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高中数学函数专题(定义域、值域、对称性、奇偶性)


高考复习之函数专题
1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 2 注意:○如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 3 的实数的集合;○ 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 2 函数定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1) 分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对 数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定 义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定 义域还要保证实际问题有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) (2)两个函数 相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断 方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 一.常见函数(基本初等函数) : 1. 3. y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2 a

2. y ? kx ? b(k ? 0) 4. y ?

1 x

5.幂函数: y ? x (a ? Q) (包括前四个函数) 6.指数函数: y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

7.对数函数: y ? loga x(a ? 0且a ? 1) 8.三角函数: y ? sin x , y ? cos x , y ? tan x , y ? cot x , y ? sec x , y ? csc x 由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如: y ? ax ? bx ? cx ? d ,
3 2

y ? sin x ?
二、定义域

1 1 ? 5 x ,试着分析以上函数的构成。 ,y? 3 log2 x x
( x ? 1) 0 x ?x

1、函数 f ( x ) ?

的定义域是(



A. ?x | x ? 0? B. 2、 f ( x) ? A. [?1,??) 3、 f ( x) ?
3

?x | x ? 0?

C.

?x | x ? 0且x ? ?1?
) D.

D.

?x | x ? 0且x ? ?1?

x ?1 ?

1 的定义域是( 2? x B. [2,??) C. (?1,2)
) C.

?x | x ? ?1且x ? 2?

4x ? 8 的定义域是( 3x ? 2 2 2? ? A. [ ,?? ) B. ? x | x ? ? 3 3? ?
B ?0,1?

[2,??)

D. (??,?1] )

4、若函数 f ? x ? 的定义域[0,2],则函数 g ( x ) ? A [0,1] C ?0,1? ? ?1,4?

5、已知函数 f ( x ) 的定义域为[a,b],其中 a ? 0 ? b, a ? b ,则函数 g ( x) ? f ?x ? ? f ?? x ? 的定义域是( ) A (?b, b] B ( ? a, b] 6、已知函数 f ( x ) ? C [?b, b] D [ ? a, a ] )

f (2 x) 的定义域是( x ?1 D ?0,1?

1? x 的定义域为 A ,函数 y ? f ? f ? x ? ? 的定义域为 B ,则( ? ? 1? x

( A) A ? B ? B

(B) A ? B

(C ) A ? B

( D) A ? B? B

7、已知函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为[-2,3],则 y ? f ?2 x ? 1? 的定义域是_________ 8、 (1) f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1)

(2) f ( x ) ?

sin x ? log 1 ( 25 ? x 2 )
2

(3)y=

3x ? x 2 ; | x ? 1 | ?1

(4)y= 25 ? x 2 ? ln cos x

9、设 f ( x) ? lg 10、 f (2 ? x) ?

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x

4 ? x 2 , f ( x ) 的定义域

3 函数值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2). 应熟悉掌握一次函数、 二次函数、 指数、 对数函数及各三角函数的值域, 它是求解复杂函数值域的基础. (3). 求函数值域的常用方法有:直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等. 三、值域 1、求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ;
2

(2) y ? ? x 2 ? 6 x ? 5 ;

(3) y ?

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ;

(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ;

(7) y ?

1 ? sin x 2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 ( x ? ) ; (9) y ? ; (8) y ? 2 2 ? cos x 2x ?1 2 x ? x ?1

? x 2, ≥1, ? x 2、设 f ( x) ? ? g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 ?0,∞? ,则 g ( x) 的值域是( ? ? x, ? 1, ? x
A. ? ?∞,1? ? ?1 ? ? ? ,∞ 3、设函数 f ( x) ? log 2 B. ? ?∞,1? ? ?0,∞? ? ? C. ?0,∞? ? D. ?1 ? ? ,∞



x ?1 ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 ( p ? x) , x ?1

(1)求函数的定义域; (2)问 f ( x ) 是否存在最大值与最小值?如果存在,请把它写出来;如果不存在,请说明理由 4、已知 f ( x) ? 2 ? log3 x (
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1 ? x ? 9) ,求函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x2 ) 的最值。 81

