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2013年浙江省杭州市高考数学一模试卷(文科)2015


2013 年浙江省杭州市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 2. (5 分) (2009?辽宁)平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=( A. B. C.4 D.12 ) )

3. (5 分) (2013?杭州一模)设 a∈R,则“a=4”是“直线 l1:ax+2y﹣3=0 与直线 l2:2x+y﹣a=0 平行”的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分) (2013?杭州一模)设函数 f(x)=2 ,则下列结论正确的是( ) A.f(﹣1)<f(2)<f(﹣B.f(﹣ )<f(﹣1)<fC.f(2)<f(﹣ )<f D.f(﹣1)<f(﹣ (2) (﹣1) (2) ) 5. (5 分) (2013?杭州一模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣a7<a1<a8,则必定有( ) A.S7>0,且 S8<0 B.S7<0,且 S8>0 C.S7>0,且 S8>0 D.S7<0,且 S8<0
|x|

)<f

7. (5 分) (2013?杭州一模)设 α 是第三象限角,且 tanα=2,则

=(



A.

B.

C.

D.

8. (5 分) (2013?杭州一模)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n) ,值域为[0,1],若 n﹣m 的最小值为 ,则实数 a 的值为( A. 或 B. 或 ) C. 或 D. 或

9. (5 分) (2013?杭州一模)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2 为 )

直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P,若双曲线的离心率为 5,则 cos∠ PF2F1 等于( A. B. C. D.

10. (5 分) (2013?杭州一模)已知函数 1 的零点个数为( A.4 ) B.5 C.6

,则函数 F(x)=xf(x)﹣

D.7

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请将答案填在答题卷的横线上. 11. (4 分) (2013?杭州一模)在等比数列{an}中,若 a2=1,a5=﹣8 则 a8= _________ .

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www.jyeoo.com 12. (4 分) (2013?杭州一模)若 sinx+cosx=1,则 = _________ .

13. (4 分) (2013?杭州一模)若正数 x,y 满足 x+y=1,则

的最小值为 _________ .

14. (4 分) (2013?杭州一模)无穷数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5…的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3,再接下来 4 项都是 4,…,以此类推.记该数列为{an},若 an﹣1=7,an=8,则 n= _________ 15. (4 分) (2013?杭州一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a +b = 被圆 x +y =9 所截得的弦长为 _________ . 16. (4 分) (2013?杭州一模)若实数 x,y 满足不等式组
2 2 2 2 2 2



,则直线 ax﹣by+c=0

,则 2x+y 的最大值为 _________ .
2

17. (4 分) (2013?杭州一模)设 Q 为圆 C:x +y +6x+8y+21=0 上任意一点,抛物线 y =8x 的准线为 l.若抛物线上 任意一点 P 到直线 l 的距离为 m,则 m+|PQ|的最小值为 _________ . 三、解答题:本大题有 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 18. (14 分) (2013?杭州一模)设 f(x)=6cos x﹣ (Ⅰ )求 f(x)的最大值及最小正周期;
2

sin2x(x∈R) .

(Ⅱ )在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f(A)=3

,B=

,求

的值.

19. (14 分) (2013?杭州一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 =(1,λsinA) , =(sinA, 1+cosA) ,且 ∥ (Ⅰ )若 λ=2,求角 A 的大小; (Ⅱ )若 sinB+sinC= sinA,求实数 λ 的取值范围.

20. (14 分) (2013?杭州一模)设在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N ) ,且 b1,a2,b2 成等差数列,a2,b2,a3+2 成等比数列. (Ⅰ )求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ )设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,若 恒成立,求实数 t 的取值范围.

