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2016


2.3 变换的复合与矩阵的乘法

一、矩阵的乘法运算 矩阵与矩阵的乘法运算是高考考查本章知识的一个重要考点. 1? ?1? ?1? ?1? ?2? 2? 已知二阶矩阵 M 满足 M? ?=? ?,M? ?=? ?,求 M ? ?. ?0? ?0? ?1? ?2? ?-1? 【解】 设 M=?

?a b? ?, ?c d?

?1? ?1? ?a? ?1? 由 M? ?=? ?得? ?=? ?, ?0? ?0? ?c? ?0?
所以 a=1,c=0.

?1? ?2? ?a+b? ?2? 由 M? ?=? ?得? ?=? ?, ?1? ?2? ?c+d? ?2?
所以 b=1,d=2. 所以 M=?
2

?1 1? ?. ?0 2? ?1 1??1 1? ?1 3? ?? ?=? ?. ?0 2??0 2? ?0 4?

所以 M =? 所以 M ?
2

? 1? ?1 3?? 1? ?-2? ?=? ?? ?=? ?. ?-1? ?0 4??-1? ?-4?

二、矩阵的乘法与变换的复合问题 以矩阵乘法为载体考查矩阵变换的有关知识是高考考查的热点. 在平面直角坐标系中,△OAB 的顶点 O(0,0),A(2,0),B(1, 2),求 △OAB

1

在矩阵 MN 的作用变换下所得图形的面积,其中 M=?

?1 0 ? ?, ?0 -1?

?1 N=? ?0 ?

? ?. 2? 2 ?
2 2 【导学号:30650030】

?1 【解】 MN=? ?0

?1 0 ?? ? -1?? ?0


? ? 2? 2 ?
2 2 2 2 +0× 2 2

? 1×1+0×0 ? = ?0×1+(-1)×0 ? ?1 ? = ?0 ? ? ?. 2? - 2?
2 2

? ? 2 2? 0× +(-1)× 2 2 ?

?1 ? 又因为 ?0 ? ?1 ? ?0 ? ?1 ? ?0 ?
2 2

?0 0 ? ? ? ?? ? ?=? ?, 2??0? ?0? - 2?
2 2

?2 2 ? ? ? ?? ? ? =? ? , 2 ??0? ?0? - 2 ? ? ?? ? 2 ?? - 2 ?
2 2

? 2? ? =? ? , 2 ? ?-1?

1?

所以 O,A,B 三点在矩阵 MN 的作用变换下所得点分别为 O′(0,0),A′(2,0),B′ (2,-1), 1 所以 S△O′A′B′= ×2×1=1. 2 故△OAB 在矩阵 MN 的作用变换下所得图形的面积为 1. 已知矩阵 A=?

?2 0? ?0 -1? 2 B=? ?, ?,求抛物线 y =x 经过矩阵 AB 作用下变换得 0? ?0 1? ?1
2

到的曲线方程.

【导学号:30650031】 【解】 AB=?
2

?2 0??0 -1? ?0 -2? ?? ?=? ?. 0? ?1 0? ?0 1??1

在曲线 y =x 上任取一点 P(x, y), 它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P′(x′, y′),

x=y′, ?x′=-2y, ? ? ? 1 ?x′? ?0 -2??x? 2 2 则有? ?=? 即? 代入 y =x,得 y′= x′ ,所 ?? ?,即? 1 4 ? 0??y? y ′= x , ?y′? ?1 y =- x ′, ? ? 2 ?
1 2 2 以曲线 y =x 经过矩阵 AB 作用下变换得到的曲线方程为 y= x . 4 三、数形结合思想 我们从平面变换的观点引入了二阶矩阵的乘法, 矩阵变换是数学中变换的一种方法, 利 用矩阵的方法实际上是把某些几何图形的变换转化为代数的运算, 使具体的问题抽象化, 把 某些方法进行统一.在解决代数问题时,矩阵方法主要是对运算过程的一种简化,也是对运 算本质的一种提炼.因此本章中始终贯穿数形结合的思想. 已知矩形 ABCD,其中 A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1),将矩形绕原点 逆时针旋转 90°,再将所得图形作关于 y 轴的反射变换. (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵 M; (2)求点 A、B、C、D 在连续两次变换后所得到的结果; (3)在平面直角坐标系内画出两次对应的几何图形,并验证(2)中的结论. 【解】 (1)绕原点逆时针方向旋转 90°的变换矩阵为 Q=? 换矩阵为 P=?

?0 -1? ?,而关于 y 轴的变 0? ?1

?-1 0? ?,则连续两次变换所对应的变换矩阵 M 由矩阵乘法可得. ? 0 1?

M=PQ=?
(2)因为?

