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2015-2016学年湖南省长沙市名校联盟高一(上)暑假测试数学试卷


2015-2016 学年湖南省长沙市名校联盟高一(上)暑假测试数学 试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=( A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 )

2.下列命题中,错误的个数有( )个 ①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的

两个平面平行. ③一个平面与两个平行平面相交,交线平行. ④一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 3.已知圆 与圆 相交,则圆 C1

与圆 C2 的公共弦所在的直线的方程为( ) A. x+2y+1=0 B. x+2y﹣1=0 C. x﹣2y+1=0 D. x﹣2y﹣1=0 4.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 5.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数,则 f(﹣2) ,f(π) , f(﹣3)的大小关系是( ) A. f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) B. f(π)>f(﹣2)>f(﹣3) C. f(π)<f(﹣ 3)<f(﹣2) D. f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) 6.y= A. cosα+ sinα 的最大值为( B. C. 1 D. 2 )

7.若任取 x1、x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 f(

)>

成立,则称 )

f(x) 是[a,b]上的凸函数.试问:在下列图象中,是凸函数图象的为(

A.

B.

α C.

D.

8.已知 n 次多项式 f(x)=anx +an﹣1x +…+a1x+a0,用秦九韶算法求当 x=x0 时 f(x0)的 值,需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是( ) A. n,n B. 2n,n C. ,n D. n+1,n+1

n

n﹣1

9.设向量 与 的夹角为 θ,定义 与 的“向量积”: ,若 ( ) A.

是一个向量,它的模 ,则 =

B. 2 C.

D. 4
n﹣1

10.已知等比数列{an}中,an=2×3 的值为( )
n n

,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn

A. 3 ﹣1? B. 3(3 ﹣1)? C.

? D.

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.函数 的定义域为 . 12.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱锥 A1﹣ABCD 的体积与长方体的体积之比 为 .

13.按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是



14. 已知函数 ( f x) =sin (x+θ) +cos (x+θ) 是偶函数, 且 θ∈[0, ], 则 θ 的值为



15. 在三角形 ABC 中, 已知 A=60°, b=1, 其面积为

, 则

=



三、解答题(共 75 分) 16. (12 分) (2008?北京)已知函数 f(x)=sin ωx+ 正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
2

sinωxsin(ωx+

) (ω>0)的最小

17. (12 分) (2012?秦州区校级学业考试)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥底面 ABC, AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 PAC; (2)求证:AB⊥PB; (3)若 PC=BC,求二面角 P﹣AB﹣C 的大小.

18. (12 分) (2012?秦州区校级学业考试)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. 19. (13 分) (2007?湖南)已知函数 , .

(Ⅰ)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 20. (13 分) (2015 秋?长沙月考)设关于 x 的一元二次方程 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )有两 根 α 和 β,且满足 6α﹣2αβ+6β=3. (Ⅰ)试用 an 表示 an+1; (Ⅱ)求证:数列 是等比数列;
2 *

(Ⅲ)当 a1= 时,求数列{an}的通项公式,并求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

21. (13 分) (2008 秋?长春期末)已知 f(x)=x(x﹣a) (x﹣b) ,点 A(s,f(s) ) ,B(t, f(t) ) . (Ⅰ)若 a=b=1,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的导函数 f'(x)满足:当|x|≤1 时,有|f'(x)|≤ 恒成立,求函数 f(x) 的解析表达式; (Ⅲ)若 0<a<b,函数 f(x)在 x=s 和 x=t 处取得极值,且 可能垂直. ,证明: 与 不

2015-2016 学年湖南省长沙市名校联盟高一(上)暑假测 试数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知{an}是等差数列,且 a2+a3+a10+a11=48,则 a6+a7=( A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 考点: 专题: 分析: 解答:



等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 利用等差数列的性质可得:a2+a11=a3+a10=a6+a7.代入已知即可得出. 解:∵{an}是等差数列,

∴a2+a11=a3+a10=a6+a7. 又 a2+a3+a10+a11=48, ∴2(a6+a7)=48,解得 a6+a7=24. 故选 D. 点评: 本题考查了等差数列的性质,属于基础题. 2.下列命题中,错误的个数有( )个 ①平行于同一条直线的两个平面平行. ②平行于同一个平面的两个平面平行. ③一个平面与两个平行平面相交,交线平行. ④一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用面面平行的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答. 解答: 解:对于①,平行于同一条直线的两个平面可能相交,故①错误. 对于②, 平行于同一个平面的两个平面根据面面平行的性质定理和判定定理可以得到平行, 故②正确. 对于③,一个平面与两个平行平面相交,交线平行;满足面面平行的性质定理,故③正确. 对于④,一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交,故④正确. 故选:B. 点评: 本题考查了面面平行的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理的条件是关键. 3.已知圆 与圆 相交,则圆 C1

