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2015年全国高中数学联赛安徽省初赛带答案(纯word版)


2015 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2015 年 7 月 4 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? e ? x ,x ? R 的最小值是 2. 设 x1 ?

1,xn ? . . 2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器. 一 二 9 10 11 12 总分 xn?1 ? 1 ,n ? 2 .数列 {xn } 的通项公式是 xn ? 2 xn?1 ? 4 3. 设平面向量 ? , ? 满足 1 ? | ? |,| ? |,| ? ? ? | ? 3 ,则 ? ? ? 的取值范围是 . 4. 设 f ( x) 是定义域为 R 的具有周期 2? 的奇函数,并且 f (3) ? f (4) ? 0 ,则 f ( x) 在 [0,10] 中至少有 个零点. 5. 设 a 为实数,且关于 x 的方程 (a ? cos x)(a ? sin x) ? 1 有实根,则 a 的取值范围是 . 6. 给定定点 P(0,1) , 动点 Q 满足线段 PQ 的垂直平分线与抛物线 y ? x 2 相切,则 Q 的轨 迹方程是 . z ?i 的实 1? z 7. 设 z ? x ? yi 为复数,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,其满足 z 的虚部和 部均非负,则满足条件的复平面上的点集 ( x, y ) 所构成区域的面积是 . 8. 设 n 是正整数.把男女乒乓球选手各 3n 人配成男双、女双、混双各 n 对,每位选手 均不兼项,则配对方式总数是 . 二、解答题(第 9 题 20 分,第 10━12 题 22 分,共 86 分) 9. 设正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 .求证: a 2 ? 1 1 ? b2 ? ? 3 . a b 10. 在如图所示的多面体 ABCDEF 中,已知 AD, BE, CF 都与平面 ABC 垂直.设 AD ? a,BE ? b,CF ? c , AB ? AC ? BC ? 1 .求四面体 ABCE 与 BDEF 公共部 分的体积(用 a, b, c 表示) . 11. 设平面四边形 ABCD 的四边长分别为 4 个连续的正整数。证明:四边形 ABCD 的面 积的最大值不是整数。 12. 已知 31 位学生参加了某次考试, 考试共有 10 道题, 每位学生解出了至少 6 道题. 求 证:存在两位学生,他们解出的题目中至少有 5 道相同. 试题解答 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 当 x ? ?3 时, f(x ) ? ?2x ? 4 ? e?x ,f ? (x ) ? ?2 ? e?x ? 0 , 因此 f (x )单调减; 当 ? 3 ? x ? ?1 时, f(x ) ? 2 ? e?x , f ? (x ) ? ? e?x ? 0 ,此时 f ( x) 亦单调减; (x ) ? 0 得 x ? ? ln 2. 当 x ? ?1 时, f(x ) ? 2x ? 4 ? e?x , f ? (x ) ? 2 ? e?x . 令 f ? 因此 f ( x) 在 x ? ? ln 2 处取得最小值 6-2ln2. 2. 设 u ? a ? cos x,v ? a ? sin x . 方程有实根 ? 双曲线 uv ? 1 与圆

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