?-1 0??0 -1? ?0 1? ?? ?=? ?. 0? ?1 0? ? 0 1??1

?0 1??0? ?0? ?0 1??2? ?0? ?0 1??2? ?1? ?0 1??0? ?1? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?,? ? ? ? =? ? . ?1 0??0? ?0? ?1 0??0? ?2? ?1 0??1? ?2? ?1 0??1? ?0?

所以点 A、B、C、D 分别变换成点 A″(0,0)、B″(0,2)、C″(1,2)、D″(1,0).如 图所示. (3)从几何变换角度,先作绕原点逆时针旋转 90°的变换 T1,再将所得图形作关于 y 轴 的轴反射变换 T2,所得结果与(2)一致,如图所示.

3

章末综合检测(三) 1.计算:

?0 -2? ?1 2?? ? (1)? ? 1 ?; ?3 4??3 2 ? ?
(2)?

?cos θ ?sin θ

-sin θ ??cos φ ?? cos θ ??sin φ

-sin φ ? ?. cos φ ?

?0 -2? ?1 2?? ? 【解】 (1)? ?? 1 ? ?3 4? 3 2 ? ?

?1×0+2×3 ? = ?3×0+4×3 ?
=?

? ? 1 3×(-2)+4× ? 2?
1 1×(-2)+2× 2

?6 -1? ?. ?12 -4? ?cos θ ?sin θ
-sin θ ??cos φ ?? cos θ ??sin φ -sin φ ? ?= cos φ ? -cos θ sin φ -sin θ cos φ ? ? -sin θ sin φ +cos θ cos φ ?

(2)?

?cos θ cos φ -sin θ sin φ ? ?sin θ cos φ +cos θ sin φ
=?

?cos (θ +φ ) -sin (θ +φ )? ?. ?sin (θ +φ ) cos (θ +φ ) ?
-1? 1?

3 ?1 - ? 2 2 1 ? ?,B=? 2.已知 A= ? ? 3 1 ? ?0 ? 2 2?

?,计算 AB,并从变换的角度解释.

【导学号:30650032】 3 ?1 - ? 2 2 1 ?? AB=? ? ? 3 1??0 ? 2 2? -1? 1?

【解】

?

4

1 3 ?1 ? - - 2 2 2 ? ?. = ? 3 - 3+1? ?2 2 2?

AB 所对应的变换为复合变换,即由旋转变换和切变变换连续变换得到的.

? 22 ? 3.已知 M= ? 2 ?2
?a 【解】 设 N=? ?c



2 2

2 2

? 1 ?,A=? ? ? ?0 ?

0? 1?

?,且 MN=A,求二阶矩阵 N.

2 ? b? ?2 ?,则 d? ? 2 ?2 2 (b-d) 2



? ?? 2 ?? c 2 ?
2 2 ?a 0? 1?

b? d?

?

? 22(a-c) ? = ? 2(a+c) ?2
2

? 1 ?=? ? ?0 2 ? (b+d) ? 2

?,

(a-c)=1, ? 2 ? ? 22(b-d)=0, ∴? 2 2 ? (a+c)=0, ? ? 22(b+d)=1,

? ? ?b= 22, 解得? 2 c=- , 2 ? ? ?d= 22.
a=
2 , 2

? 22 ? ∴N= ?- 2 ? 2

? ?. 2 ? 2 ?
2 2

4.设 E 为二阶单位矩阵,试证明对于任意二阶矩阵 M,ME=EM=M.

5

【证明】 设 M=?

?a b? ?,a,b,c,d 均为实数,则 ?c d?

ME=? EM=?
=?

?a b??1 0? ?a b? ?? ?=? ?=M, ?c d??0 1? ?c d? ?1 0??a b? ?? ? ?0 1??c d?

?a b? ?=M. ?c d? ? cos α ?-sin α
sin α ? 2 3 n * ?,试求 A ,A ,并据此猜想 A (n∈N ). cos α ?

所以等式得证. 5.已知 A=?

【导学号:30650033】 【解】 因为 A=? 所以 A =?
2

? cos α ?-sin α

sin α ? ?, cos α ? sin α ? ?= cos α ?

? cos α ?-sin α

sin α ?? cos α ?? cos α ??-sin α

? cos α cos α -sin α sin α ? ?-cos α sin α -sin α cos α
=? sin 2α ? ? cos 2α ?, ?-sin 2α cos 2α ?

cos α sin α +sin α cos α ? ? -sin α sin α +cos α cos α ?

A3=?
=?

? cos 2α ?-sin 2α

sin 2α ?? cos α ?? cos 2α ??-sin α sin 3α ? ?, cos 3α ?

sin α ? ? cos α ?

? cos 3α ?-sin 3α

? cos nα n 所以据此猜想 A =? ?-sin nα

sin nα ? ?. cos nα ?

6.根据如图 1 所示的变换,你能将其分解为已知的一些变换吗?

6

图1 【解】 (1) 先施以矩阵 ? 0? ?-1 ? 对应的关于原点的中心反射变换,再往以矩阵 ? 0 -1?