与圆 C2 的公共弦所在的直线的方程为( ) A. x+2y+1=0 B. x+2y﹣1=0 C. x﹣2y+1=0 D. x﹣2y﹣1=0 考点: 相交弦所在直线的方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程. 解答: 解: 由题意, ∵圆 与圆 相

交, ∴两圆的方程作差得 6x+12y﹣6=0, 即公式弦所在直线方程为 x+2y﹣1=0 故选 B. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系,两圆相交弦所在直线方程的求法,注意 x,y 的二次项 的系数必须相同,属于基础题. 4.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 欲使得三棱锥体积最大,因为三棱锥底面积一定,只须三棱锥的高最大即可,即当 平面 BAC⊥平面 DAC 时,三棱锥体积最大,计算可得答案. 解答: 解:如图,当平面 BAC⊥平面 DAC 时,三棱锥体积最大 取 AC 的中点 E,则 BE⊥平面 DAC, 故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为∠DBE cos∠DBE= ∴∠DBE=45°. 故选 C. ,

点评: 本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力,属于基础题. 5.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数,则 f(﹣2) ,f(π) , f(﹣3)的大小关系是( ) A. f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) B. f(π)>f(﹣2)>f(﹣3) C. f(π)<f(﹣ 3)<f(﹣2) D. f(π)<f(﹣2)<f(﹣3) 考点: 偶函数;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由偶函数的性质,知若 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数则 x∈(﹣∞,0)时 f(x)是 减函数,此函数的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,故比较三式大小的问 题,转化成比较三式中自变量﹣2,﹣3,π 的绝对值大小的问题. 解答: 解:由偶函数与单调性的关系知,若 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数则 x∈(﹣∞,0) 时 f(x)是减函数, 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小, ∵|﹣2|<|﹣3|<π ∴f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) 故选 A. 点评: 本题考点是奇偶性与单调性的综合,对于偶函数,在对称的区间上其单调性相反, 且自变量相反时函数值相同, 将问题转化为比较自变量的绝对值的大小, 做题时要注意此题 转化的技巧.

6.y=

cosα+ sinα 的最大值为(



A.

B.

C. 1 D. 2

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先,利用辅助角公式,得到 y=sin(α+ 大值即可. 解答: 解:y= =sin(α+ ) , cosα+ sinα ) ,然后,结合三角函数的最值确定其最

故该函数的最大值为 1, 故选:C. 点评: 本题重点考查了辅助角公式、三角函数的最值等知识,属于基础题.

7.若任取 x1、x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 f(

)>

成立,则称 )

f(x) 是[a,b]上的凸函数.试问:在下列图象中,是凸函数图象的为(

A.

B.

α C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 新定义. 分析: 由已知中凸函数的定义,结合四个答案中的图象,逐一分析任取 x1、x2∈[a,b],且 x1≠x2 时,f( )与 大小关系,比照定义可得答案.

解答: 解:∵任取 x1、x2∈[a,b],且 x1≠x2,都有 f( 立 ∴函数 f(x)是[a,b]上的凸函数 任取 x1、x2∈[a,b],且 x1≠x2, 则 A 中,f( )=

)>



成立,故 A 不满足要求;

则 B 中,f(

)<

成立,故 B 不满足要求;

则 C 中,f(

)>

成立,故 C 满足要求;

则 D 中,f(

)与

大小不确定,故 D 不满足要求;

故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中正确理解已知中凸函数的定义, 是解答本题的关键. 8.已知 n 次多项式 f(x)=anx +an﹣1x +…+a1x+a0,用秦九韶算法求当 x=x0 时 f(x0)的 值,需要进行的乘法运算、加法运算的次数依次是( ) A. n,n B. 2n,n C. ,n D. n+1,n+1
n n﹣1

考点: 秦九韶算法. 专题: 规律型. 分析: 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an﹣1 然后由 内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an﹣2,v3=v2x+an﹣3…vn=vn﹣1x+a1 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 解答: 解:f(x)=anx +an﹣1x +…+a1x+a0=(anx n﹣2 n﹣3 =( (anx +an﹣1x +…+a2)x+a1)x+a0 =…
n n﹣1 n﹣1

+an﹣1x

n﹣2

+…+a1)x+a0

=(…( (anx+an﹣1)x+an﹣2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an﹣1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an﹣2, v3=v2x+an﹣3 … vn=vn﹣1x+a1 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. ∴对于一个 n 次多项式,至多做 n 次乘法和 n 次加法 故选 A. 点评: 秦九韶算法对于一个 n 次多项式,至多做 n 次乘法和 n 次加法.

