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2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江理科数学)(含word版答案)


2015 年浙江省高考试卷(理科数学) 选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、已知集合 P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(? RP)∩Q= A.[0,1) B.(0,2] C.( 1,2) D.[1,2]

2、

某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的体积是 A.8 cm3 B.12 cm3 C. 32 cm3

3

D. 40 cm3

3

3、已知{an}是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 Sn。 若 a3,a4,a8 成等比数列,则 A.a1d>0,dS4>0 B. a1d<0,dS4<0 C. a1d>0,dS4<0 D. a1d<0,dS4>0

4、命题“? n∈N*,f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定形式是 A. ? n∈N*,f(n)?N*且 f(n)>n C. ?n0∈N*,f(n0)?N*且 f(n0)>n0 B. ? n∈N*,f(n)?N*或 f(n)>n D. ?n0∈N*,f(n0)?N*或 f(n0)>n0

5、如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三 个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴 上,则△ BCF 与△ ACF 的面积之比为 A.

| BF | ?1 | AF | ?1 | BF | ?1 | AF | ?1

B.

| BF |2 ?1 | AF |2 ?1 | BF |2 ?1 | AF |2 ?1

C.

D.

6、设 A,B 是有限集,定义:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中 card(A)表示有限集 A 中元素的个数。 命题① :对任意有限集 A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件; 命题② :对任意有限集 A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C) A.命题① 和命题② 都成立 B. 命题① 和命题② 都不成立

C. 命题① 成立,命题② 不成立 7、存在函数 f(x)满足:对于任意 x∈R 都有 A.f(sin2x)=sinx B. f(sin2x)=x2+x

D. 命题① 不成立,命题② 成立

C.f(x2+1)=|x+1|

D. f(x2+2x)=|x+1|

8、如图,已知△ ABC,D 是 AB 的中点,沿直线 CD 将△ ACD 翻折成△ A′CD,所成二面角 A′-CD-B 的平面角为 α,则 A.∠ A′DB≤α C. ∠ A′CB≤α B. ∠ A′DB≥α D. ∠ A′CB≥α

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9、双曲线 x ? y 2 ? 1 的焦距是
2

2

,渐近线方程是

? x ? 2 ? 3, x ? 1, x ? 10、已知函数 f(x)= ? ,则 f(f(-3))= ?lg( x 2 ? 1), x ? 1, ?
11、函数 f(x)=sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 12、若 a=log43,则 2a+2 a=


,f(x)的最小值是

.

,单调递减区间是



13、如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2, 点 M,N 分别为 AD,BC 的中点,则异面直线 AN,CM 所成的 角的余弦值是 。

14、若实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 15、已知 e1,e2 是空间单位向量, e1· e2= 1 ,若空间向量 b 满足 b· e1=2,b· e2= 5 ,且对于

2

2

任意 x,y∈ R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈ R),则 x0= |b|= .

,y0=



三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明 、证明过程或演算步骤。 16、 (本题满分 14 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c。已知 A= ? ,

4

b2-a2= 1 c2.

2

(Ⅰ )求 tanC 的值; (Ⅱ )若△ ABC 的面积为 3,求 b 的值。

17 、 (本题满分 15 分)如图,在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, ∠ BAC=90° ,AB=AC=2,A1A=4,A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点,D 是 B1C1 的中点。 (Ⅰ )证明:A1D⊥ 平面 A1BC; (Ⅱ )求二面角 A1-BD-B1 的平面角的余弦值。

18、 (本题满分 15 分)设函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈ R).记 M(a,b)是|f(x)| 在区间[-1,1]上的 最大值。 (Ⅰ )证明:当|a|≥2 时,M(a,b) ≥2; (Ⅱ )当 a,b 满足 M(a,b) ≤2 时,求|a|+|b|的最大值。

19、 (本题满分 15 分)已知椭圆 x ? y 2 ? 1 上两个不同的点

2

2

A,B 关于直线 y=mx+ 1 对称。

2

(Ⅰ )求实数 m 的取值范围; (Ⅱ )求△ AOB 的面积的最大值(O 为坐标原点) 。

20、 (本题满分 15 分)已知数列{an}满足 a1= 1 且 an+1=an-an2(n∈ N*),

2

(Ⅰ )证明:1≤

an ≤2(n∈ N*); an ?1 S 1 1 (n∈ ? n ? N*)。 2(n ? 2) n 2(n ? 1)

(Ⅱ )设数列{an2}的前 n 项和为 Sn,证明:

2015 浙江数学(理科)试题参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. 2 3,y ? ? 12.

