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新课标高三数学总复习课本重难考点大全(第六章:不等式、推理与证明)


新课标高三数学总复习课本重难考点大全

第六章:不等式、推理与证明
Ⅰ 不等关系与不等式,一元二次不等式、可分解因式的高次不等式、绝对值不等式、分式不等式及其解法 1、实数的运算性质和大小顺序间的关系 a ? b ? a ? b ? 0 ;a ? b ? a ? b ? 0 ;a ? b ? a ? b ? 0 ; 2、不等式的基本性质(熟记) (1

)反对称性: 如果 a ? b ,那么 b ? a ;如果 b ? a ,那么 a ? b ; (2)传递性: 如果 a ? b 且 b ? c ,那么 a ? c ; 如果 c ? b 且 b ? a ,那么 c ? a ; (3)可加性: 如果 a ? b ,那么 a ? c ? b ? c ; (4)可乘性: 如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc ; 如果 a ? b 且 c ? 0 ,那么 ac ? bc ; (5)乘方法则: 如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b ? 0, a ? b ( n ? N *, n ? 1) ;
n n

(6)开方法则: 如果 a ? b ? 0 ,那么 n a ? 3、一元二次不等式的解法(略) 复习韦达定理:对于方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 )两根为 x1 , x 2 ,则有 x1 ? x 2 ? ?
2

n

b ( n ? N *, n ? 1) ;

b a

, x1 x 2 ?

c a

4、绝对值不等式的解法(重点掌握) (1)绝对值的意义: | a |? ? (2)绝对值不等式的解法: 1)当 a ? 0 时, | x |? a ? x ? a ? x ? a 或 x ? ? a ; | x |? a ? x ? a ? ? a ? x ? a ;
2 2 2 2

? a (a ? 0) ? ? a (a ? 0)



2)当 a ? 0 时,不等式 | x |? a 的解集为 x ? 0 ;不等式 | x |? a 的解集为无解或空集; 3)当 a ? 0 时,不等式 | x |? a 的解集为 R ;不等式 | x |? a 的解集为无解或空集; 4)当 c ? 0 时, | ax ? b |? c ? a x ? b ? c 或 a x ? b ? ? c ;
| ax ? b |? c ? ? c ? ax ? b ? c ;

(3) | x ? a | ? | x ? b |? c ( ? c )( c ? 0) 型不等式的解法: (重点掌握) 1)零点分段法:即令各个绝对值为 0,解出零点,然后在数轴上把数轴分成几个区间来分别讨论; 2)利用绝对值的几何意义:数形结合思想;
把生活变成梦想,把梦想变成现实! Where there is a will,there is a way! -1-

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3)通过构造函数,利用函数图像求解(函数与方程结合思想) ,一般需要按 1)的方法将函数写成分段函数形式; (4)绝对值不等式的几个重要结论: (重点掌握) 1)如果 a , b 是实数,那么 | a ? b |? | a | ? | b | ,当且仅当 ab ? 0 时,等号成立; 2)如果 a , b 是实数,那么 || a | ? | b ||? | a ? b | ,当且仅当 a , b 异号时,等号成立; 3)如果 a , b , c 是实数,那么 | a ? c |? | a ? b | ? | b ? c | ,当且仅当 ( a ? b )( b ? c ) ? 0 时,等号成立; 5、简单分式不等式的解法(掌握) 此类不等式切忌去分母,一律移项通分化为
? f ( x ) g ( x ) ? 0(? 0) ? 0 ( ? 0 ) 形式,再转化为 ? 求解; g (x) ? g (x) ? 0
f (x)
n n

6、可化为 ( x ? a )( x ? b )( x ? c ) ? 0 ( ? 0 ) 或
n

( x ? a )( x ? b )( x ? c )

( x ? d )( x ? e )( x ? f )

? 0 ( ? 0 ) 的高次不等式的解法: (掌握)

数轴标根法(穿针引线法、数轴穿根法)解高次不等式(考试一般最多只考查到三项)

基本思路: 将不等式化为含未知数一次因式的连乘或连除即:
( x ? a )( x ? b )( x ? c )( x ? d )( x ? e ) ? 0 ( ? 0) 或 ( x ? a )( x ? b ) ( x ? c )( x ? d )( x ? e ) ? 0 ( ? 0) ,找到使得各个因子等于零