*

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www.jyeoo.com 21. (15 分) (2013?杭州一模)设函数 f(x)=x ﹣(a+2)x+alnx, (其中 a>0) (Ⅰ )当 a=1 时,求函数 f(x)的极小值; (Ⅱ )当 a=4 时,给出直线 l1:5x+2y=m=0 和 l2:3x﹣y+n=0,其中 m,n 为常数,判断直线 l1 或 l2 中,是否存在函 数 f(x)的图象的切线,若存在,求出相应的 m 或 n 的值,若不存在,说明理由.
2

22. (15 分) (2013?杭州一模)已知抛物线 C:y =2px(p>0)和⊙ M:x +y +8x﹣12=0,过抛物线 C 上一点 P(x0, y0) (y0≥0)作两条直线与⊙ M 相切与 A、B 两点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 . (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ )当 P 点坐标为(2,2)时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ )设切线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1?k2= ,求点 P(x0,y0)的坐标.

2

2

2

2013 年浙江省杭州市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

2. (5 分) (2009?辽宁)平面向量 与 的夹角为 60°, =(2,0) ,| |=1,则| +2 |=(
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www.jyeoo.com A.

B.

C.4

D.12

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 分析: 根据向量的坐标求出向量的模,最后结论要求模,一般要把模平方,知道夹角就可以解决平方过程中的数 量积问题,题目最后不要忘记开方. 解答: 解:由已知|a|=2,
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|a+2b| =a +4a?b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ |a+2b|= , 故选 B 点评: 本题是对向量数量积的考查,根据两个向量的夹角和模之间的关系,根据和的模两边平方,注意要求的结 果非负,舍去不合题意的即可.两个向量的数量积是一个数量,它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦 的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦值确定. 3. (5 分) (2013?杭州一模)设 a∈R,则“a=4”是“直线 l1:ax+2y﹣3=0 与直线 l2:2x+y﹣a=0 平行”的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: )

2

2

2

必要条件、充分条件与充要条件的判断;两条直线平行的判定. 阅读型. 根据直线 ax+2y﹣3=0 与直线 l2:2x+y﹣a=0 的斜截式,求出平行的条件,验证充分性与必要性即可. 解:当 a=4 时,直线 4x+2y﹣3=0 与 2x+y﹣4=0 平行,∴ 满足充分性; 当:ax+2y﹣3=0 与直线 l2:2x+y﹣a=0 平行?a=4,∴ 满足必要性. 故选 C 点评: 本题考查充要条件的判定.
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4. (5 分) (2013?杭州一模)设函数 f(x)=2 ,则下列结论正确的是( ) A.f(﹣1)<f(2)<f(﹣B.f(﹣ )<f(﹣1)<fC.f(2)<f(﹣ )<f D.f(﹣1)<f(﹣ (2) (﹣1) (2) )

|x|

)<f

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 函数的性质及应用. |x| 分析: 由函数的解析式,可判断出函数 f(x)=2 为偶函数且在[0,+∞)上为增函数,将三个自变量化到同一单 调区间内,进而利用单调性可比较大小. |x| x 解答: 解:当 x≥0 时,f(x)=2 =2 为增函数 |﹣x| |x| 又∵ f(﹣x)=2 =2 =f(x) |x| 故函数 f(x)=2 为偶函数 故 f(﹣1)=f(1) ,f(﹣ )=f( ) ∵ 2> >1 故 f(2)>f( )>f(1) 即 f(﹣1)<f(﹣ )<f(2) 故选 D 点评: 本题考查的知识点是指数函数的单调性,函数的奇偶性,其中分析出函数的单调性是解答的关键.
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5. (5 分) (2013?杭州一模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣a7<a1<a8,则必定有( ) A.S7>0,且 S8<0 B.S7<0,且 S8>0 C.S7>0,且 S8>0 D.S7<0,且 S8<0 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.
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www.jyeoo.com 分析: 由已知﹣a7<a1<a8,可得 a7+a1>0,d>0,a8>a7,结合等差数列的求和公式可判断 解答: 解:∵ ﹣a7<a1<a8, ∴ a7+a1>0,7d=a8﹣a1>0 ∴ d>0,a8>a7 ∴ >0

∵ S8=4(a1+a8)>4(a1+a7)>0 故选 C 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和以及数列的函数特性.解决本题的关键是由 a1<0 分析出数列递增.

