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几何证明选讲知识点总结


相似三角形的判定及有关性质
知识点 1:比例线段的相关概念 比例线段: 对于四条线段 a、b、c、d , 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等, 即 (或 a : b=c:d )那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. 注意:⑴在求线段比时,线段单位要统一,单位不统一应先化成同一单位. ⑵当两个比例式的每一项都对应相同,两个比例式才是同一比例式. ⑶

比例线段是有顺序的,如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项,那么应得比例式为: 知识点 2:比例的性质
2 基本性质:(1) a : b ? c : d ? ad ? bc ;(2) a : c ? c : b ? c ? a ? b .

a c ? b d

b d ? . c a

反比性质(把比的前项、后项交换): 合比性质:

a c b d ? ? ? . b d a c
b?a d ?c

? ? a c a?b c?d ? a ? ? ? c 等等. .发生同样和差变化比例仍成立.如: a ? c ? ? ? b d b d a ? b c ? d b d ? ? ?a ? b ? c?d

a c e m a ? c ? e ??? m a ? ? ? (b ? d ? f ? ? ? n ? 0) ,那么 ? . 等比性质:如果 ? ? b d f n b ? d ? f ??? n b
注意:实际上,由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如 ad ? bc ,除 了可化为 a : b ? c : d ,还可化为 a : c ? b : d , c : d ? a : b , b : d ? a : c ,b : a ? d : c , c : a ? d : b , d : c ? b : a ,

d :b ? c:a .
知识点 3:比例线段的有关定理 平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. 推论 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.(三角形中位线定理的逆定理) 推论 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.(梯形中位线定理的逆定理) 平行线等分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 推论:(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形第 三边. 知识点:4:黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC, BC( AC ? BC) ,且使 AC 是 AB和BC 的比例中项,叫做把线段 AB 黄金 分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,其中 AC ? 知识点 5:相似图形

5 ?1 AB ? 0.618 AB . 2

1、相似图形的定义:把形状相同的图形叫做相似图形(即对应角相等、对应边的比也相等的图形). 相似三角形的定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫 做相似比(或相似系数) 注意: (1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样,但大小可以不同; (4)相似用“∽”表示,读作“相似于” ; (5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.

2、相似三角形的判定方法 预备定理: 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理的基本图形语言:

数学符号语言表述是:? DE // BC ∴ ?ADE ∽ ?ABC . 判定定理 1:如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.简述 为:两角对应相等,两三角形相似. 判定定理 2:如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形 相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理 3:如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.简 述为:三边对应成比例,两个三角形相似. 判定定理 4:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似. 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下: 类型 全等三角形的判定 相似三角形的判定 斜三角形 直角三角形

SAS
两边对应成比 例夹角相等

SSS
三边对应成比例

AAS(ASA)
两角对应相等

HL
一条直角边与斜边对应成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相 似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌 握的方法. 3、相似三角形的性质定理: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比; (2)相似三角形的周长比等于相似比; (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方; (4)相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 4、相似三角形的等价关系 (1)反身性:对于任一 ?ABC 有 ?ABC ∽ ?ABC . (2)对称性:若 ?ABC ∽ ?A' B ' C ' ,则 ?A' B ' C ' ∽ ?ABC . (3)传递性:若 ?ABC ∽ ?A' B ' C ? ,且 ?A' B ' C ? ∽ ?A??B ??C ?? ,则 ?ABC ∽ ?A??B ??C ?? . 5、相似直角三角形 引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例,那么这两条直线平行于三角形的 第三边.(与三角形的中位线定理类似) 定理:如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么这两个直角三角形相似. 定理:如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 定理:如果两个直角三角形的斜边和一直边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 6、直角三角形的射影定理 从一定向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影;一条线段在直线上的正射影,是指线段 的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在 斜边上的射影与斜边的比例中项. 推论:直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.
C

A

D

B

经过归纳和总结,相似三角形有以下几种基本类型 ①平行线型:常见的有如下两种, DE ∥ BC ,则△ ADE ∽△ ABC
A E D A D E

B

C

B

C

②相交线型:常见的有如下四种情形,如图,已知 ?1=?B ,则由公共角 ? A 得,△ ADE ∽△ ABC
A E C 1 E B C D A

B

1 D

如下左图,已知 ?1=?B ,则由公共角 ? A 得,△ ADC ∽△ ACB ;如下右图,已知 ?B ? ?D ,则由对顶 角 ?1 ? ? 2 得,△ ADE ∽△ ABC
A E D 2 1 B C C 1 A B

D

③旋转型:已知 ?BAD ? ?CAE , ?B ? ?D ,则△ ADE ∽△ ABC ,下图为常见的基本图形.
A E D

B

C

④母子型:已知 ?ACB ? 90 ,AB ? CD ,则△ CBD ∽△ ABC ∽△ ACD .
C

?

