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电磁感应中“滑轨”问题归类例析


电磁感应中“滑轨”问题归类例析
1、杆与电阻连接组成回路 例 1、如图所示,MN、PQ 是间距为 L 的平行金属导轨,置于磁 感强度为 B、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中,M、P 间 接有一阻值为 R 的电阻.一根与导轨接触良好、阻值为 R/2 的 金属导线 ab 垂直导轨放置 (1)若在外力作用下以速度 v 向右匀速滑动,试求 ab 两点间的 电势差。 (2)若

无外力作用,以初速度 v 向右滑动,试求运动过程中产生的热量、通过 ab 电量以及 ab 发生的位移 x。 解析: (1)ab 运动切割磁感线产生感应电动势 E,所以 ab 相当于电源,与外电阻 R 构成回 路。 ∴Uab=

R 2 BLV ? BLV 3 R?R 2

(2)若无外力作用则 ab 在安培力作用下做减速运动,最终静止。动能全部转化为电热。

Q?

1 2 mv 。 mv 。 由 动 量 定 理 得 : Ft ? mv 即 BILt ? mv , q ? It ∴ q ? 2 BL 3mvR ?? BLx mv ,∴ x ? 。 q ? It ? ? ? 3 3 BL 2 B 2 L2 R R 2 2

例 2、如右图所示,一平面框架与水平面成 37°角,宽 L=0.4 m,上、下两端各有一个电阻 R0=1 Ω ,框架的其他部分电阻不计,框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁 场,磁感应强度 B=2T.ab 为金属杆,其长度为 L=0.4 m,质量 m=0.8 kg,电阻 r=0.5Ω , 棒与框架的动摩擦因数μ =0.5.由静止开始下滑,直到速度达到最大的过程中,上端电阻 R0 产生的热量 Q0=0.375J(已知 sin37°=0.6,cos37°=0.8;g 取 10m/s2)求: (1)杆 ab 的最大速度; (2)从开始到速度最大的过程中 ab 杆沿斜面下滑的距离;在该过 程中通过 ab 的电荷量. 解析:该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律 及力学有关知识的综合题,解题的关键是要正确分析金属杆的 运动及受力的变化情况。 (1) 杆 ab 达到平衡时的速度即为最大速度 v,这时 mgsinθ —F— ?N =0,N=mgcosθ ∴F=mg(sinθ —μ cosθ ) 总电阻 R ?

R0 E ? r ? 1? , E ? Blv , I ? , F ? BIL 2 R

F?

B 2 L2 v mg (sin ? ? ? cos? ) R ,得 v ? ? 2.5 m s R B 2 L2

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克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即

W ? Q ? 2Q0 ? 2Q0 ? 1.5 J ,由动能定理: smg sin ? ? W ? ?mg cos? ?

1 2 mv ? 0 2

1 2 mv ? W 2 s? mg (sin ? ? ? cos? )
BLs ,代入数据得 q=2 C R

通过 ab 的电荷量

q ? I?t ?

2、杆与电容器连接组成回路 例 3、如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距 l , 导轨一端接有一个 电容器, 电容量为 C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为 B, 质量为 m 的 金属棒 ab 可紧贴导轨自由滑动. 现让 ab 由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不 考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动?棒落地时的速度 为多大? 解析: ab 在 mg 作用下加速运动,经时间 t ,速度增为 v,a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v 电容器带电量 Q=CE=CBl v,感应电流 I=Q/t=CBL v/ t=CBl a 产生安培力 F=BIl =CB2 l 2a,由牛顿运动定律 mg-F=ma ma= mg - CB2 l 2a ,a= mg / (m+C B2 l 2) ∴ab 做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B2 l 2) 落地速度为 2mgh

v ? 2ah ?

m ? CB 2 l 2
a C v0 b

例 4、光滑 U 型金属框架宽为 L,足够长,其上放一质量为 m 的金属棒 ab,左端连接有一电容为 C 的电容器,现给棒一个 初速 v0,使棒始终垂直框架并沿框架运动,如图所示。求导 体棒的最终速度。 解析: 当金属棒 ab 做切割磁力线运动时, 要产生感应电动势, 这样,电容器 C 将被充电,ab 棒中有充电电流存在,ab 棒受 到安培力的作用而减速,当 ab 棒以稳定速度 v 匀速运动时, 有: BLv=UC=q/C 而对导体棒 ab 利用动量定理可得:-BLq=mv-mv0 由上述二式可求得: v ?