9.设向量 与 的夹角为 θ,定义 与 的“向量积”: ,若 ( ) A.

是一个向量,它的模 ,则 =

B. 2 C.

D. 4

考点: 平面向量的综合题.

专题: 新定义. 分析: 设 cosθ= 解答: 解:设 则 cosθ= ∴sinθ= , ∴ =2×2× =2. 故选 B. 点评: 本题考查平面向量的综合运用,解题时要正确理解向量积的概念,认真审题,注意 向量的数量积的综合运用. 10.已知等比数列{an}中,an=2×3 的值为( )
n n n﹣1

的夹角为 θ,由向量的数量积公式先求出 =﹣ ,从而得到 sinθ= ,由此能求出 .

的夹角为 θ, =﹣ ,

,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和 Sn

A. 3 ﹣1? B. 3(3 ﹣1)? C.

? D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 求出等比数列{an}中的第二项和第四项,求得新数列的公比,由等比数列的求和公 式,即可得到所求. 解答: 解:等比数列{an}中,an=2×3 即有 a2=6,a4=54, 则新数列的公比为 9, 即有 Sn=
n﹣1



=



故选:D. 点评: 本题考查等比数列的求和公式的运用,考查运算能力,属于基础题. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

11.函数 (0,1) . 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题.

的定义域为

分析: 现根据对数函数定义得到

>0,然后根据 x>0 和

>0=

,根据 <1

得对数函数为减函数,所以得到 x<1,即可得到函数的定义域. 解答: 解:由对数函数的定义得到: >0, 有意义;

首先 x>0,然后根据 <1 得对数函数 得到 x<1, 所以函数

为减函数,因为

>0=

,根据单调性

的定义域为(0,1)

故答案为(0,1) 点评: 考查学生会根据对数函数的定义求定义域,会根据对数函数的单调性求函数的定义 域.讨论对数函数增减性的时候要注意先考虑底数 a 的取值是 a>1 还是 0<a<1,情况不 一样. 12.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱锥 A1﹣ABCD 的体积与长方体的体积之比为 .

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题. 分析: 由棱锥 A1﹣﹣ABCD 的体积 ,长方体 ABCD﹣

A1B1C1D1 的体积 VABCD﹣A1B1C1D1=SABCD×AA1, ,能求出棱锥 A1﹣﹣ABCD 的体积与长方 体的体积之比. 解答: 解:∵棱锥 A1﹣﹣ABCD 的体积 长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积 VABCD﹣A1B1C1D1=SABCD×AA1, ,

∴棱锥 A1﹣ABCD 的体积与长方体的体积之比= 故答案为: .

= .

点评: 本题考查棱柱和棱锥的体积的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 13.按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是 5 .

考点: 循环结构. 专题: 计算题;图表型. 分析: 根据所给的循环结构知第一个输出的数字是 1,第二个输出的数字是 1+2=3,第三 个输出的数字是 3+2=5. 解答: 解:由题意知第一个输出的数字是 1 第二个输出的数字是 1+2=3 第三个输出的数字是 3+2=5 故答案为:5 点评: 本题考查循环结构,本题解题的关键是读懂框图,看出在每一步循环中,要完成的 任务,本题是一个基础题. 14.已知函数 f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函数,且 θ∈[0, ],则 θ 的值为



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由偶函数的定义可得,f(x)=f(﹣x) ,可取 x= 同角三角函数的关系式,化简即得,注意 θ 的范围. 解答: 解:∵f(x)是偶函数 ∴f(x)=f(﹣x) ,代入函数式,应用诱导公式和

∴f( 即 sin(

)=f(﹣

) +θ)=sin(﹣ +θ)+cos(﹣ + θ)

+θ)+cos(

∴cosθ﹣sinθ=﹣cosθ+sinθ ∴cosθ﹣sinθ=0 ∴tanθ=1, ∵θ∈[0, ∴θ= . . ],

故答案为:

点评: 本题考查函数的奇偶性及应用,考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式,属于 基础题.