A

D

B

解决相似三角形问题,关键是要善于从复杂的图形中分解出(构造出)上述基本图形. 知识点6:与位似图形有关的概念 1、如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应顶点的连线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. 拓展: (1)位似图形是相似图形的特例,位似图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点. (2)位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形. (3)位似图形的对应边互相平行或共线. 2、位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展:位似图形有许多性质,它具有相似图形的所有性质. 3、画位似图形 ⑴画位似图形的一般步骤: ①确定位似中心; ②分别连接原图形中的关键点和位似中心,并延长(或截取); ③根据已知的位似比,确定所画位似图形中关键点的位置; ④顺次连结上述得到的关键点,即可得到一个放大或缩小的图形. ⑵位似中心的选取: ①位似中心可以在图形外部,此时位似中心在两个图形中间,或在两个图形之外; ②位似中心可取在多边形的一条边上; ③位似中心可取在多边形的某一顶点上. 说明:位似中心的选取决定了位似图形的位置,以上位似中心位置的选取中,每一种方法都能把一个图形 放大或缩小.

圆的章节知识点总结——备课人:李发
一、圆的概念 集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合; 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; (补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线) ; 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线; 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 ? d ? r ? 点 C 在圆内; 2、点在圆上 ? d ? r ? 点 B 在圆上; 3、点在圆外 ? d ? r ? 点 A 在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d ? r ? 无交点; 2、直线与圆相切 ? d ? r ? 有一个交点; 3、直线与圆相交 ? d ? r ? 有两个交点;
A r B d C d O

r

d

d=r

r

d

四、圆与圆的位置关系 外离(图 1) ? 无交点 ? d ? R?r ; 外切(图 2) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 相交(图 3) ? 有两个交点 ? R ? r ? d ? R ? r ; 内切(图 4) ? 有一个交点 ? d ? R ? r ; 内含(图 5) ? 无交点 ? d ? R ? r ;

d R 图1 r
R

d r

d R r

图2

图3

d R

d r

r R

图4

图5

五、垂径定理 弦:连接圆上任意两点之间的线段叫做弦. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧. 推论 1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 推论 2:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; 推论 3:平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论. 即: AB 是直径;② AB ? CD ;③ CE ? DE ;④ 弧 BC ? 弧 BD ( BC 条件推出其他 3 个结论. 推论 4:圆的两条平行弦所夹的弧相等.即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD ∴弧 AC ? 弧 BD 六、 圆心角定理
A C O B D

? BD);⑤ AC ?

AD

;中任意 2 个

圆心角的定义:顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角. 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. (同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相 等,弦心距相等——也称一推三定理)即上述四个结论中,只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个 E 结论也即:① ?AOB ? ?DOE ;② AB ? DE ;③ OC ? OF ;④ BA ? ED 推论 1:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等; 推论 2:在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦也相等; 推论 3:在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角相等,所对的弧也相等;
A F O D C

七、圆周角定理 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等且都等于它所对的圆心的角的一半. 符号语言:①∵在 O 中, ?C、?D 都是弧 AB 所对的圆周角 ∴ ?C ? ?D ②∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ ?AOB ? 2?ACB 图形语言: C
C
D C

B

C

B

O A

B
B O A

O

A

B

O

A

推论 1:同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角; ( 90 的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径)
? ? 符号语言:∵在 O 中, AB 是直径∴ ?C =90 ;或∵ ?C =90 ∴ AB 是直径 ?

推论 3:三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 符号语言:在△ ABC 中,∵ OA ? OB ? OC ∴△ ABC 是直角三角形或 ?C =90
?