7. (5 分) (2013?杭州一模)设 α 是第三象限角,且 tanα=2,则

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cosα=﹣
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,化简要求的式子为 cosα,从而求得结果.
2 2

解答:

解:∵ α 是第三象限角,且 tanα=

=2,可得 sin α+cos α=1,可得 cosα=﹣





=

=cosα=﹣



故选 B. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,属于中档 题. 8. (5 分) (2013?杭州一模)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n) ,值域为[0,1],若 n﹣m 的最小值为 ,则实数 a 的值为( A. 或 B. 或 ) C. 或 D. 或

考点: 专题: 分析: 解答:

对数函数的单调区间. 函数的性质及应用. 通过分类讨论和利用对数函数的单调性即可得出. 解:① 若 1≤m<n,则 f(x)=﹣logax,
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∵ f(x)的值域为[0,1],∴ f(m)=0,f(n)=1,解得 m=1,n= , 又∵ n﹣m 的最小值为 ,∴ ,及 0<a<1,当等号成立时,解得 a= .

② 若 0<m<n<1,则 f(x)=logax,
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www.jyeoo.com ∵ f(x)的值域为[0,1],∴ f(m)=1,f(n)=0,解得 m=a,n=1, 又∵ n﹣m 的最小值为 ,∴ ,及 0<a<1,当等号成立时,解得 a= .

③ 若 0<m<1<n 时,不满足题意. 故选 B. 点评: 熟练掌握分类讨论的思想方法和对数函数的单调性是解题的关键.

9. (5 分) (2013?杭州一模)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:

的左右焦点,以 F1F2 为 )

直径的圆与双曲线 C 在第二象限的交点为 P,若双曲线的离心率为 5,则 cos∠ PF2F1 等于( A. B. C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ① ,再由 m +n =4c ② ,以及 =5 可得 m=8a,故
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cos∠ PF2F1 =

=

,运算求得结果.

解答: 解:设|PF1|=n,|PF2|=m,则由双曲线的定义可得 m﹣n=2a ① ,且三角形 PF1F2 为直角三角形, 故有 m +n =4c ② .再由 =5 可得 c=5a.
2 2 2

把① 和② 联立方程组解得 m=8a,故 cos∠ PF2F1 =

=

=

= ,

故选 C. 点评: 本题主要考查双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于中档题.

10. (5 分) (2013?杭州一模)已知函数 1 的零点个数为( A.4 ) B.5 C.6

,则函数 F(x)=xf(x)﹣

D.7

考点: 函数零点的判定定理;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 压轴题;数形结合;转化思想. 分析: 求函数 F(x)=xf(x)﹣1 的零点个数,我们可以转化为求函数 y=f(x)与函数 y= 图象交点的个数,根
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据函数 y=f(x)的解析式,我们在同一坐标系中分别画出两个函数图象,由图象即可求出两个函数的交点 个数,即函数 F(x)=xf(x)﹣1 的零点个数. 解答: 解:∵ ,则函数 F(x)=xf(x)﹣1 的零点个数等于

函数 y=f(x)与函数 y= 图象交点的个数, 在同一坐标系中画出两个函数图象如下图所示:
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由图可知函数 y=f(x)与函数 y= 图象共有 6 个交点 故函数 F(x)=xf(x)﹣1 的零点个数为 6 个, 故选 C 点评: 本题考查的知识点是函数零点的判定定理,其中将求函数零点的问题转化为求两个函数图象交点的问题是 解答本题的关键. 二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.请将答案填在答题卷的横线上. 11. (4 分) (2013?杭州一模)在等比数列{an}中,若 a2=1,a5=﹣8 则 a8= 64 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的通项公式或性质即可得出. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q,则 a2=a1q=1,
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=8,两式相除得 q =8,∴

3

=8×8=64.