15.在三角形 ABC 中,已知 A=60°,b=1,其面积为

,则

=



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,将 sinA,b,以及已知面积相等求出 c 的值,利 用余弦定理求出 a 的值,利用正弦定理求出所求式子的值即可. 解答: 解:∵△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 , ∴ bcsinA= 解得:c=4, 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=1+16﹣4=13,即 a= 则由正弦定理 = = 得: =
2 2 2

,即 c?

=



, = = .

故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解 本题的关键. 三、解答题(共 75 分) 16. (12 分) (2008?北京)已知函数 f(x)=sin ωx+ 正周期为 π. (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
2

sinωxsin(ωx+

) (ω>0)的最小

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)先根据倍角公式和两角和公式,对函数进行化简,再利用 T= ω (Ⅱ)由(Ⅰ)可得函数 f(x)的解析式,再根据正弦函数的单调性进而求得函数 f(x) 的范围. 解答: 解: (Ⅰ) = . ∵函数 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, ∴ ,解得 ω=1. = ,进而求得

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ∵ ∴ ∴ ∴ , , .



,即 f(x)的取值范围为



点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,三角函数式恒等变形,三角函数的值 域.公式的记忆,范围的确定,符号的确定是容易出错的地方. 17. (12 分) (2012?秦州区校级学业考试)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥底面 ABC, AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 PAC; (2)求证:AB⊥PB; (3)若 PC=BC,求二面角 P﹣AB﹣C 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由 D,E 分别是 AB,PB 的中点,结合三角形中位线定理和线面平行的判定定 理可得 DE∥平面 PAC; (2)由线面垂直的性质,可得 PC⊥AB,结合 AB⊥BC 和线面垂直的判定定理可得 AB⊥ 平面 PBC,再由线面垂直的性质可得 AB⊥PB; (3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC,故∠PBC 即为二面角 P﹣AB﹣C 的平面角,解△ PBC 可得答案. 解答: 证明: (1)∵D,E 分别是 AB,PB 的中点 ∴DE∥PA 又∵PA?平面 PAC,DE?平面 PAC ∴DE∥平面 PAC; (2)∵PC⊥底面 ABC,AB?底面 ABC, ∴PC⊥AB 又∵AB⊥BC,PC∩BC=C,PC,BC?平面 PBC ∴AB⊥平面 PBC 又∵PB?平面 PBC ∴AB⊥PB; 解: (3)由(2)知,AB⊥PB,AB⊥BC, ∴∠PBC 即为二面角 P﹣AB﹣C 的平面角 ∵PC=BC,∠PCB=90° ∴∠PBC=45° ∴二面角 P﹣AB﹣C 的大小为 45° 点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面 垂直的性质,解答(1) (2)的关键是熟练掌握空间线面关系的判定定理及性质,解答(3) 的关键是求出二面角的平面角. 18. (12 分) (2012?秦州区校级学业考试)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 应用题. 分析: 设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y,用(x,y)表示抽取结果, 则所有可能的结果有 16 种, (I)A={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)},代入古典概率的求解公式可求 (Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B,则 B={(1,3) , (3,1) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3)},代入古典概率的求解公式可求 解答: 解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x、y, 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1, 4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4, 2) , (4,3) , (4,4)共 16 种结果,每种情况等可能出现. (4 分) (Ⅰ)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A,

则 A={(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4)}. 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 答:取出的两个球上的标号为相同数字的概率为 . . (8 分)

(Ⅱ)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3) , (3,1) , (2,3) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,3)}. 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 答:取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为 . . (12 分)

点评: 本题主要考查了等可能事件的概率公式的应用,解题的关键是准确求出每种情况下 事件的个数.

19. (13 分) (2007?湖南)已知函数





(Ⅰ)设 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,求 g(x0)的值; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间. 考点: 余弦函数的对称性;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)先对函数 f(x)根据二倍角公式进行化简,再由 x=x0 是函数 y=f(x)图象 的一条对称轴求出 x0 的值后代入到函数 g(x)中,对 k 分奇偶数进行讨论求值. (Ⅱ)将函数 f(x) 、g(x)的解析式代入到 h(x)中化简整理成 y=Asin(wx+ρ)+b 的形 式,得到 h(x)= 范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题设知 因为 x=x0 是函数 y=f(x)图象的一条对称轴,所以 即 所以 当 k 为偶数时, 当 k 为奇数时, . (k∈Z) . . , . =kπ, ,然后令 求出 x 的

(Ⅱ) =

= 当 函数

. ,即 是增函数, (k∈Z) . (k∈Z)时,

故函数 h(x)的单调递增区间是

点评: 本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣单调性、对称性.考查二倍角公式的运用. 20. (13 分) (2015 秋?长沙月考)设关于 x 的一元二次方程 anx ﹣an+1x+1=0(n∈N )有两 根 α 和 β,且满足 6α﹣2αβ+6β=3. (Ⅰ)试用 an 表示 an+1; (Ⅱ)求证:数列 是等比数列;
2 *

(Ⅲ)当 a1= 时,求数列{an}的通项公式,并求数列{nan}的前 n 项和 Tn.

