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1.力对物体做功必须满足两个条 件:力和物体在力的方向上发 生了位移。做功的过程就是能

量变化的过程。
2.功的计算公式:W=Fxcos α, 其中α为力F与位移x的夹角,此式一般适用于恒力做功 的计算。

3.功的正负是由力和位移的夹

>角α的大小决定的,反映了
作用力是动力还是阻力,动 力所做的功为正,阻力所做 的功为负。 4.合力对物体所做的功等于各分力对物体所做功的代 数和。

自学教材 1.做功与能量的变化

(1)功的概念:
物体受到力的作用,并在力的方向上发生了 位移 ,那 么力对物体做了功。 (2)功与能量: 功与 能量 的变化密切相关,做功的过程就是 能量 变 化的过程。

2.功的计算公式 (1)力F与位移x同向时:W=Fx。 (2)力F与位移x有夹角α时:W=Fxcos α,其中F、x、 力与位移夹角的 cos α分别表示 力的大小 、 位移的大小 、 余弦 。

(3)各物理量的单位: 米 , F的单位是 牛顿 ,x的单位是 米 ,W的单位是牛· 即焦耳。

重点诠释 1.对公式W=Fxcos α的理解 (1)公式的适用条件: 公式W=Fxcos α只适用于恒力做功。 (2)关于作用力F: 公式W=Fxcos α中,如果F为物体所受的某一个恒 力时,W为该恒力所做的功;如果F为恒定的合力时,W

为合力所做的功。

(3)关于位移x:
①公式中的位移x,一般情况下是指在力的作用下 物体的位移,但是当物体的位移与力的作用点的位移 不同时,x应当是作用点的位移。 ②位移x与参考系的选取有关,一般情况下,研究 做功问题时,应以地面为参考系。

2.变力做功的计算 (1)将变力做功转化为恒力做功。 ①分段法: 力在全程是变力,但在每一个阶段是恒力,这样就 可以先计算每个阶段的功,再利用求和的方法计算整个 过程中变力做的功。

②微元法: 当力的大小不变,力的方向时刻与速度同向(或反向)时, 把物体的运动过程分为很多小段,这样每一小段可以看成直 线,先求力在每一小段上的功,再求和即可。例如,滑动摩 擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反,可把运动过 程细分,其中每一小段都是恒力做功,整个运动过程中所做 的总功是各个阶段所做功的和,即力与路程的乘积。

③转换研究对象法:

如图4-1-1所示,人站在地上以
恒力拉绳,使小车向左运动,求拉力 对小车所做的功。拉力对小车来说是
图 4- 1- 1

个变力(大小不变,方向改变),但仔细研究,发现人拉绳 的力却是恒力,于是转换研究对象,用人对绳子所做的功 来求绳子对小车做的功。

④平均值法: 当力的方向不变,大小随位移按线性规律变化时,可先 F1+F2 求出力对位移的平均值 F = ,再由 W= F xcos α 计算 2 功,如弹簧弹力做的功。 (2)利用图像法求变力做功。 如图 4-1-2 所示,在 F-x 图像中,若能 求出图线与 x 轴所围的面积,则这个面积即为 F 在这段位移 x 上所做的功。类似在 v-t 图像中, 图线与 t 轴所围的面积表示位移。
图 4- 1- 2

1.如图4-1-3所示,质量分别为M和m的两物块,M>m,

分别在同样大小的恒力F作用下,沿水平面由静止开始做
直线运动,F与水平面的夹角相同。经过相同的位移,设

F对M做的功为W1,对m做的功为W2,则

(

)

图 4- 1- 3

A.无论水平面光滑与否,都有W1=W2

B.若水平面光滑,则W1>W2
C.若水平面粗糙,则W1>W2 D.若水平面粗糙,则W1<W2 解析:由题意知,F1=F2,x1=x2,α1=α2,又W=Fxcos α, 故无论水平面光滑还是粗糙,均有W1=W2。 答案:A

[自学教材] 1.功的正负 α范围 0≤α<90° α=90° 90°< α≤180° 2.合力的功 cos α范围 cos α > 0 cos α = 0 cos α < 0 W正负 W>0 W= 0 W<0

物体受多个力的作用发生了位移, 合力 对物体做的功 代数和 等于各分力对物体所做功的 。

重点诠释 1.正功、负功的物理意义

(1)力F是动力,对物体做 正功 。
(2)力f是阻力,对物体做 负功 ,或 说物体克服f做 正功 。
图 4- 1- 4

(3)力N和G即不是动力,也不是阻力, 不做功 。 2.合力的功的求法

(1)先求物体所受的合外力,再根据公式W合=F合· xcos α
求合外力的功。 (2)先根据W=Fxcos α求每个分力做的功W1、W2、…Wn, 再根据W合=W1+W2+…+Wn,求合力的功。

2.一人乘电梯从1楼到20楼,在此过程中经历了先加速、 后匀速、再减速的运动过程,则电梯支持力对人做功的 情况是 ( )

A.加速时做正功,匀速时不做功,减速时做负功 B.加速时做正功,匀速和减速时做负功 C.加速和匀速时做正功,减速时做负功 D.始终做正功

解析:力对物体做功的表达式为W=Fxcosθ,当0°≤θ <
90°时,F做正功;当θ=90°时,F不做功;当90°<θ ≤180°时,F做负功,支持力始终竖直向上,与位移同向, θ=0°,故支持力始终做正功,D正确。 答案:D