4.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个 区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 1 注意:○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 2 3 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 作差 f(x1)-f(x2);○ 变形(通常是因式分解和配方) 4 定号(即判 ;○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) 断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;○ . (B)图象法(从图象上看升降) (C)导数法 (D)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: 函数 单调性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增

u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

四、单调性

1、已知 f ( x) ? ? (A) (0,1)

?(3a ?1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ( loga x, x ? 1 ?
(B) (0, )



1 1 1 (D) [ ,1) 7 3 7 x a ? 0 且 a ? 1 )的图象关于直线 y ? x 对称,记 2 、 已 知 函 数 y ? f (x) 的 图 象 与 函 数 y ? a (
(C) [ , )

1 3

1 g ( x) ? f ( x)[ f ( x) ? f (2) ? 1] .若 y ? g (x) 在区间 [ , 2 ] 上是增函数,则实数 a 的取值范围是( 2
A. [2,??) B. (0,1) ? (1,2) C. [ ,1)

)D

1 2

D. (0, ]

1 2

3.设函数 f ( x) ? lg( x 2 ? ax ? a ? 1) ,给出下述命题: ① f (x) 有最小值; ②当 a ? 0 时, f (x) 的值域为 R ; ③当 a ? 0 时, f (x) 在区间 [2,??) 上有反函数; ④若 f (x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a ? ?4 则其中正确的命题是_____________(要求:把正确命题的序号都填上) 2 4.设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x -2(1-a)的单调性。 5.函数 f (x) 对任意的 m, n ? R ,都有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 , ⑴求证: f (x) 在 R 上是增函数; ⑵若 f (3) ? 4 ,解不等式 f (a ? a ? 5) ? 2
2

5.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 1 注意:○ 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有 奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

1 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点 2 3 对称;○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可 考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 五、奇偶性 1、已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ?, 0 ) 时, f ( x) ? x ? x 4 ,则当 x ? ( 0, ? ? ) 时, f (x) ? .

2.设函数 f ( x) ? x2 ? x ? a 为偶函数,则实数 a =________________________ 3.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x ) = 2x ? x ,则 f (1) ?
2

.

4.已知 f ( x ) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ? 5.设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f(-a)=_______



6、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对 应法则,二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时, 可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表 达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值 1 2 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值○ 利用图象求函数的最大(小)值○ 利用函 数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递 减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单 调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); . 函数的性质与函数图象的特点 函数性质 函数的图象 定义 图像特点 一般为一条连续曲线,也可能是由 若干条曲线或离散点组成. 图像左右存在的范围 图像上下存在的范围 图像关于原点对称

C ? ?P(x,y) | y ? f(x),x ? M?
自变量 x 的取值范围 函数值 y 的取值范围 对任意的 x ? M 都有 f(-x)=-f(x)

定义域 M 值域 N 奇 偶 奇函数



偶函数 增函数 (递增区间)

对任意的 x ? M 都有 f(-x)=f(x) 对任意的 x1、x 2 ? ?a, b? ? M 当 x 1 < x 2 时,都有 f( x 1 )<f( x 2 )

图像关于 y 轴对称 在区间[a,b]内, 图像从左到右上升

单 调 性

减函数 (递减区间)

对任意的 x1、x 2 ? ?a, b? ? M , 当 x 1 < x 2 时,都有 f( x 1 )>f( x 2 )

在区间[a,b]内, 图像从左到右下降

周期性 零点 正值区间 负值区间 在 y 轴上的截距 过定点

对任意的 x ? M ,如果有非零常数 T,使得 f(x+T)=f(x) f(x)=0 时 x 的值 f(x)>0 时 x 的取值范围 f(x)<0 时 x 的取值范围 f(0)的值 与参数无关的( x 0 , y 0 )

自变量增加 T 时,图像重复出现 图像与 x 轴的交点的横坐标 图像位于 x 轴上方时,x 所在的区 间 图像位于 x 轴下方时,x 所在的区 间 图像与 y 轴的交点的纵坐标 图像上与参数无关的点

