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幂函数的复习学案


幂函数期末复习学案
1 1 2 3 导学目标: 1.了解幂函数的概念.2.结合函数 y=x,y=x ,y=x ,y= ,y=x 的图 x 2 象,了解它们的单调性和奇偶性. 自主梳理 1.幂函数的概念 形 如________的函数叫做幂函数,其中____是自变量,____是常数. 2.幂函数的性质 (1 )五种常见幂函数的性质,列表如下: 定义域 值域 奇偶性 单调性

y=x R R 奇

过定点

y=x2 y=x
3

R R [0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)

[0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞)

偶 奇 非奇 非偶 奇

[0,+∞) (-∞,0] (1,1) [0,+∞) (-∞,0)

1 Y=x 2

(0,+∞) (2)所有幂函数在________ 上都有定义,并且图象都过点(1,1),且在第____象限无图 象. (3)α >0 时,幂函数的图象通过点____________,并且在区间(0,+∞)上是________, α <0 时,幂函数在(0,+∞)上是减函数,图象______原点. 自我检测 1 n 1.如图中曲线是幂函数 y=x 在第一象限的图象.已知 n 取±2,± 四个值,则相应 2 于曲线 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为________________.

Y=x-1

1 x -1 2.已知函数:①y=2 ;②y=log2x;③y=x ;④y=x .则下列函数图象(在第一象限 2 部 分 ) 从 左 到 右 依 次 与 函 数 序 号 的 正 确 对 应 顺 序 是 _____________________________________.

1

1 α 3.设 α ∈{-1,1, ,3},则使函数 y=x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为 2 ________. 4.与函数 y=

x 的图象形状一样的是________(填序号). x+1 x

1 x ①y=2 ;②y=log2x;③y= ;④y=x+1. 5.已知点( 3 ,3 3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)的表达式是____________. 3

探究点一 幂函数的定义与图象 1 例 1 已知幂函数 f(x)的图象过点( 2,2),幂函数 g(x)的图象过点(2, ). 4 (1)求 f(x),g(x)的解析式; (2)求当 x 为何值时:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)<g(x).

1 变式迁移 1 若点( 2, 2)在幂函数 f(x)的图象上, 点(-2, )在幂函数 g(x)的图象上, 4 定义 h(x)=?
? ?f ?g ?

x ,f x

g x ,

x ,f x g x , 试求函数 h(x)的最大值以及单调区间.

探究点二 幂函数的单调性 例 2 比较下列各题中值的大小. 0.8, 0.7 (1)3 3 ; 3, 3 (2)0.21 0.23 ; (3) 2 , 1.8 ; (4) 4.1 , 3.8
2 5 ? 2 3
1 2

1 3

和 ( ?1.9) .

3 5

变式迁移 2 (1)比较下列各组值的大小: ① ?8
? 1 3

________ ?( ) 3 ;
0.3

1 9

1

②0.2 ________0.4 . 1.3 m 0.7 m (2)已知(0.7 ) <(1.3 ) ,则 m 的取值范围为_____________________________. 探究点三 幂函数的综合应用 2 * 例 3 (2010·葫芦岛模拟)已知函数 f(x)=xm -2m-3(m∈N )的图象关于 y 轴对称, 且 在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1)- <(3-2a)- 的 a 的范围. 3 3

0.5

m

m

2

变式迁移 3 已知幂函数 f(x)= x( m ?m) (m∈N ). (1)试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域 上的单调性; (2)若该函数还经过点(2, 2),试确定 m 的值,并求满足条件 f(2-a)>f(a-1)的实数 a 的取值范围.
*

2

?1

课堂小结: α 1.幂函数 y=x (α ∈R),其中 α 为常数,其本质特征是以幂的底 x 为自变量,指数 α 为常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴 (简记为“指大图低”),在 (1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.幂函数的图象一定会出现在第一 象限内, 一定不会出现在第四象限内, 至于是否出现在第二、 三象限内, 要看函数的奇偶性; 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内; 如果幂函数的图象与坐标轴相交, 则交点一 定是原点. (满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1 =3,则 f( )的值为________. 2 1 n 1 n 2.已 知 n∈{-1,0,1,2,3},若(- ) >(- ) ,则 n=________. 2 5 3.下列函数图象中,正确的序号有________. 1.若函数 f(x)是幂函数,且满足

f f

2 3 2 3 5 2 5 2 5 4.(2010·安徽改编)设 a= ( ) ,b= ( ) ,c= ( ) ,则 a,b,c 的大小关系为 5 5 5

____________. 5.下列命题中正确的是________(填序号). ①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0);
3

②幂函数的图象不可能在第四象限; n ③当 n=0 时,函数 y=x 的图象是一条直线; n ④幂函数 y=x 当 n>0 时是增函数; n ⑤幂函数 y=x 当 n<0 时在第一象限内函数值随 x 值的增大而减小. 6.(2011·徐州模拟)若幂函数 y= (m2 ? 3m ? 3) xm 的值为________.
α
2

?m?2

的图象不经过原点,则实数 m

7.已知 a=x ,b= x ,c= x ,x∈(0,1),α ∈(0,1),则 a,b,c 的大小顺序是 ______________. α 8.已知函数 f(x)=x (0<α <1),对于下列命题:①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x<1, 则 0<f(x)<1;③当 x>0 时,若 f(x1)>f(x2),则 x1>x2;④若 0<x1<x2,则

? 2

1 ?

f x1 f x2 < . x1 x2

其中正确的命题序号是______________. 二、解答题(共 42 分) 9. (14 分)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为最小正周期的周期函数. 当-1≤x<1 时, y=f(x) 1 1 的表达式是幂函数,且经过点( , ).求函数在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表达式. 2 8

1

10.(14 分)已知 f(x)= x 2 等式 f(x -x)>f(x+3).

