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2015周练七


金沙中学高三数学周练试卷(七)
命题人:何彩霞 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A ? ?x | -1 ? x ? 1?,则 A ? Z = 答案: ?- 1,0,1? 2.命题“若实数 a 满足 a≤2 ,则 a 2 ? 4 ”的否命题是 答案:真 解析:原命题的否命题为“若实数 a 满足 a > 2 ,则 a

2 ? 4 ” ,此命题的意思是 ?x ? (2, ??) ,都有 命题(填“真” 、 “假”之一) . . 审核人:钱玉飞

a2 ?[4, ??) ,所以成立。
错误理解:认为 a 2 ? 4 取不到,与值域混淆起来。 3.函数 f ( x) ? 2 ? log2 x 的定义域为 答案: ?0,4? .

, 0) 且与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的直线方程为_________________. 4.过点 P(1
5.底面边长为 2,高位 1 的正四棱锥的侧面积为 . . .

6.已知 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? (1, 2 ) ,则向量 a , b 的夹角为 7.在等比数列 ?a n ?中,若 a1 ? 1 , a3a5 ? 4(a4 ?1) ,则 a 7 =

8.已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ?图象上的任意两点,其中

? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0 ,且角 ? 的终边经过点 P?1,?1? ,若 | f ?x1 ? ? f ?x2 ? |? 2 时, | x1 ? x2 | 的

最小值为

? ?? ? ,则 f ? ? 的值是 3 ?2?
2



9.已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ,则不等式 f (log2 x) ? f (2) 的解集为

.

10.在等差数列 {an } 中, 已知首项 a1 ? 0 , 公差 d ? 0 .若 a1 ? a2 ? 60, a2 ? a3 ? 100 , 则 5a1 ? a5 的最大值为 .

11.已知菱形 ABCD 中,对角线 AC ? 3 , BD ? 1 , P 是 AD 边上的动点,则 PB ? PC 的最小 值为 .
1

A C

B

D
第 12 题

12.如图,在△ABC 中, AB ? 3 , AC ? 2 , BC ? 4 ,点 D 在边 BC 上,

?BAD ? 45°,则 tan ?CAD 的值为



13.设 x ,y ,z 均为大于 1 的实数, 且 z 为 x 和 y 的等比中项, 则

lg z lg z 的最小值为 ? 4lg x lg y



?1 ? x ? 1, x ? 1, 14.已知函数 f ( x) ? ?10 则方程 f ( x) ? ax 恰有两个不同的实数根时,实数 a 的取值 ? ?ln x ? 1, x ? 1,
范围是_______________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. 如图,在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // CD , AB1 ? BC ,且 AA1 ? AB . (1)求证: AB ∥平面 D1 DCC1 ; (2)求证: AB1 ⊥平面 A1 BC . A1 D1 B1 C1

D A B
(第 15 题)

C

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAB ? 平面 ABCD ,BC//平面 PAD, ?PBC ? 90 ,
0

?PBA ? 90? .求证: (1) AD // 平面 PBC ;

P

(2)平面 PBC ? 平面 PAB . A D

B

C

??? ? ??? ? 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .若 b ? 4 , BA ? BC ? 8 .
2

(1)求 a 2 ? c 2 的值; (2)求函数 f ( B) ? 3sin B cos B ? cos2 B 的值域.

18.已知 ?ABC 的内角 A 的大小为 120°,面积为 3 . (1)若 AB ? 2 2 ,求 ?ABC 的另外两条边长; (2)设 O 为 ?ABC 的外心,当 BC ?

21 时,求 AO ? BC 的值.

19. 已知函数 f ( x) ? ln x . (1)求函数 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线方程; (2)若函数 y ? f ( x ) ?

k 1 在 [ 2 , ?? ) 上有两个不同的零点,求实数 k 的取值范围; x e

(3)是否存在实数 k ,使得对任意的 x ? ( , ??) ,都有函数 y ? f ( x ) ? 的图象的下方?若存在,请求出最大整数 k 的值;若不存在,请说理由. (参考数据: ln 2 ? 0.6931 , e 2 ? 1.6487 ).
1

1 2

k ex 的图象在 g ( x) ? x x

3

20.已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 是正项数列,?an ? 为等差数列,?bn ? 为等比数列,?bn ? 的前 n 项和为

S n n ? N? ,且 a1 =b1 ? 1, a2 =b2 +1 , a3 =b3 —2.
(1)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)令 cn ? (3)设 d n ?

?

?

bn ?1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; S n ? S n ?1

an 2 ,若 d n ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. bn ?1

4

答案 1. ?-1,0,1? 8. 2 2

2.真

3. ?0,4?