的 x 的值, 将这些值按大小关系在数轴上标出, 再从右上方开始画一条曲线, 顺次穿过各点, 数轴上方的部分标 “+” 即不等式 >0 时的取值范围,数轴下方的部分标“-”即不等式<0 时的取值范围。 注意事项: 1)当为连续相乘时,可不考虑“不等式 ? 0( ? 0) ”是否可以取得使一次因子为 0 的值; 当有除数因子存在时,必须考虑“不等式 ? 0( ? 0) 是否可以取得使一次因子为 0 的值; ” 2)当化简的不等式里面存在同一个一次因式的多次方时,则在“穿线”时要遵循:奇穿偶不穿规则,即如果 是偶数次方,则画曲线时不考虑该点,越过该点穿越下一个点,如果是奇数次方,则必须要穿过该点。 Ⅱ 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(必须掌握,考试概率极大,主要是选择题) 1、二元一次不等式表示的平面区域: 二元一次不等式 A x ? B y ? C ? 0( ? 0) 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? C ? 0 某一侧所有点组成的平 面区域.(虚线表示区域不包括边界直线). 对于在直线 Ax ? By ? C ? 0 同一侧的所有点 ( x , y ) ,实数 Ax ? By ? C 的符号相同,所以只需在此直线的某一 侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax 0 ? By 0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地, 当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点) 2、线性规划问题的求解步骤: (1)先设出决策变量,找出约束条件和线性目标函数;
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(2)作出相应的图象(注意特殊点与边界) ; (3)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(小)值; A、 在在求线性目标函数 z ? mx ? ny 的最大 (小) 直线 mx ? ny ? 0 往右 时, (左) 平移则值随之增大 (小) , 这样就可以在可行域中确定最优解。对线性目标函数 z ? Ax ? By 中 B 的符号一定要注意:当 B ? 0 时,当直 线过可行域且在 y 轴截距最大时, z 值最大,在 y 轴截距最小时, z 值最小;当 B ? 0 时,当直线过可行域且 在 y 轴截距最大时, z 值最小,在 y 轴截距最小时, z 值最大。 B、如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值,最优解一般就是多边 形的某个顶点。 C、由于最优解是通过图形来观察的,故作图要准确,否则观察的结果可能有误。 3、会求八种常见的线性规划问题: (详见专题讲解) Ⅲ 基本不等式 1、常用的基本不等式如下: (易考内容) A、 a ? b ? 2 a b ( a ? 0, b ? 0 ) (ab 乘积为常数使用) ,即
a?b 2 a?b 2 a?b?c 3 ? a b ( a ? 0, b ? 0) 算数平均数大于几何平均数;

a ? b ? 2 a b ( a , b ? R ) (ab 乘积为常数时使用) a b ? ( ;
2 2

) ( a ? 0, b ? 0 ) (a+b 为常数时使用)
2

B、 a ? b ? c ? 3 3 a b c ( a , b , c ? R ) (abc 乘积为常数时使用)可变形为 a b c ? (

) (a+b+c 为常数时使用)

3

C、 (

a?b 2

) ?
2

a ?b
2

2

( a , b ? R ) (a+b 为常数时使用) ;

2

2、两个重要结论: (易考结论,易出现在选择填空) a、两个数和一定,积有最大值;若 x ? y ? s 和为定值,则当 x ? y 时,积 x y 有最大值
s
2



4

b、两个数积为定值,则和有最小值;若 xy ? p ( p ? 0 ) 积为定值,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2

p ;

Ⅳ 合情推理与演绎推理 (一)合情推理 1、类比推理: (1)类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性越多,相似的性质 与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠; (2)类比推理的一般步骤: A、找出两类事物之间的相似性或者一致性; B、得出一个明确的命题(猜想) ; 2、归纳推理: 是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题也会越可靠,它 是一种发现一般性规律的重要方法,其显著特点有: (熟记)
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(1)归纳是一句特殊现象推断一般现象,因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围; (2)归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性; (3)归纳的前提是特殊的情况,因而归纳立足于观察、经验和和实验的基础之上,提出带有规律性的结论; (二)演绎推理(熟记) 演绎推理的主要形式是三段论,其一般模式为: (1)大前提(已知的一般原理)(2)小前提(所研究的 ; 特殊情况)(3)结论(判断) ; ,其本质就是利用一般原理推出相应的结论,再利用结论之间的联系推导出结论成立; Ⅴ 直接证明与间接证明 1、直接证明方法: (1)综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发,经过一系列推理论证,推导出所要证明的结 论成立; (2)分析法:从要证明的结论出发逐步寻求使它成立的充分条件,直至把要证明的结论归结为判断它的一个明 显成立的条件为止; 在解决问题的时候, 经常把综合法与分析法合起来使用; 使用分析法寻找成立的条件, 再用综合法写出证明过程; 2、间接证明方法: 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而说明原命题成立; 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知的条件,定义或公理或定理等矛盾。 (注意: 假设是成为推理的一个重要条件) 3、数学归纳法(必须掌握) 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题的步骤如下: (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n 0 时命题成立; (2) (归纳地推)假设 n ? k ( k ? n 0 , k ? N *) 时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立。就可以断定对从 n 0 开 始的所有正整数 n 都成立; 其证明的方法叫数学归纳法; 理解第一步是推理的基础,第二步是推理的依据,两者缺一不可。特别地,在证明第二步 n ? k ? 1 时命题成立, 一定要用上归纳假设 n=k 时命题成立;另外在证明第二步时首先要有明确的目标,即确定证题方向;数学归纳法常 和推理综合应用,特别常以归纳推理为前提。

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