考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)通过根据韦达定理可知 即得结论; (2) 通过对 (n∈N )有两根可排除 (3)通过记
*



,代入 6α﹣2αβ+6β=3 整理

变形可知 an+1﹣ = (an﹣ ) , 通过一元二次方程 anx ﹣an+1x+1=0 ,进而可知数列 ,利用等比数列的通项公式可知 ,进而利用错位相减法计算即得结论. 是公比为 的等比数列;

2

解答: (1)解:根据韦达定理,得 ∵6α﹣2αβ+6β=3, ∴ ,





整理得: (2)证明:∵

; ,

∴ 若 ,则 x﹣
2

, ,从而 , ,

这时一元二次方程

x+1=0 无实数根,故



,即数列

是公比为 的等比数列;

(3)解:设 又∵ ∴ ∴ ∴ , ,

,则数列{bn}是公比 , ,

的等比数列,



由错位相减法可得 Tn=



点评: 本题考查数列的通项,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 21. (13 分) (2008 秋?长春期末)已知 f(x)=x(x﹣a) (x﹣b) ,点 A(s,f(s) ) ,B(t, f(t) ) . (Ⅰ)若 a=b=1,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的导函数 f'(x)满足:当|x|≤1 时,有|f'(x)|≤ 恒成立,求函数 f(x) 的解析表达式; (Ⅲ)若 0<a<b,函数 f(x)在 x=s 和 x=t 处取得极值,且 可能垂直. 考点: 利用导数研究函数的极值;函数解析式的求解及常用方法;利用导数研究函数的单 调性. 专题: 计算题;综合题. 2 分析: (Ⅰ)由题意可得:f'(x)=3x ﹣4x+1,令 f'(x)≥0 即可得到函数的单调递增区间. (Ⅱ)由题可得:故有 式的有关性质可得:ab= ≤f'(1)≤ , ≤f'(﹣1)≤ ,及 ≤f'(0)≤ ,结合不等 ,证明: 与 不

,进而得到 a+b=0,即可得到函数的解析式.

(Ⅲ)假设
2



,即

=st+f(s)f(t)=0,即有﹣1[st﹣(s+t)a+a ][st﹣(s+t)
2

2

b+b ]=﹣1,结合题中条件 s+t= (a+b) ,st= ,可得 ab(a﹣b) =9,再利用基本不等式推 出矛盾,进而得到答案. 3 2 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得:f(x)=x ﹣2x +x, 、 2 所以 f'(x)=3x ﹣4x+1, 令 f'(x)≥0 得 3x ﹣4x+1≥0,解得 故 f(x)的增区间
2 2

和[1,+∞) (4 分)

(Ⅱ)由题意可得:f'(x)=3x ﹣2(a+b)x+ab, 并且当 x∈[﹣1,1]时,恒有|f'(x)|≤ . (5 分) 故有 ≤f'(1)≤ , ≤f'(﹣1)≤ ,及 ≤f'(0)≤ , (6 分)



…(8 分)

①+②,得 又由③,得 ab= 故 (Ⅲ)假设

≤ab≤

,…(8 分)

,将上式代回①和②,得 a+b=0, . (10 分)



,即

=(s,f(s) )?(t,f(t) )=st+f(s)f(t)=0(11 分)
2 2

所以有: (s﹣a) (s﹣b) (t﹣a) (t﹣b)=﹣1[st﹣(s+t)a+a ][st﹣(s+t)b+b ]=﹣1,…(11 分) 由 s,t 为 f'(x)=0 的两根可得,s+t= (a+b) ,st= , (0<a<b) 从而有 ab(a﹣b) =9.…(12 分) 这样 即 a+b≥2 故 与 ,这与 a+b<2 矛盾.…(14 分)
2

不可能垂直.…(16 分)

点评: 本题考查导数的应用,以及不等式的有关解法与性质,并且此题也考查了向量的数 量积与根与系数的关系、基本不等式等知识点,是一道综合性较强的题型,属于难题.对学 生分析问题,解决问题的能力要求较高.


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