六、综合题 1.已知偶函数 f (x),对任意 x1,x2∈R,恒有: f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1x2 ? 1. (1)求 f (0),f (1),f (2)的值; (2)求 f (x); (3)判断 F ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2 f ( x) 在(0,+∞)上的单调性

2.已知函数 y=f(x)=

ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 2,其中 b∈N 且 bx ? c

f(1)<

5 2

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(1)试求函数 f(x)的解析式;

(2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理 由
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2 3.(1) 函数 f ( x) ? ax ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,又 f (1) ? 2, f (2) ? 3 ,求 a, b, c 的值.

bx ? c

(2) 设偶函数 f (x) 在 [0,??) 上为减函数, 求不等式 f ( x) ? f (2 x ? 1) 的解集.

4.已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:(1)

f ( x ? 2) ? f ( x ) ;

(2) 当 x∈[0,1]时, f ( x) ? 3? x ? 1 ,求 f (log 1
3

1 ) 的值. 32

5.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求 f(0)的值;(2)证明函数 f(x)是周期函数; (3)若 f(x)=x(0<x≤1),求 x∈R 时,f(x)的解析式,并画出满足条件的函数 f(x)的一个周期的图象.

6.设函数 f ( x)在(??,??)上满足f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (1)试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (2)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.

7.已知函数 f(x)=x -4x +ax -1 在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若点 A(x0,f(x0))在函数 f(x)的图象上,求证点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图 象上; 2 (Ⅲ)是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx -1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点.若存在,请求出 实数 b 的值;若不存在,试说明理由.

4

3

2

8.已知函数 f(x)=a +
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x?2 (a>1) x ?1 (1)证明 函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根
x
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9.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-

1 1 )=0,当 x>- 时, 2 2

f(x)>0
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(1)求证 f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证
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1(1) f (0) = -1,f (1) = 0,f (2) = 3; (2) f [ x ? (? x)] ? f ( x) ? f (? x) ? 2 x(? x) ? 1 , 又 f ( x) ? f (? x) , (0) = -1, f ( x) ? x 2 ? 1 ; f 故 (3)F ( x) ? x 4 ? 4x 2 ? 3 . 用定义可证明 F (x) 在 2 , [ +∞)上是增函数,在(0, 2]上为减函数

2解

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(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=

ax 2 ? 1 a 1 a ? x? ≥2 , bx b bx b2

当且仅当 x=

a 1 2 时等号成立,于是 2 =2,∴a=b , 2 a b

由 f(1)<

5 a ?1 5 b2 ?1 5 1 2 得 < 即 < ,∴2b -5b+2<0,解得 < b<2,又 b∈N,∴ b=1,∴a=1,∴ b 2 2 2 2 b

f(x)=x+

1 x

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(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上, 并且关于(1, 的对称点(2-x0,-y0)也在 y=f(x)图象上, 0)
? x0 2 ? 1 ? y0 则 ? x0 ? ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y 0 ? 2? x 0 ?

消去 y0 得 x0 -2x0-1=0,x0=1± 2

2

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∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称 3 解: (1) 由 f (-x)=-f (x) 得-bx+c=-(bx+c) ?c ? 0. 又 f (1)=2,得 a+1=2b,而 f (2)<3,得
4a ? 1 < 3 ? -1< a ?1

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a< 2,又 a?Z

1 2 (2) 由 题 意 , 不 等 式 可 化 为 f ( x ) ? f ( 2 x ? 1 ) , 又 f (x) 在 [0,?? ) 上 为 减 函 数 , 所 以 不 等 式 可 化 为

所以 a=0 或 a=1,当 a=0 时,b= (舍去),当 a=1 时,b=1,? a ? b ? 1, c ? 0.

x ? 2 x ? 1 ? x ? ?1 或 x>-

1 . 3 1 3

所以,不等式的解集为(-∞,-1)∪(- ,+∞). 4∵ f (x)是周期函数,2 是它的一个周期 ∵
1 1 1 1 < < ,∴ 3 < log 1 < 4 32 81 32 27
3