mv 0 m ? B 2 L2 C

3、杆与电源连接组成回路 例 5 、如图所示,长平行导轨 PQ 、 MN 光滑,相距
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l ? 0.5 m,处在同一水平面中,磁感应强度 B=0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面.横跨
在导轨上的直导线 ab 的质量 m =0.1kg、电阻 R =0.8Ω,导轨电阻不计.导轨间通过开关 S 将电动势 E =1.5V、内电阻 r =0.2Ω 的电池接在 M、P 两端,试计算分析: (1)在开关 S 刚闭合的初始时刻,导线 ab 的加速度多大?随后 ab 的加速度、速度如 何变化? (2)在闭合开关 S 后,怎样才能使 ab 以恒定的速度 υ =7.5m/s 沿导轨向右运动?试描 述这时电路中的能量转化情况(通过具体的数据计算说明) . 解析(1)在 S 刚闭合的瞬间,导线 ab 速度为零,没有电磁感应现象,由 a 到 b 的电流

I0 ?

F BI L E ? 1.5 A ,ab 受安培力水平向右,此时瞬时加速度 a0 ? 0 ? 0 ? 6m / s 2 m m R?r
'

ab 运动起来且将发生电磁感应现象. ab 向右运动的速度为 υ 时, 感应电动势 E ? Blv , 根据右手定则, ab 上的感应电动势 (a 端电势比 b 端高) 在闭合电路中与电池电动势相反. 电

E ? E' 路中的电流(顺时针方向, I ? )将减小(小于 I0=1.5A) ,ab 所受的向右的安培力 R?r
随之减小,加速度也减小.尽管加速度减小,速度还是在增大,感应电动势 E 随速度的增 大而增大, 电路中电流进一步减小, 安培力、 加速度也随之进一步减小, 当感应电动势 E ' 与 电池电动势 E 相等时,电路中电流为零,ab 所受安培力、加速度也为零,这时 ab 的速度达 到最大值,随后则以最大速度继续向右做匀速运动. 设最终达到的最大速度为 υm,根据上述分析可知: E ? Bl? m ? 0

E 1.5 m/s=3.75m/s. ? Bl 0.8 ? 0.5 (2)如果 ab 以恒定速度 ? ? 7.5 m/s 向右沿导轨运动,则 ab 中感应电动势
所以 ?m ?

E ' ? Blv ? 0.8 ? 0.5 ? 7.5 V=3V
由于 E > E ,这时闭合电路中电流方向为逆时针方向,大小为:
'

E' ? E 3 ? 1.5 I ? ? A=1.5A R?r 0.8 ? 0.2
'

直导线 ab 中的电流由 b 到 a,根据左手定则,磁场对 ab 有水平向左的安培力作用,大 小为 F ? BlI ? 0.8 ? 0.5 ? 1.5 N=0.6N
' '

所以要使 ab 以恒定速度 v ? 7.5 m/s 向右运动,必须有水平向右的恒力 F ? 0.6 N 作用 于 ab.

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上述物理过程的能量转化情况,可以概括为下列三点: ①作用于 ab 的恒力(F)的功率: P ? Fv ? 0.6 ? 7.5 W=4.5W ②电阻(R +r)产生焦耳热的功率: P ? I ( R ? r ) ? 1.5 ? (0.8 ? 0.2) W=2.25W
' 2 2

③逆时针方向的电流 I ' ,从电池的正极流入,负极流出,电池处于“充电”状态,吸收能 量,以化学能的形式储存起来.电池吸收能量的功率: P ? I E ? 1.5 ?1.5 W=2.25W
' '