或利用

=a2a8 解得.

故答案为 64. 点评: 熟练掌握等比数列的通项公式或性质是解题的关键.

12. (4 分) (2013?杭州一模)若 sinx+cosx=1,则

= ±1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 计算题;三角函数的图像与性质. 由 sinx+cosx=1,可求得 sin2x=0,从而可求得 cos2x,继而可得答案. 解:∵ sinx+cosx=1, 2 ∴ (sinx+cosx) =1+sin2x=1, ∴ sin2x=0, ∴ cos2x=±1,
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=

=±1.

故答案为:±1. 点评: 本题考查二倍角的正弦,考查同角三角函数间的基本关系,求得 sin2x=0 是关键,属于中档题. 13. (4 分) (2013?杭州一模)若正数 x,y 满足 x+y=1,则 的最小值为 9 .

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www.jyeoo.com 考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 将 x+y=1 代入所求关系式,利用基本不等式即可求得答案. 解答: 解:∵ x>0,y>0,x+y=1,
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∴ + =( + ) (x+y)=4+1+

+ ≥5+2

=9(当且仅当 x= ,y= 时取等号) .

故答案为:9. 点评: 本题考查基本不等式,将 x+y=1 代入所求关系式是关键,属于基础题. 14. (4 分) (2013?杭州一模)无穷数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5…的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3,再接下来 4 项都是 4,…,以此类推.记该数列为{an},若 an﹣1=7,an=8,则 n= 29 . 考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用已知条件,判断出数列中的各项特点,判断出数 8 所在的组,求出第 28 项为 7,之后的 8 项就是 8, 从而得出 n 的值. 解答: 解:∵ 一个数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…}, 它的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3,再接下来 4 项都是 4, …, 依此类推,对任意的正整数 k,该数列中恰有 k 个 k, 则当 n=7,
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1+2+3+…+n=

=

=28,

∴ a28=7,a29=a30=…=8, 若 an﹣1=7,an=8,则 n=29. 故答案为:29. 点评: 本题考查数列的函数特性.解答关键是利用已知条件,判断出数列具有的函数性质,利用函数性质求出特 定项. 15. (4 分) (2013?杭州一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a +b = 被圆 x +y =9 所截得的弦长为 2
2 2 2 2

,则直线 ax﹣by+c=0



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 求出圆心到直线的距离,利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理,求出半弦长,即可求出结果. 解答: 2 2 解:圆心(0,0)到直线的距离 d= = ,再由 a +b = ,可得 d= .
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而圆的半径为 3,故弦长为 2

=2

=2



故答案为 2 . 点评: 本题主要考查直线被圆截得的弦长的求法,注意点到直线的距离公式的应用,弦心距、半径、半弦长满足 勾股定理,是快速解题的关键,属于中档题.

16. (4 分) (2013?杭州一模)若实数 x,y 满足不等式组

,则 2x+y 的最大值为



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www.jyeoo.com 考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的阴影部分,再将目标函数 z=2x+y 对应的直线进行平移,可得
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当 x=y= 时,目标函数 z=2x+y 取得最大值. 解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到直线 y﹣x=0 的下方且在直线 x+y﹣7=0 的上方,即如图的阴影部分, 设 z=F(x,y)=2x+y,将直线 l:z=2x+y 进行平移, 当 l 经过点 A( , )时,目标函数 z 达到最大值 ∴ z 最大值=F( , )=2× + = 故答案为:

