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第一章1.2.3空间中的垂直关系1教案学生版


1.2.3

空间中的垂直关系(一)

【学习要求】 1.理解直线与平面垂直的定义. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理及其性质定理. 3.会应用两定理解决问题. 【学法指导】 借助对实例、图片的观察,提炼直线与平面垂直的定义;通过直观感知,操作确认,归纳直线与平面垂直的判定定 理及性质定理;通过运用两定理感悟和体验线面垂直转化为线线垂直的思

想方法. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.如果两条直线相交于一点或经过 平移后 相交于一点,并且交角为 直角 ,则称这两条直线互相垂直. 2.如果一条直线 AB 和一个平面 α 相交于点 O,并且和这个平面内过交点 O 的任何直线都垂直,我们就说这条直 线和这个平面互相垂直.这条直线叫做 平面的垂线 ,这个平面叫做 直线得垂面 ,交点叫做 垂足 , 垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个 点到平面的距 离 . 3.线面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内的 两条相交 直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 4.线面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 平行 . 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 生活中处处都有直线和平面垂直的例子,如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理,那 么判断线面垂直又有什么好办法呢?本节我们就来研究这一问题. 探究点一 直线与平面垂直的定义 问题 1 你能举出在日常生活中给人以直线与平面垂直的例子吗? 问题 2 在平面内,如果两条直线互相垂直,则它们一定相交.在空间中,两条互相垂直的直线也一定相交吗?你 能举例说明吗?

问题 3 在平面中,到线段 AB 两端距离相等点的集合是线段的垂直平分线,在空间中,线段 AB 的垂直平分线有 多少条?AB 的这些垂直平分线构成的集合是怎样的图形?

问题 4 结合对下列问题的思考,试着说明直线和平面垂直的意义.(1)如图,阳光下直立 于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 的位置关系是什么?随着太阳的移动, 旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会发生改变吗? (2)旗杆 AB 与地面上任意一条不过旗杆底部 B 的直线 B′C′的位置关系又是什么?依据是什 么?由此得到什么结论?

问题 5 通过上述分析,你认为应该如何定义一条直线与一个平面垂直?

问题 6 如何画直线与平面垂直?如何用符号表示直线与平面垂直?

问题 7 若直线与平面内的无数条直线垂直,则直线垂直于平面吗?如不是,直线与平面的位置关系如何? 探究点二 直线与平面垂直的判定定理 问题 1 通常定义可以作为判定的依据,那么用上述定义判定直线与平面垂直是否方便?为什么? 问题 2 请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所示的试验: 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在 桌面上(BD、DC 与桌面接触),问:折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能 保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直?

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问题 3 由折痕 AD⊥BC,翻折之后垂直关系不变,即 AD⊥CD,AD⊥BD.由此你能得到什么结论? 问题 4 如图,把 AD、BD、CD 抽象为直线 l、m、n ,把桌面抽象为平面 α,l 与 α 垂直的条件是什么?

问题 5 如图,若 α 内两条相交直线 m、n 与 l 无公共点且 l⊥m、l⊥n,我们可以把直 线 l 平移到交点处,由此你能给出判定直线与平面垂直的方法吗? 问题 6 如何用符号语言表示直线与平面垂直的判定定理?

例 1 已知:a∥b,a⊥α.求证:b⊥α.

跟踪训练 1 已知:直线 l⊥平面 α,直线 m⊥平面 α,垂足分别为 A、B,如图,求证:l∥m.

例 2 过一点和已知平面垂直的直线只有一条.已知:平面 α 和一点 P(如下图). 求证:过点 P 与平面 α 垂直的直线只有一条.

跟踪训练 2 已知:直线 l⊥平面 α,垂足为 A,直线 AP⊥l. 求证:AP 在平面 α 内.

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例 3 有一根旗杆高 8 m(如图),在它的顶点处系两条长 10 m 的绳子,拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两 点(与旗杆脚不在同一条直线上).如果这两点与旗杆脚距 6 m,那么旗杆就与地面垂直,为什么?

跟踪训练 3 如图,直四棱柱 A′B′C′D′—ABCD 中,底面四边形满足什么条件时,A′C⊥B′D′?为什么?

练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是 ( ) A.a⊥β B.a∥β C.a?β D.a?β 或 a∥β 2.直线 l⊥平面 α,直线 m?α,则 l 与 m 不可能( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直 3.如图所示,AF⊥平面 ABCD,DE⊥平面 ABCD,且 AF=DE,AD=6,则 EF=________.

课堂小结: 1.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论:①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α;②若 α∥β,a⊥α,则 a⊥β. 2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相 互转化,即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行. 3.“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题.但“垂直于同一直 线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题.

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