?1 0 ? ?2 ?对应的伸压变换得到. ? ? ?0 1?
(2)先施以矩阵?

?2 0? ?1 0? ?对应的伸压变换,再施以矩阵? ?对应的伸压变换得到. ?0 1? ?0 2? ? 2 1? ?1 -2? ?,B=? ?. ? -1 2 ? ?0 1 ?

7.已知矩阵 A=?

(1)计算 AB,BA; (2)设 M=AB,N=BA,若矩阵 M,N 分别把直线 l:x+y+2=0 变为直线 l1,l2,求直 线 l1,l2 的方程. 【解】 (1)AB=? =? =?

? 2 1??1 -2? ?? ? ?-1 2 ??0 1 ?

2×(-2)+1×1? ? 2×1+1×0 ? ?-1×1+2×0 -1×(-2)+2×1?

? 2 -3? ?, ? -1 4 ? ?1 -2?? 2 1? ?? ? ?0 1 ??-1 2 ?

BA=?
=? =?

?1×2+(-2)×(-1) 1×1+(-2)×2? ? 0×1+1×2 ? 0×2+1×(-1) ? ? 4 -3? ?. 2? ? -1

(2)任取直线 l 上一点 P(x,y)经矩阵 M 变换后为点 P′(x′,y′),
7

则?

?x′? ? 2 -3??x? ? 2x-3y? ?=? ? ? ? =? ?, ?y′? ?-1 4 ??y? ?-x+4y ?
4 3 ? ?x=5x′+5y′ ? 1 2 , ? ?y=5x′+5y′

? ?x′=2x-3y ∴? ,即 ?y′=-x+4y ?

把上式代入 x+y+2=0 得: 4 3 1 2 x′+ y′+ x′+ y′+2=0, 5 5 5 5 即 x′+y′+2=0, ∴直线 l1 的方程为 x+y+2=0, 同理可求 l2 的方程为 3x+7y+10=0. 8.在直角坐标系中, 已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(0, 0), B(1, 1), C(0,2),求△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积,这里矩阵 M=? 【解】 由题设得 MN=? 由?

?0 1? ?0 -1? ?,N=? ?. ?1 0? ?1 0 ?

?0 1??0 -1? ?1 0 ? ?? ?=? ?. ?1 0??1 0 ? ?0 -1?

?1 0 ??0? ?0? ?1 0 ??1? ? 1? ?? ?=? ?,? ?? ?=? ?, ?0 -1??0? ?0? ?0 -1??1? ?-1?

?1 0 ??0? ? 0? ? ?? ?=? ?, ?0 -1??2? ?-2?
可知 A,B,C 三点在矩阵 MN 作用下变换所得到的点分别是 A′(0,0),B′(1,-1),

C′(0,-2).计算得△A′B′C′的面积为 1.
所以△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积为 1. 9.已知矩阵 M=? 且 MN=?

?1 a? ?c 2? ?,N=? ?, ?b 1? ?0 d?

? 2 0? ?. ?-2 0 ?

(1)求实数 a,b,c,d 的值; (2)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象.

【导学号:30650034】

【解】

c+0=2 a=-1 ? ? ?2+ad=0 ?b=-1 由题设得? ,解得:? . bc+0=-2 c=2 ? ? ?2b+d=0 ?d=2

8

(2)设直线 y=3x 上的任意点(x, y), 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象是点(x′,

y′),
由?

?x′? ? 1 -1??x? ? x-y? ?-2x? ?=? ? ? ? =? ?=? ?得 y′=-x′,即点(x′,y′)必在直线 ?y′? ?-1 1 ??y? ?-x+y? ? 2x?

y=-x 上.由(x,y)的任意性可知,直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的象的方
程为 y=-x. 10.假设我们收集到苹果和香蕉在两个不同商店的价格,每个男性与女性分别对这两种 水果的日需求量以及两个不同公司中男性与女性人员数量,并用矩阵表示如下:

利用 A,B,C,按下列要求求出矩阵乘积: (1)计算乘积 BA,并说明该乘积矩阵表示的是什么量表; (2)哪两个矩阵的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量?并计算出这 个量表. 【解】 (1)BA=?

?1 2??1.5 1.2? ?7.1 7.2 ? ?? ?=? ?. ?3 2??2.8 3.0? ?10.1 9.6?

由于 7.1=1×1.5+2×2.8,表示男性每日在 A 店买苹果和香蕉共需消费 7.1 元;10.1 =3×1.5+2×2.8,表示女性每日在 A 店买苹果和香蕉共需消费 10.1 元.故 BA 表示男、女 在 A,B 两店每日需消费的金额,用量表表示如下:

(2)C 与 B 的乘积可以表示两个不同公司对两种不同水果的日需求量:

CB=?

?200 50??1 2? ?350 500? ?? ?=? ?, ?80 120??3 2? ?440 400?

故量表为

9

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