? n2 ? 2 n ?3

(n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单调递增,解不

11.(14 分)(2011·苏州模拟)已知函数 f(x)= x (k∈Z)满足 f(2)<f(3). (1)求 k 的值并求出相应的 f(x)的解析式; (2)对于(1)中得到的函数 f(x),试判断是否存在 q>0,使函数 g(x)=1-qf(x)+(2q- 17 1)x 在区间[-1,2]上的值域为[-4, ]?若存在,求出 q;若不存在,请说明理由. 8

?k 2 ?k ?2

答案 自主梳理 α 1.y=x x α 2.(2)(0,+∞) 四 (3)(0,0),(1,1) 增函数 不过 自我检测 1 1 1.2, ,- ,-2 2 2 解析 方法一 由幂函数的图象与性质, n<0 时不过原点, 故 C3, C4 对应的 n 值均为负, C1,C2 对应的 n 值均为正; 由增(减)快慢知 n(c1)>n(c2)>n(c3)>n(c4). 1 1 故 C1,C2,C3,C4 的 n 值依次为 2, ,- ,-2. 2 2 方法二 作直线 x=2 分别交 C1,C2,C3,C4 于点 A1,A2,A3,A4,则其对应点的纵坐标 显然为 2 , 2 , 2
2
1 2 ? 1 2

1 1 -2 ,2 ,故 n 值分别为 2, ,- ,-2. 2 2
4

2.④③①② 解析 第一个图象过点(0,0),与④对应;第二个图象为反比例函数图象,表达式为 y = ,③y=x 恰好符合,∴第二个图象对应③; 第三个图象为指数函数图象,表达式为 y=a ,且 a>1,①y=2 恰好符合,∴第三个图 象对应①; 第四个图象为对数函数图象,表达式为 y=logax,且 a>1,②y=log2x 恰好符合,∴第 四个图象对应②. ∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②. 3.1,3 4.③ -3 5.f(x)=x 课堂活动区 α 例 1 解 (1)设 f(x)= x , α ∵图象过点( 2,2),故 2=( 2) , 2 解得 α =2,∴f(x)=x . 1 β 设 g(x)=x ,∵图象 过点(2, ), 4 1 β ∴ =2 ,解得 β =-2. 4 -2 ∴g(x)=x . 2 -2 (2)在同一坐标系下作出 f(x)=x 与 g(x)=x 的图象,如图所示.
x x

k x

-1

由图象可知,f(x),g(x)的图象均过点(-1,1)和(1,1). ∴①当 x>1,或 x<-1 时, f(x)>g(x); ②当 x=1,或 x=-1 时,f(x)=g(x); ③当-1<x<1 且 x≠0 时,f(x)<g(x). 变式迁移 1 解 求 f(x),g(x)解析式及作出 f(x),g(x)的图象同例 1, 如例 1 图所示, -2 ? ?x ,x<-1或x>1, 则有:h(x)=? 2 ?x ,-1≤x≤1. ? 根据图象可知函数 h(x)的最大值为 1,单调增区间为(-∞,-1)和(0,1);单调减区间 为(-1,0)和(1,+∞). 例 2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同,还是指数相同,若底数 相同,利用指数函数的性质;若指数相同,利用幂函数的性质;若底数、指数皆不相同,考 虑用中间值法,常用 0 和 1“搭桥”进行分组. x 0.8 0.7 解 (1)函数 y=3 是增函数,∴3 >3 . 3 3 3 (2)函数 y=x 是增函数,∴0.21 <0.23 . (3)∵ 2 2 ? 1.8 2 ? 1.8 3 , ∴ 2 2 ? 1.8 3 . (4) 4.15 ? 15 =1;0< 3.8
3 3
2 2 ? 2 3 1 1 2 1 1 1

? 1 3 =1;
? 2 3

?