2 x 2
13.

10.0, 2 2 ? 3

11. π , [ π ? kπ, 14.3 15.1,2, 2 2

3 8

7 π ? kπ]( k ? Z) 8

4 3 3

7 8

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 16.本题主要考查三角函数及其变换、 正弦和余弦定理等基础知识, 同时考查运算求解能力。 满分 14 分。 (Ⅰ)由 b ? a ?
2 2

1 2 c 及正弦定理得 2 sin 2 B ? 1 1 ? sin 2 C , 2 2

所以

? cos 2 B ? sin 2 C π 3 又由 A ? ,即 B ? C ? ? ,得 4 4 ? cos 2 B ? sin 2C ? 2 sin C cos C ,
解得 (Ⅱ)由 tan C ? 2 , C ? (0, ? ) 得

tan C ? 2 .

sin C ?
又因为 sin B ? sin( A ? C ) ? sin(

?
4

2 5 5 . , cosC ? 5 5
? C ) ,所以

sin B ?
由正弦定理得

3 10 . 10

c?
又因为 A ?

2 2 b, 3

π 1 , bc sin A ? 3 ,所以 4 2 bc ? 6 2 ,



b ? 3. 17. 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力 和运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ)设 E 为 BC 的中点,由题意得 A1 E ? 平面 ABC ,所以 A1 E ? AE .
因为 AB ? AC ,所以 AE ? BC . 故 AE ? 平面 A1 BC .

由 D, E 分别为 B1C1 , BC 的中点,得

DE // B1 B 且 DE ? B1 B ,从而 DE // A1 A 且 DE ? A1 A , 所以 A1 AED 为平行四边形. 故 A1 D // AE . 又因为 AE ? 平面 A1 BC ,所以 A1 D ? 平面 A1 BC .
(Ⅱ)方法一: 作 A1 F ? BD 且 A1 F ? BD ? F ,连接 B1 F . 由 AE ? EB ?

2 , ?A1 EA ? ?A1 EB ? 30? , 得

A1 B ? A1 A ? 4 . 由 A1 D ? B1 D ,A1 B ? B1 B , 得△ A1 DB 与△ B1 DB
全等. 由 A1 F ? BD ,得 B1 F ? BD ,因此 ?A1 FB1 为二 面角 A1 ? BD ? B1 的平面角. 由 A1 D ?

2 , A1 B ? 4 , ?DA1 B ? 90? ,得 4 BD ? 3 2 , A1 F ? B1 F ? , 3
1 cos ?A1 FB1 ? ? . 8

由余弦定理得

方法二: 以 CB 的中点 E 为原点,分别以射线 EA, EB 为 x , y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 E ? xyz ,如图所示. 由题意知各点坐标如下:

A1 (0,0, 14) , B(0, 2 ,0) , D(? 2 ,0, 14) , B1 (? 2, 2, 14) .
因此

A1 B ? (0, 2,? 14) , BD ? (? 2,? 2, 14) , DB1 ? (0, 2 ,0) .
设 平 面 A1 BD 的 法 向 量 为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) , 平 面

B1 BD 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) .
由? 由?

? 2 y1 ? 14z1 ? 0, ?m ? A1 B ? 0, ? 即? 可取 m ? (0, 7 ,1) . ? ? 2 x ? 2 y ? 14 z ? 0 , m ? BD ? 0 , 1 1 1 ? ?

? 2 y 2 ? 0, ?n ? DB1 ? 0, ? 即? 可取 n ? ( 7 ,0,1) . ? ? 2 x ? 2 y ? 14 z ? 0 , n ? BD ? 0 , 2 2 2 ? ?