4. 2x ? y ? 2 ? 0 11. 1 2

5. 4

2

6. 2? 7.4
3

(0,1 ) ? (4, ? ?) 10.200 9.

12. 8 ?

15 7

13. 9 8

14. ?- 1,0? ? ?

?1 1? ,2 ? ?10 e ?

当 直 线 y ? ax 与 f ( x) ? ln x ? 1( x ? 1) 相 切 时 易 求 得

1 1 1 ? ? 2 ,结合图像可知 , 2 e 10 e 1 1 ? a ? 2 时, y ? ax 与 f ( x) ? ln x ? 1( x ? 1) 有 两 个 不 同 交 点 , 与 当 10 e 1 f ( x) ? x ? 1( x ? 1) 没有交点; 10 a?

-1 X=1

16.证明: (1)因为 BC∥平面 PAD, 而 BC? 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 PAD=AD, 所以 BC∥AD. 因为 AD?平面 PBC,BC? 平面 PBC, 所以 AD∥平面 PBC. (2)自 P 作 PH⊥AB 于 H,因为平面 PAB⊥平面 ABCD,且平面 PAB∩平面 ABCD=AB, 所以 PH⊥平面 ABCD. 因为 BC? 平面 ABCD,所以 BC⊥PH. 因为∠PBC=90°,所以 BC⊥PB, 而∠PBA≠90°,于是点 H 与 B 不重合,即 PB∩PH=H. 因为 PB,PH? 平面 PAB,所以 BC⊥平面 PAB. 因为 BC? 平面 PBC,故平面 PBC⊥平面 PAB.
5

??? ? ??? ? 17.【解】 (1)因为 BA ? BC ? 8 ,所以 ac cos B ? 8 .

??????????? 3 分

由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ? a 2 ? c 2 ? 16 , 因为 b ? 4 ,所以 a 2 ? c 2 ? 32 . (2)因为 a 2 ? c 2 ≥ 2ac ,所以 ac≤ 16 , 所以 cos B ? 8 ≥ 1 . ac 2 ??????????? 6 分 ??????????? 8 分

π 因为 B ? ? 0, π ? ,所以 0 ? B≤ . 3

??????????? 10 分

因为 f ( B) ? 3sin B cos B ? cos2 B ? 3 sin 2B ? 1 (1 ? cos 2B) ? sin(2B ? π ) ? 1 ,?? 12 分 2 2 6 2 由于

π π 5π ? 2B ? ≤ ,所以 sin(2B ? π ) ? ? 1 ,1? , 6 ? ?2 ? ? 6 6 6
??????????? 14 分

所以 f ( B ) 的值域为 ?1, 3 ? . ? 2? ? ?

18.解: (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 于是 因为 由余弦定理得 (2)由 得 b +c +4=21,即 , ,
2 2

,所以 bc=4. ?(3 分) ,所以 . . ?(6 分) ,解得 b=1 或 4.?(8 分)

设 BC 的中点为 D,则 因为 O 为△ABC 的外心,所以

于是

.?(12 分)

所以当 b=1 时,c=4,



当 b=4 时,c=1,

.?(14 分)

6

19.解: (1)因为 f ?( x) ?

1 ,所以 f ?(1) ? 1 ,则所求切线的斜率为 1, x

2分 4分

又 f (1) ? ln1 ? 0 ,故所求切线的方程为 y ? x ? 1 . 解法一:(2)因为 f ( x) ? 不同的根. 由 ln x ?

k k k ?1 ? ? ln x ? ,则由题意知方程 ln x ? ? 0 在 ? 2 , ?? ? 上有两个 x x x ?e ?

k ? 0 ,得 ? k ? x ln x , x
1 . e

6分

令 g ( x) ? x ln x ,则 g ?( x) ? ln x ? 1,由 g ?( x) ? 0 ,解得 x ? 当 x?? 增,

? 1 1? ?1 ? , ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减;当 x ? ? , ?? ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递 2 ?e e ? ?e ?
y

1 1 1 时, g ( x) 取得最小值为 g ( ) ? ? . e e e 1 2 又 g ( 2 ) ? ? 2 , g (1) ? 0 (图象如右图所示) , e e 1 2 2 1 所以 ? ? ? k ? ? 2 ,解得 2 ? k ? . e e e e
所以当 x ? (3)假设存在实数 k 满足题意,则不等式 ln x ?
x 即 k ? e ? x ln x 对 x ? ( , ??) 恒成立.

2 e2 1 ? 1e ?