(?1.9) 5 <0,∴ (?1.9) 5 < 3.8

? 4.15 .
5

2

变式迁移 2 (1)①< ②< (2)m>0 1.3 解析 根据幂函数 y=x 的图象, 1.3 当 0<x<1 时,0<y<1,∴0<0.7 <1. 0.7 又根据幂函数 y=x 的图象, 0.7 当 x>1 时,y>1,∴1.3 >1. 1.3 0.7 于是有 0.7 <1.3 . m 1.3 m 0.7 m 对于幂函数 y=x ,由(0.7 ) <(1.3 ) 知,当 x>0 时,随着 x 的增大,函数值也增大, ∴m>0. 例 3 解 ∵函数 f(x)在(0,+∞)上递减, 2 ∴m -2m-3<0,解得-1<m<3. * ∵m∈N ,∴m=1,2. 又函数的图象关于 y 轴对称, 2 ∴m -2m-3 是偶数, 2 而 2 -2×2-3=-3 为奇数, 2 1 -2×1-3=-4 为偶数, ∴m=1. 而 y= x
? 1 3

在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数,
? 1

∴ (a ? 1) ? (3 ? 2a) 3 等价于 a+1>3-2a>0, 或 0>a+1>3-2a,或 a+1<0<3-2a, 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3 故 a 的范围为{a|a<-1 或 <a< }. 3 2 2 * 变式迁移 3 解 (1)m +m=m(m+1),m∈N , 而 m 与 m+1 中必有一个为偶数, ∴m(m+1)为偶数. 2 -1 * ∴函数 f(x)=x(m +m) (m∈N )的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数. (2)∵函数 f(x)经过点(2, 2), 1 2 -1 2 -1 ∴ 2=2(m +m) ,即 2 =2(m +m) . 2 2 ∴m +m=2. * 解得 m=1 或 m=-2.又∵m∈N ,∴m=1. 2-a≥0, ? ? 由 f(2-a)>f(a-1)得?a-1≥0, ? ?2-a>a-1. 3 3 解得 1≤a< .∴a 的取值范围 为[1, ). 2 2 课后练习区 1 1. 3 α 解析 依题意设 f(x)=x (α ∈R), α 4 α 则有 α =3,即 2 =3,得 α =log23, 2 则 f(x)= x
log 2 3
log 2 1 log 3 1 1 ? log 3 ,于是 f( )= ( ) 2 = 2 2 ? 2 3 = . 2 3 2 1

1 ? 3

2.-1 或 2 解析 可以逐一进行检验,也可利用幂函数的单调性求解.
6

3.③ 解析 对①、②,由 y=x+a 知 a>1,可知①、②图象不正确; x ③④中由 y=x+a 知 0<a<1,∴y=a 和 y=logax 应为减函数,④错,③对. 4.a>c>b
2

解析 ∵y= x 5 在 x∈(0,+∞)上单调递增, ∴ ( ) 5 ? ( ) 5 ,即 a>c, 2 x ∵y=( ) 在 x∈(-∞,+∞)上单调递减, 5
2 3 2 5 2 5 ∴ ( ) ? ( ) ,即 c>b,∴a>c>b. 5 5

3 5

2

2 5

2

5.②⑤ 6.1 或 2 解析
?m -3m+3=1 ? 由? 2 ?m -m-2≤0 ?
2

解得 m=1 或 2.

经检验 m=1 或 2 都适合. 7.c<a<b 1 α 解析 ∵α ∈(0,1),∴ >α > . α 2 1 α α 又∵x∈(0,1),∴x <x <x ,即 c<a<b. α 2 8.①②③ α 解析 作出 y=x (0<α <1)在第一象限内的图象,如图所示,

可判定①②③正确,

f x 表示图象上的点与原点连线的斜率, x f x1 f x2 当 0<x1<x2 时应有 > , x1 x2
又 故④错. n 9.解 设在[-1,1 )中,f(x)=x , 1 1 由点( , )在函数图象上,求得 n=3.??????? ????????????(5 2 8 分) 令 x∈[2k-1,2k+1),则 x-2k∈[-1,1), 3 ∴f(x - 2k) = (x - 2k) . ?????????????????????????? (10 分) 3 又 f(x)周期为 2,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k) . 3 即 f(x)=(x-2k) (k∈Z).????????????????????????(14 分) 1 10.解 由条件知 2 >0, -n +2n+3
7

-n +2n+3>0, 解得-1<n<3.??????????????????????(4 分) 又 n=2k,k∈Z,∴n=0,2. 1 当 n=0,2 时,f(x)=x , 3 ∴f(x)在 R 上单调递增.?????????????????????????(10 分) ∴f(x -x)>f(x+3)转化为 x -x>x+3. 解得 x<-1 或 x>3. ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).???????????????(14 分) 11.解 (1)∵f(2)<f(3), ∴f(x)在第一象限是增函数. 2 故-k +k+2>0,解得-1<k<2. 又∵k∈Z,∴k=0 或 k=1. 2 当 k=0 或 k=1 时,-k +k+2=2, 2 ∴f(x)=x .???????????????????????????????(6 分) (2)假设存在 q>0 满足题设,由(1)知 g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2]. 2q-1 4q +1 ∵g(2)=-1,∴两个最值点只能在端点(-1,g(-1))和顶点( , )处取得. 2q 4q ??????????????????????????????????? (8 分) 4q +1 4q +1 q- -g(-1)= -(2-3q)= ≥0, 4q 4q 4q 2 4q +1 17 ∴g(x)max= = , ????????????????????????(12 分) 4q 8 g(x) min=g(-1)=2-3q=-4. 解得 q=2.∴存在 q=2 满足题意.????????????????????(14 而 分)
2 2 2 2 2 2

2

8


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