由上看出, P ? P ' ? P '' ,符合能量转化和守恒定律(沿水平面匀速运动机械能不变) . 二、 “双杆”滑切割磁感线型 1、双杆所在轨道宽度相同——常用动量守恒求稳定速度 例 6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面 内,两导轨间的距离为 L。导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd,构成矩形回路,如图所示.两根导体棒的质量皆为 m,电阻皆为 R,回路中其余部分的电阻可不计.在整个 导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场, 磁感应强度为 B. 设 两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行.开始时,棒 cd 静止, 棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0.若两导体棒在运动中始终不接触,求: (1)在运动中产生的焦耳热最多是多少. (2)当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时,cd 棒的加速度是多少? 解析:ab 棒向 cd 棒运动时,两棒和导轨构成的回路面积变小,磁通量发生变化,于是 产生感应电流.ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动,cd 棒则在安培力作用 下作加速运动.在 ab 棒的速度大于 cd 棒的速度时,回路总有感应电流,ab 棒继续减速, cd 棒继续加速.两棒速度达到相同后,回路面积保持不变,磁通量不变化,不产生感应电 流,两棒以相同的速度 v 作匀速运动. (1)从初始至两棒达到速度相同的过程中,两棒总动量守恒,有 mv 0 ? 2mv 据能量守恒,整个过程中产生的总热量 Q ? 根 L a v0 c b B

d

1 2 1 1 2 mv 0 ? (2m)v 2 ? mv 0 2 2 4

(2)设 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时,cd 棒的速度为 v1,则由动量守恒可知:

3 3 mv0 ? m v0 ? mv1 。此时回路中的感应电动势和感应电流分别为: E ? ( v0 ? v1 ) BL , 4 4 E F 。此时 cd 棒所受的安培力: F ? IBL ,所以 cd 棒的加速度为 a ? 由 I? 2R m

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以上各式,可得

a?

B 2 L2 v0 。 4mR

例 7、如图所示,两根平行的金属导轨,固定在同一水平面上,磁感应强度 B=0.50T 的匀强 磁场与导轨所在平面垂直,导轨的电阻很小,可忽略不计。导轨间的距离 l=0.20m。两根质 量均为 m=0.10kg 的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动,滑动过程中与导轨保持垂 直, 每根金属杆的电阻为 R=0.50Ω 。 在 t=0 时刻, 两杆都处于静止状态。 现有一与导轨平行、 大小为 0.20N 的恒力 F 作用于金属杆甲上,使金属杆在导轨上滑动。经过 t=5.0s,金属杆甲 的加速度为 a=1.37m/s2,问此时两金属杆的速度各为多少? 解析:设任一时刻 t 两金属杆甲、乙之间的距离为 x,速度分别为 v1 和 v2,经过很短的 时间△t,杆甲移动距离 v1△t,杆乙移动距离 v2△t,回路面积改变

?S ? [( x ? v2 ?t ) ? v1?t ] ? t ? lx ? (v1 ? v2 )l?t
由法拉第电磁感应定律,回路中的感应电动势 E ? B 回路中的电流 i ?





F

?S ?t

E ,杆甲的运动方程 F ? Bli ? ma 2R

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等,方向相反,所以两杆的动量 (t ? 0 时为

0)等于外力 F 的冲量 Ft ? mv1 ? mv 2 。联立以上各式解得 v1

1 F 2R ? [ 1 ? 2 ( F ? ma )] 2 m B F
v2 ? 1.85m / s

1 F 2R v2 ? [ 1 ? 2 2 ( F ? ma )] ,代入数据得 v1 ? 8.15m / s 2 m B I
2、双杆所在轨道宽度不同——常用动量定理找速度关系 例 8、如图所示,abcd 和 a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导 轨,区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。 ab、a/b/间的 宽度是 cd、c/d/间宽度的 2 倍。设导轨足够长,导体棒 ef 的质量是棒 gh 的质量的 2 倍。现给导体棒 ef 一个初速度 v0,沿导轨向左运动,当两棒的速度稳定时,两棒的速度 分别是多少? a/

a

e

b c b
/

g h d/

d

c/

f

解析:当两棒的速度稳定时,回路中的感应电流为零,设导体棒 ef 的速度减小到 v1, 导体 棒 gh 的速度增大到 v2 ,则有 2BLv1-BLv2=0 ,即 v2=2v1 。对导体棒 ef 由动量定理得:
?
?