O

1 1 e2 e

8分 1 x

1

1

10 分

1 k ex ? 对 x ? ( , ??) 恒成立. 2 x x

1 2

令 h( x) ? e ? x ln x ,则 h?( x) ? e ? ln x ?1 ,
x x x 令 r ( x) ? e ? ln x ? 1,则 r ?( x ) ? e ?
x

12 分

1 , x
1

r ?( ) ? e 2 ? 2 ? 0 , r?(1) ? e ? 1 ? 0 , 因为 r ?( x) 在 ( , ??) 上单调递增, 且 r ?( x) 的图象在 ( ,1)
上不间断,所以存在 x0 ? ( ,1) ,使得 r?( x0 ) ? 0 ,即 e 0 ?
x

1 2

1 2

1 2

1 2

1 ? 0 ,则 x0 ? ? ln x0 , x0

所以当 x ? ( , x0 ) 时, r ( x) 单调递减;当 x ? ( x0 , ??) 时, r ( x) 单调递增, 则 r ( x) 取到最小值 r ( x0 ) ? e 0 ? ln x0 ? 1 ? x0 ?
x

1 2

1 1 ? 1 ? 2 x0 ? ? 1 ? 1 ? 0 , 14 分 x0 x0

所以 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在区间 ( , ??) 内单调递增.

1 2

7

1 1 1 1 1 1 2 所以 k ? h( ) ? e ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525 , 2 2 2 2

所以存在实数 k 满足题意,且最大整数 k 的值为 1. 解 法 二 :(2) 令 h( x) ? ln x ?

16 分

k 1 x?k , 依 题 设 , 在 [ 2 , ??) 上 h( x) 有 两 个 零 点 , h?( x) ? 2 , 若 e x x

k ? 0 ? h?( x) ? 0, h( x) ? 则 h( x) 至多一个零点,不合题意,? k ? 0. 令 h?( x) ? 0 ? x0 ? k .当 x ? k , h?( x) ? 0, h( x) ? , 当 0 ? x ? k , h?( x) ? 0, h( x) ? ,? k 是 h( x) 在 (0, ??) 上唯一的最小值点, 故
须 h(k ) ? 1 ? ln k ? 0 ? k ?

1 ① . 又 注意 到 1 ? k 且 h(1) ? k ? 0 ? 在 (k , ??) 上 h( x) 已 有 一 个 零 e

?k ? 1 2 2 2 1 ? e ? k ? 2 ②由①,② 2 ? k ? . 点,?只要 ? e e e ? h( 1 2 ) ? 0 e ?
(3)易证 ln x ? x ? 1, x ? 1 ? e x (证略) 依题意,在 ( , ??) 上,恒有 ln x ?

1 2

k ex ? 即 k ? e x ? x ln x , x x

记 r ( x) ? e x ? x ln x, r ?( x) ? e x ? 1 ? ln x ? ( x ? 1) ? 1 ? ( x ? 1) ? 1 ? 0,?r( x) ? ,其取值范围为
1 1 1 1 1 1 1 (r ( ), ??),? k ? r ( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 ? 1.99525.? .存在实数 k ,其最大整数为 1 . 2 2 2 2 2

20.解: (1)设公差为 d ,公比为 q ,由已知得 a1 =b1 ? 1, d =q , 2d =q ? 3 ,
2

解之得: d ? q ? 3 , an ? 3n ? 2 .又因 bn >0,故 bn ? 3n?1 .

4分

(2) Sn ?

b1 ?1 ? q n ? 1? q

?

1 ? 3n 3n ? 1 , ? 1? 3 2
8分

所以 cn ?

4? 3n 1 1 ?2 ( n ? n ?1 ) , n n ?1 ? 3 ? 1?? 3 ? 1? 3 ? 1 3 ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2( ? ? ? ? ? ? n ? n ?1 ) ? 2( ? n ?1 ) . 10 分 2 8 8 26 3 ?1 3 ?1 2 3 ?1

a 2 ? 3n ? 2 ? (3) d n ? n ? , bn?1 3n
2

d n?1 ? d n ?

(3n ? 1) 2 (3n ? 2) 2 ? 18n 2 ? 42n ? 11 ? ? 3n ?1 3n 3n ?1
8

12 分

当 n ? 1, 2 时, dn ? dn?1 , 当 n ? 3,n ? N 时, dn ? dn?1 ,
?

14 分

又因为 d1 ?

1 16 49 100 ? 49 ? , d 2 ? , d3 ? , d4 ? ,所以 m 的取值范围为 ? ,?? ? .16 分 3 9 27 81 ? 27 ?

9


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