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数列求和—错位、裂项


广西灵山中学

苏焕贵

中央电视台的《开心辞典》栏目, 中央电视台的《开心辞典》栏目,有一次 的最后一题是: 给出一组数1, , , , 的最后一题是:“给出一组数 ,3,6,10, 15…,则第 个数是什么?”你认为第 个数 个数是什么? 你认为第7个数 ,则第7个数是什么 那么, 是 28 .那么,这组数之间的规律是 那么 这组数之

间的规律是——。 。

n(n+1) a2-a1=2 an= 2 a3-a2=3 a4-a3=4 … an-an-1=n an=1+2+3+…+n

求数列的前n项和,通常要掌握以下解法: 求数列的前 项和,通常要掌握以下解法: 项和

1、直接法 、 2、公式法 、 3、倒序相加法 、 4、错位相减法 、 5、分组求和法 、 6、裂项相消法 、

1.分组求和法: 分组求和法: 若数列 {an} 的通项可转化为 an = bn + cn {c 的形式,且数列 {bn } , n } 分别是等差或 等比数列,则可求出 {an} 前n项和 S n
练习: 练习: 求:1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23…的 、 的 项和. 前n项和 项和

2、求:1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23…的 、 、 的 项和. 前n项和 项和 1-2n =2n-1 an=1+2+22 +…+2n -1 = 1-2 Sn= 1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23) +… +(1+2+22 +…+2n -1) ( =(2-1)+(22 -1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n-1) =(2+22+23+…+2n)-n = 2n+1-n-2

错位相减法

例1、求和 、 * (n ∈ N ,2+3a3+…+nan a ≠ 0) a+2a 2 3
两式相减,得 两式相减,

解:记sn=a+2a +3a +…+(n-1)an-1+nan 则asn= a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
2+a3+…+an)-nan+1 (1-a)sn=(a+a
n(n + 1) 若 a=1, 则 sn=1+2+…+n= 2 a (1 ? a n ) na n +1 注意:q=1时的 注意: 时的s 。 时的 n。 ? 2 若a≠1, 则sn= (1 ? a) 1? a

数 列 求 和
1 练习. 练习.求数列 { n × n } 前n项和. 项和. 2 1 1 1 1 S 解: n =1× + 2× + 3× +LLLL+ n× n 2 4 8 2


错位相减法

1 1 (1? ) 1 1 1 1 1 1 2 2n n L ? n+1 两式相减: 两式相减: Sn = + ( + +L + n ) ? n× n+1 = 1 2 2 4 8 2 2 2 1? 1 n 1 n 2 ∴ S n = 2(1 ? n ? n +1 ) = 2 ? n ?1 ? n 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 Sn =1× +2× +3× +L (n?1 × n +n× n+1 + ) 2 4 8 16 2 2



解: 3

n

= n?

2

n

() 位 减 : 错 相 法 1 2 2 22 3 23 2 n ① Sn = ? + ? + ? + ? ? ? + n? 2 1 22 2 23 ( 1) 2 2 1 n n + Sn = ? + ? + ? ? ? + n? ? + n?
①– ②



?Sn = 2+2 +2 +???+2 ?n?2
2 3 n n

n+1

2(1?2 ) n+1 n+1 = ?n?2 =(1?n)2 ?2 1?2 n+1 ?Sn =(n?1)2 +2

2.错位相减法 错位相减法:设数列{bn }是公差为d 错位相减法 的等差数列(d不等于零),数列 {cn } 是公比为q的等比数列(q不等于1), a { 数列{an }满足: n = bn cn,则可求 an } 的 前n项和 S n

数 列 求 和
求下列数列前n项的和 例2.求下列数列前 项的和 n: 求下列数列前 项的和S

1 1 1 1 L L , , ,, , 1× 2 2 × 3 3 × 4 n(n + 1)
1 1 1 解: Q = ? n ? (n +1) n n +1
(裂项相消法) 裂项相消法)

1 1 1 1 1 1 1 ∴ S n = (1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 n +( ? ) = 1? = n n +1 n +1 n +1

1 1.已知an = , 求sn n(n + 2)

2.已知: an = 3n ? 1, 求 1 1 1 + +L + a1a2 a2 a3 an an +1

已知 a n

1 = , 求 sn n (n + 2 )

1 1 1 = ? n (n + 1 ) n n -1

1 1? 1 1 ? = ? ? ? (2n ? 1)(2n + 1) 2 ? 2n ? 1 2n + 1 ?
? 1 1? 1 1 = ? ? n(n + 1) ? (n + 1)(n + 2) ? ? n(n + 1)(n + 2) 2 ? ?

五、公式法求和: 公式法求和:
所给数列的通项是关于n的多 项式, 项式,此时求和可采用公式 法求和,常用的公式有: 法求和,常用的公式有: n 1 ∑ k = 1 + 2 + L + n = n (n + 1 )
k =1 n

2 1 2 2 2 2 ∑k = 1 + 2 +L+ n = 6 n(n + 1)(2n + 1) k =1
n 3 3 3 3

1 2 2 ∑ k = 1 + 2 + L+ n = 4 n (n + 1) k =1

一般数列求和方法总结: 一般数列求和方法总结 1、直接由等差、等比数列的求和公式求 、直接由等差、 注意等比时q=1,q≠1的讨论 的讨论. 和,注意等比时 的讨论 2、倒序相加法 、 3、错位相减法 、 4、裂项相消法 、 5、分组转化法 、


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