于是

cos ? m, n ? ?

m?n m?n

?

1 . 8

由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角 A1 ? BD ? B1 的平面角的余弦 值为 ?

1 . 8

18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推 理论证能力,分析问题能力和解决问题的能力。满分 15 分。 (Ⅰ)由 f ( x) ? ( x ?

a a 2 a2 ) ?b? ,得对称轴为直线 x ? ? . 2 2 4 a 由 a ? 2 ,得 ? ? 1 ,故 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调,所以 2 M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1) } .
当 a ? 2 时,由 f (1) ? f (?1) ? 2a ? 4 , 得 即

max{f (1),? f (?1)} ? 2 . M (a, b) ? 2
当 a ? ?2 时,由 f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 4 ,

得 即

max{f (?1),? f (1)} ? 2 . M (a, b) ? 2 .
综上,当 a ? 2 时, M (a, b) ? 2 .

(Ⅱ)由 M (a, b) ? 2 得

1 ? a ? b ? f (1) ? 2 , 1 ? a ? b ? f (?1) ? 2 ,
故 由 a ?b ??

a ? b ? 3 , a ? b ? 3,
? a ? b , ab ? 0, ? a ? b , ab ? 0,
得 a ? b ? 3.

2 当 a ? 2, b ? ?1时, a ? b ? 3 ,且 x ? 2 x ? 1 在 [ ?1,1] 上的最大值为 2,

即 M (2,?1) ? 2 ,所以 a ? b 的最大值为 3. 19.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几 何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ)由题意得 m ? 0 ,可设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ?b. m

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由 ? 2 1 ? y ? ? x ? b, m ? 1 1 2 2b ( ? 2 )x ? x ? b2 ?1 ? 0 . 消去 y ,得 2 m m 2 1 x ? y 2 ? 1 有两个不同的交点,所以 因为直线 y ? ? x ? b 与椭圆 m 2 4 ? ? ?2b 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ① m 2 1 2m b m b , 2 ) 代入直线方程 y ? mx ? 解得 将 AB 中点 M ( 2 2 m ?2 m ?2 2 m ?2 b?? . ② 2m 2 6 6 由①②得 或m ? . m?? 3 3 1 6 6 (Ⅱ)令 t ? ? (? ,0) ? (0, ) ,则 m 2 2 3 ? 2t 4 ? 2t 2 ? 2 AB ? t 2 ? 1 ? , 1 2 t ? 2 1 t2 ? 2 . d? 且 O 到直线 AB 的距离 2 t ?1 设△ AOB 的面积为 S (t ) ,所以
S (t ) ?
当且仅当 t ?
2

1 1 1 2 , AB ? d ? ? 2(t 2 ? ) 2 ? 2 ? 2 2 2 2

1 时,等号成立. 2

故△ AOB 的面积的最大值为

2 . 2

20.本题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证 能力,分析问题和解决问题的能力。满分 15 分。
2 (Ⅰ)由题意得 an?1 ? an ? ?an ? 0 ,即 an?1 ? an ,故 a n ?

1 , 2 由 an ? (1 ? an?1 )an?1 得 an ? (1 ? an?1 )(1 ? an?2 )?(1 ? a1 )a1 ? 0 ,
由 0 ? an ?

1 得 2

an an 1 ? ? ? [1,2] , 2 a n?1 a n ? a n 1 ? an



1?

an ? 2. a n?1


2 (Ⅱ)由题意得 an ? an ? an?1 ,所以 S n ? a1 ? an?1 ,

a a 1 1 1 1 ? ? 2, ? ? n 和1 ? n ? 2 得1 ? a n?1 a n an?1 an an?1 a n?1 1 1 所以 n? ? ? 2n , a n?1 a1 1 1 因此 ② ? a n ?1 ? (n ? N ? ) , 2(n ? 1) n?2 S 1 1 由①②得 ? n ? (n ? N ? ) . 2(n ? 2) n 2(n ? 1)



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