ? b)2 ? 0 ,即 (a3 ? b3 ) ? (a2b ? ab2 ) ? 0 所以 a3 ? b3 ? a 2b ? ab2 ; (2)证明:因为 b2 ? c2 ? 2bc, a2 ? 0 ,所以 a2 (b2 ? c2 ) ? 2a 2bc . ① 同理 b2 (a 2 ? c2 ) ? 2ab2c . ②

c2 (a2 ? b2 ) ? 2abc2 . ③ ①②③相加得 2(a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ) ? 2a2bc ? 2ab2c ? 2abc2 从而 a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ? abc(a ? b ? c) .
由 a , b, c 都是正数,得 a ? b ? c ? 0 ,因此

a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc . a?b?c

11


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