令 3≤x≤4,∴ -1≤x-4≤0 ? 0≤4-x≤1 f (x)的周期是 2,且是偶函数 ∴ x∈[3,4],f (x)=f (x-4) f [-(x-4)]=f (4-x)=3x-4-1 ∵ x= log 1
3

1 1 1 ,x-4= log 1 - log 1 32 32 81
3 3

= log 1
3

81 32 = log 3 32 81
log3 32 49 1 )= 3 81 -1= -1=- 32 81 81 32

∴ f ( log 1
3

5 解:①f (x)是 R 上的奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) 令 x=0 ②依题意有:
? f (? x) ? ? f ( x) ? ? ? f (1 ? x) ? ? f (?2 ? x) ? f (1 ? x) ? ? f (?1 ? x) ? ? ? f ( x) ? ? f (?2 ? xx)

f ( ?0) ? ? f (0) ? f (0) ? 0

f (2 ? x) ? ? f ( x) ? f (4 ? x) ? f ( x) ? T ? 4

③∵ f ( x) ? ? ∴ f ( x) ? ?

(?1 ? x ? 1) ?x ?? x ? 2 (1 ? x ? 3)

(4k ? 1 ? x ? 4k ? 1) ?x ? 4k (k ? Z ) ? x ? 2 ? 4k (4k ? 1 ? x ? 4k ? 3) ?

6 解:(1)由已知得 f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)?0,故 f(-1)??f(1), 从而知函数 y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数; (2)由 ?

? f(x)= f(x+10),从而知函数 y= f(x)的周期为 T=10 由 f(7-x)=f(7+x)得,f(x)的图象关于 x=7 对称,且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. ∴在[0,10]上,只有 f(1)=f(3)=0, ∴10 是 f(x)的最小正周期, ∵在[0,10]上,只有 f(1)=f(3)=0, ∴在每一个最小正周期内 f(x)=0 只有两个根, ∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是 802. 7 解: (Ⅰ)由函数 f(x)=x -4x +ax -1,在区间[0,1)上单调递增,在区间[1,2)上单调递减,∴x=1 时,f(x)取得极大值,∴f′(1)=0. f′(x)=4x3-12x2+2ax, ∴4-12+2a=0 ? a=4. (Ⅱ)点 A(x0,f(x0))关于 x=1 的对称点 B 坐标为(2-x0,f(x0)), f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2[(2-x0)-2]2-1 4 3 2 =x0 -4x0 +4x0 -1=f(x0). ∴点 A 关于直线 x=1 的对称点 B 也在函数 f(x)的图象上. 2 4 3 2 2 (Ⅲ)函数 g(x)=bx -1 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,等价于方程 x -4x +4x -1=bx -1 恰有 4 3 2 2 4 3 2 3 个不等实根,x -4x +4x -1=bx -1 ? x -4x +(4-b)x =0. 2 ∵x=0 是其中一个根,∴方程 x -4x+(4-b)=0 有两个非 0 不等实根. ∴?
4 3 2

? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ?? ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f (7 ? x) ? f (7 ? x) ? f ( x) ? f (14 ? x)

?Δ ? 16 ? 4(4 ? b) ? 0, ∴b>0 且 b≠4. ?4 ? b ? 0.
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8 证明

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(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0,

∴ a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ?x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0



x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? >0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
x 2 ? 2 x1 ? 2 ? >0 x 2 ? 1 x1 ? 1
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于是 f(x2)-f(x1)= a x2 ? a x1 +

∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数 (2)证法一 设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,
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则 a x0 ? ?

x ?2 x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 得 0<- 0 <1, x0 ? 1 x0 ? 1
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1 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根 2 证法二 设存在 x0<0(x0≠-1)使 f(x0)=0,若-1<x0<0,

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x0 ? 2 <-2, a x0 <1,∴f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾, x0 ? 1 x0 ? 2 >0, a x0 >0, x0 ? 1
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若 x0<-1,则

∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根 9(1)证明
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1 1 1 >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, 2 2 2 ∵f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) 1 1 =f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- )-1=f[(x2-x1)- ]>0, 2 2 ∴f(x)是单调递增函数 (2)解 f(x)=2x+1 验证过程略
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设 x1<x2,则 x2-x1-

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