? 2BL I ?t ? 2mv1 ? 2mv0 对导体棒 gh 由动量定理得: BL I ?t ? mv 2 ? 0 。由以上各式
可得: v1 ?

1 2 v0 , v 2 ? v0 。 3 3
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3、磁场方向与导轨平面不垂直 例 9、如图所示,ab 和 cd 是固定在同一水平面内的足够长 b B a 平行金属导轨,ae 和 cf 是平行的足够长倾斜导轨,整个装 F 2 c 1 置放在竖直向上的匀强磁场中。 在水平导轨上有与导轨垂直 d θ 的导体棒 1, 在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒 2, e 两棒与导轨间接触良好,构成一个闭合回路。已知磁场的磁 f θ 感应强度为 B,导轨间距为 L,倾斜导轨与水平面夹角为 θ, 导体棒 1 和 2 质量均为 m,电阻均为 R。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力 F 作用 在棒 1 上,从静止开始拉动棒 1,同时由静止开始释放棒 2,经过一段时间,两棒最终匀速 运动。忽略感应电流之间的作用,试求: (1)水平拉力 F 的大小; (2)棒 1 最终匀速运动的速度 v1 的大小。 解析(1)1 棒匀速: F ? BIL 2 棒匀速: BIL ? mg tan? 解得: F ? mg tan? (2)两棒同时达匀速状态,设经历时间为 t,过程中平均感应电流为 I ,据动量定理, 对 1 棒: Ft ? BILt ? mv1 ? 0 ;对 2 棒: mg sin ? ? t ? BIL cos? ? t ? mv 2 ? 0 联立解得: v2 ? v1 cos? 匀速运动后,有: E ? BLv1 ? BLv 2 cos? , I ? E 2R 三、轨道滑模型 例 10、如图所示,abcd 为质量 m 的 U 形导轨,ab 与 cd 平行,放在光滑绝缘的水平面上,另有一根质量为 m 的 金属棒 PQ 平行 bc 放在水平导轨上,PQ 棒右边靠着绝 缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱 e、 f,U 形导轨 处于匀强磁场中,磁场以通过 e、f 的 O1O2 为界,右侧 磁场方向竖直向上,左侧磁场方向水平向左,磁感应强 度大小都为 B, 导轨的 bc 段长度为 L,金属棒 PQ 的电阻 R,其余电阻均可不计,金属棒 PQ 与导轨间的动摩擦因数为μ ,在导轨上作用一个方向向 右,大小 F==mg 的水平拉力,让 U 形导轨从静止开始运动.设导轨足够长.求: (1)导轨在运动过程中的最大速度 υm (2)若导轨从开始运动到达到最大速度υ m 的过程中,流过 PQ 棒的总电量为 q,则系统 增加的内能为多少? 解析:(1)当导轨的加速度为零时,导轨速度最大为υ m。导轨在水平方向上受到外力 F、水 平向左的安培力 F1 和滑动摩擦力 F2,则 解得: v1 ?
2mgR tan? B L2 (1 ? cos2 ? )
2

F ? F1 ? F2 ? 0 , F1 ? BIL, I ?

B 2 L2 vm E , E ? BLv m ,即 F1 ? R R

以 PQ 棒为研究对象,PQ 静止,在竖直方向上受重力 mg、竖直向上的支持力 N 和安培力

B 2 L2 vm ) ,将 F1 和 F2 代入解得 F3,则 N ? F3 ? mg , F3 ? F1 , F2 ? ?N ,得 F2 ? ? (mg ? R

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0 ? (1 ? ? )( g ?

B 2 L2 v m mgR ) ,得 v m ? 2 2 mR B L

(2)设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中,移动的距离为 S,在这段过程中,经过的时 间为 t,PQ 棒中的平均电流强度为 I1,QPbC 回路中的平均感应电动势为 E1,则

E1 ?

E qR ?? 。设系统增加的内能为 ?E ,由功能关 , ?? ? SLB, I 1 ? 1 , q ? I 1t ,得 S ? t R BL

mgqR m 3 g 2 R 2 1 2 系得: FS ? mv m ? ?E ,则 ?E ? ? BL 2 2 B 4 L4

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