注:此推论实际上是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.

八、圆内接四边形 圆内接四边形:如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆的内接多边形,这个圆叫做多边 形的外接圆. 圆的内接四边形的性质定理:圆的内接四边形的对角互补,圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. 符号语言:∵在 O 中,四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ ?C ? ?BAD ? 180?,?B ? ?D ? 180?,?DAE ? ?C 图形语言:
C D

B A E

圆的内接四边形的判定定理 1:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形四个顶点共圆. 符号语言:∵在四边形 ABCD 中, ?C ? ?BAD ? 180?,?B ? ?D ? 180? ∴ A、B、C、D 四点共圆 圆的内接四边形的判定定理 2:如果四边形的一个外角等于它内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. 符号语言:∵在四边形 ABCD 中, ?DAE ? ?C 九、 切线的性质与判定定理 1、切线的定义:当直线和圆有且只有一个公共点时,我们把这条直线叫做圆的切线. (1)判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言:∵ MN ? OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是 O 的切线 图形语言:
B

∴ A、 B 四点共圆 、 C 、 D

O
O P

M

A

N
A

(2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理:即:(1)经过圆心(2)经过切点(3)垂直于切线.以上三个条件中, 知道其中两个条件推出最后一个条件.(∵ MN 是切线∴ MN ? OA ) 2、切线长的定义:经过圆外一点作圆的切线,该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长. 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 符号语言:∵ PA、PB 是的两条切线 ∴ PA=PB 且 PO 平分 ?APB 图形语言:

3、弦切角:顶点在圆上,且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角) 弦切角定理:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 符号语言:∵ ?BAC 是圆的一个弦切角 ∴ ?BAC ? ?APC

4、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言: ∵在⊙ O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,∴ PA ? PB ? PC ? PD 图形语言:
D B O P C A

C B O A D

E

推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言:∵在⊙ O 中,直径 AB ? CD , ∴ CE ? AE ? BE
2

5、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. 符号语言:∵在⊙ O 中, PB 、 PE 是割线 ∴ PC ? PB ? PD ? PE

6、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 符号语言:∵在⊙ O 中, PA 是切线, PB 是割线 图形语言:
D P C O B A E

∴ PA ? PC ? PB
2

切线长定理 弦切角定理 相交弦定理 割线定理 切割线定理

从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 弦切角等于它所夹弧所对的圆周角. 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等. 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等. 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

十、圆内正多边形的计算 (1)正三角形:在 O 中,△ ABC 是正三角形,有关计算在 Rt △ BOD 中进行, OD : BD : OB ? 1: 3 : 2 (2)正四边形:同理,四边形的有关计算在 Rt △ OAE 中进行, OE : AE : OA ? 1:1: 2 (3)正六边形:同理,六边形的有关计算在 Rt △ OAB 中进行, AB : OB : OA ? 1: 3 : 2
C
B C O

O A

O

B

D

A

E

D

B A

十一、圆的有关概念 1、三角形的外接圆、外心. 2、三角形的内切圆、内心.
轴对称 3、圆的对称性。 ? ? ? ?中心对称

→用到:线段的垂直平分线及性质 →用到:角的平分线及性质

十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形: (1)弧长公式: l ?

n? R ? R? ; 180

(2)扇形面积公式: S ? 【 n :圆心角

n? R 2 1 ? lR 360 2
l :扇形弧长 S :扇形面积】
2

R :扇形多对应的圆的半径

2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图 S表 ? S侧 ? 2S底 ? 2? rh ? 2? r 2 ; (2)圆柱的体积: V ? ? r h 3 .圆锥侧面展开图 ①圆柱侧面展开图是 ②圆锥侧面展开图是 形,它的长是底面的 形,它的半径是这个圆锥的 ,高是这个圆柱的 ; .

,它的弧长是这个圆锥的底面的

(1) S表 ? S侧 ? S底 ? ? Rr ? ? r 2 ; (2)圆锥的体积: V ? ? r h
2
A
B1

1 3

A
O S l

D

D1
O

母线长 底面圆周长
R

B

B

C

C1
A

C

r

B

4、求面积的方法 (1)直接法→由面积公式直接得到; (2)间接法→即:割补法(和差法)→进行等量代换;


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