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x+y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域 和简单的线性规划等知识,属于基础题. 17. (4 分) (2013?杭州一模)设 Q 为圆 C:x +y +6x+8y+21=0 上任意一点,抛物线 y =8x 的准线为 l.若抛物线上 任意一点 P 到直线 l 的距离为 m,则 m+|PQ|的最小值为 ﹣2 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: 先根据圆的方程求得圆心坐标和半径,抛物线方程求得焦点坐标和准线方程,根据根据抛物线的定义可知, P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,根据图象可知当 P,Q,F 三点共线时,P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小,为圆心到焦点 F 的距离减去圆的半径. 解答: 解:圆 C:x2+y2+6x+8y+21=0 即 (x+3)2+(y+4)2=4,表示以 C(﹣3,﹣4)为圆心,半径等于 2 的圆. 2 抛物线 y =8x 的准线为 l:x=﹣2,焦点为 F(2,0) , 根据抛物线的定义可知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 进而推断出当 P,Q,F 三点共线时 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的焦点距离之和的最小为:
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2

2

2

|FC|﹣r=

﹣2=

﹣2,

故答案为 ﹣2. 点评: 本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想,属于中档题. 三、解答题:本大题有 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 2 18. (14 分) (2013?杭州一模)设 f(x)=6cos x﹣ sin2x(x∈R) . (Ⅰ )求 f(x)的最大值及最小正周期;
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www.jyeoo.com (Ⅱ )在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f(A)=3 ,B= ,求 的值.

考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用倍角公式和两角和差的正弦、余弦公式、三角函数的单调性和周期性即可得出; (Ⅱ )利用三角函数的单调性和余弦定理即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )f (x)= =
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=2 当

cos(2x+

)+3, 时,f (x)取得最大值为 2 =π. 得2 cos(2A+ )+3=3﹣2 , +3;

最小正周期 T=

(Ⅱ )由 f (A)=3﹣2 ∴ cos(2A+ 又由 0<A< 故 2A+ )=﹣1, ,得

<2A+

<π+

, ,∴ C= = .

=π,解得 A=

.又 B=

由余弦定理得

=2cosC=0.

点评: 熟练掌握倍角公式、两角和差的正弦余弦公式、三角函数的单调性、周期性和余弦定理是解题的关键.

19. (14 分) (2013?杭州一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 =(1,λsinA) , =(sinA, 1+cosA) ,且 ∥ (Ⅰ )若 λ=2,求角 A 的大小; (Ⅱ )若 sinB+sinC= sinA,求实数 λ 的取值范围. 考点: 余弦定理;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用向量共线的充要条件即可得出; (Ⅱ )利用正弦、余弦定理及基本不等式即可得出. 解答: 2 2 解: (Ⅰ )由 ∥ ,得 2sin A﹣1﹣cosA=0,化为 2cos A+cosA﹣1=0,
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解得 cosA= 或 cosA=﹣1(舍去) , ∴ A= .

(Ⅱ )∵ sinB+sinC= sinA, 由正弦定理得 b+c= a,

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www.jyeoo.com 由 ∥ ,得 λsin A﹣1﹣cosA=0,化为 λcos A+cosA+1﹣λ=0, 解得 cosA= 又 cosA= 或 cosA=﹣1(舍去) . = = ,
2 2

综上,λ 需要满足

,解得 λ≥ .

点评: 熟练掌握向量共线的充要条件、正弦、余弦定理、基本不等式及不等式的解法是解题的关键. 20. (14 分) (2013?杭州一模)设在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=1,b1=2,bn>0(n∈N ) ,且 b1,a2,b2 成等差数列,a2,b2,a3+2 成等比数列. (Ⅰ )求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ )设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Sn,若 恒成立,求实数 t 的取值范围.
*

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ )利用等差数列、等比数列的定义及通项公式即可得出; (Ⅱ )利用等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性即可得出. 解答: 解: (Ⅰ )设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q(q>0) .由题意,
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,解得 d=q=3.