[例1]

如图4-1-5所示,质量为m的物体置于倾角

为θ的斜面上,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,在外力 作用下,斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加速运动, 运动中物体m与斜面体相对静止。则关于斜面对m的支持 力和摩擦力的下列说法中错误的是 ( )

图 4- 1- 5

A.支持力一定做正功
B.摩擦力一定做正功 C.摩擦力可能不做功 D.摩擦力可能做负功 [思路点拨] 解答本题时应注意以下两点:

(1)先确定力与物体位移的夹角大小,再判断力做功的正负。 (2)物体所受摩擦力的方向与加速度a的大小有关。

[解析]

支持力方向垂直斜面向上,故支持力一定做

正功。而摩擦力是否存在需要讨论。

当a=gtan θ时,摩擦力不存在,不做功
当a>gtan θ,摩擦力沿斜面向下,做正功 当a<gtan θ,摩擦力沿斜面向上,做负功。 综上所述,B是错误的。 [答案] B

[借题发挥]
力做正功还是负功的判断方法:

(1)看力F与位移x的夹角α,α<90°,力做正功,
α>90°,力做负功;

(2)看力F与速度v的夹角α,α<90°,力做正功,
α>90°,力做负功;

(3)看速率增大还是减小,若在力作用下速率增大,
此力做正功,反之做负功。

1.一个力对物体做了负功,则说明

(

)

A.这个力一定阻碍物体的运动
B.这个力不一定阻碍物体的运动 C.这个力与物体运动方向的夹角α>90° D.这个力与物体运动方向的夹角α<90° 解析:由功的表达式W=Fxcos α知,只有当α>90°时,

cos α<0,力对物体做负功,此力阻碍物体的运动,故
选项A、C正确。 答案:AC

[例2]

如图4-1-6所示,在光滑水

平面上,物体受两个相互垂直的大小分
别为F1=3 N和F2=4 N的恒力,其合力 在水平方向上,从静止开始运动10 m,求: (1)F1和F2分别对物体做的功是多少?代数和为多大? (2)F1和F2合力为多大?合力做功是多少?
图 4- 1- 6

[思路点拨]

力F1、F2及它们的合力均为恒力,可

用功的公式W=Fxcos α求解它们的功。 [解析] (1)力F1做的功

W1=F1xcos θ1=3×10×cos 53° J=18 J
力F2做的功

W2=F2xcos θ2=4×10×cos 37° J=32 J
W1与W2的代数和

W=W1+W2=18 J+32 J=50 J。

(2)F1 与 F2 的合力 F= F12+F22= 32+42 N=5 N 合力 F 做的功 W′=Fx=5× 10 J=50 J。

[答案] (1)18 J
[借题发挥]

32 J

50 J

(2)5 N

50 J

求总功时,可以先求各力做的功,再求各功的代 数和,也可先求合力再求总功,而对于合力为恒力的

情形,先求合力再求总功往往较为简便。

2.飞机越来越多地成为人们外出旅行的重要交通工具,安 全快捷是飞机的主要特点。为保障飞机降落时做到万无

一失,民航客机机舱紧急出口的气囊是一条连接出口与
地面的斜面,若斜面高3.2 m,长5.5 m,质量为60 kg的 人沿斜面滑下时所受的阻力是240 N,求人滑下过程中合 力的功。(g=10 m/s2) 解析:方法一:重力做功WG=mgh=1 920 J

阻力做功Wf=-fx=-1 320 J
合力的功W=WG+Wf=600 J。

方法二:人下滑中所受合力 F 合=mgsin θ-f h 合力的功 W=F 合 x=(mgx-f)x=600 J。

答案:600 J

[例3]

如图4-1-7所示,轻弹

簧一端与竖直墙壁连接,另一端与一

质量为m的木块连接,放在光滑的水

图 4- 1- 7

平面上,弹簧的劲度系数为k,弹簧处于自然状态,用水平 力缓慢拉木块,使木块前进 x , 求这一过程中拉力对木块做 了多少功? [思路点拨] 解答本题应注意以下两个方面:

(1)拉力F为变力。
(2)拉力F随位移均匀变化。

[解析]

方法一:缓慢拉动木块,可认为木块处于平衡状

态,故拉力等于弹力大小 F=kx。 kx 因该力与位移成正比,可用平均力 F = 求功, W= F x 2 1 = kx2 。 2 方法二:F-x 图像如图所示,△OxA 的面 1 2 积大小即为克服弹力的功 W= kx , 拉力的功 WF 2 1 2 =W= kx 。 2
[答案] 1 2 kx 2

[借题发挥] (1)若力的大小不变,方向时刻在改变,可用微元 法将求变力做功转化为求恒力做功。 (2)若力的方向不变,大小随位移均匀变化,则可 先求平均作用力,再求平均作用力的功。也可用图像 法求功。

3.如图4-1-8所示,摆球质量为m,悬线的 长为L,把悬线拉到水平位置后放手。设在 摆球运动过程中空气阻力f的大小不变,求
图 4- 1- 8

摆球从A运动到竖直位置B时,重力mg、绳的拉力T、空 气阻力f各做了多少功?

解析:重力做功 Wmg=mgL, 绳的拉力 T 与运动方向始终垂直,故 WT=0, 2πL 1 空气阻力做功 Wf=-f =- fπL。 4 2
答案:mgL 0 1 - fπL 2


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