∴ an=3n﹣2, (Ⅱ )∵ cn=

. =3bn﹣2=3×2×3
1 2 n﹣1

﹣2=2×3 ﹣2.

n

∴ Sn=c1+c2+…+cn=2×(3 +3 +…+3 )﹣2n = =3 ∴
n+1

n

﹣3﹣2n. = =3 +1.
n


x

恒成立,∴ 3 +1<2×3 +t 恒成立,即 t>(﹣3 +1)max,n∈N .

n

n

n

*

由于函数 y=﹣3 +1 在(0,+∞)上单调递减, n 1 ∴ ﹣3 +1≤﹣3 +1=﹣2, 故 t>﹣2. 点评: 熟练掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式及函数的单调性是解题的关键. 21. (15 分) (2013?杭州一模)设函数 f(x)=x ﹣(a+2)x+alnx, (其中 a>0) (Ⅰ )当 a=1 时,求函数 f(x)的极小值;
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2

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www.jyeoo.com (Ⅱ )当 a=4 时,给出直线 l1:5x+2y=m=0 和 l2:3x﹣y+n=0,其中 m,n 为常数,判断直线 l1 或 l2 中,是否存在函 数 f(x)的图象的切线,若存在,求出相应的 m 或 n 的值,若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究函数的极值;导数的几何意义. 专题: 导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ )把 a=1 代入,求导数,由导数的正负可得单调区间,进而可得极值;
2351648

(Ⅱ )把 a=4 代入可得导数≥ 解答:

,故 l1 或 l2 中,不存函数图象的切线,令导数=3,可得 n 值. , 时,f′ (x)<0;

解: (Ⅰ )当 a=1 时,f′ (x)=2x﹣3+ = 当 时,f′ (x)>0;当

当 x>1 时,f′ (x)>0. 所以当 x=1 时,f(x)取极小值﹣2. (Ⅱ )当 a=4 时,f′ (x)=2x﹣6+ ,∵ x>0, ∴ f′ (x)=2x+ ﹣6≥ ,

…(7 分)

故 l1 或 l2 中,不存函数图象的切线. 由 2x+ ﹣6=3 得 x= ,或 x=4, 当 x= 时,可得 n= ,

当 x=4 时,可得 n=4ln4﹣20. (15 分) 点评: 本题考查导数的几何意义与函数的极值,属中档题. 22. (15 分) (2013?杭州一模)已知抛物线 C:y =2px(p>0)和⊙ M:x +y +8x﹣12=0,过抛物线 C 上一点 P(x0, y0) (y0≥0)作两条直线与⊙ M 相切与 A、B 两点,圆心 M 到抛物线准线的距离为 . (Ⅰ )求抛物线 C 的方程; (Ⅱ )当 P 点坐标为(2,2)时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ )设切线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1,k2,且 k1?k2= ,求点 P(x0,y0)的坐标.
2 2 2

考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ )利用抛物线的定义即可得出; (Ⅱ )利用两圆的根轴即可得出; (Ⅲ )利用直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式即可得出. 2 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ )由⊙ M:x +y ﹣8x+12=0,配方得(x﹣4) +y =4,∴ 圆心 M(4,0) ,半径 r=2.
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www.jyeoo.com 由题意知: ,解得 p=1,
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∴ 抛物线 C 的方程为 y =2x. (Ⅱ )设 P(2,2) ,∵ P,A,B,M 四点共圆,∴ 此圆的方程为: (x﹣4) (x﹣2)+(y﹣2) (y﹣0)=0,① 2 2 又⊙ M:x ﹣8x+y +12=0,② 又由① ﹣② 得直线 AB 的方程:x﹣y﹣2=0. (Ⅲ )设过 P 的直线 l 方程为 y﹣y0=k(x﹣x0) ,由于⊙ M 与直线 l 相切,得到 整理得到: , ,



,即

,∴ x0=2 或 10,

经检验得点 P 坐标为 . 点评: 熟练掌握抛物线的定义、两圆的根轴的性质、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式是解题的关 键.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:wfy814;caoqz;吕静;翔宇老师;孙佑中;俞文刚;lincy;涨停;sxs123;minqi5; 清风慕竹(排名不分先后)
菁优网 2013 年 10 月 26 日

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