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高中数学竞赛辅导课件——三角函数(二)


竞赛辅导─三角函数(二) 三角恒等变形
引入 思考1求值 知识要点

思考2求角

思考3证明

思考 3 的课外练习

竞赛辅导─三角函数(二) 三角恒等变形
众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。 要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公 式以及一般的代数变形技巧外,更

重要的是抓住三 角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析, 灵活解题。

常用结果(含课本学习过的及教程第 190 页新介绍的): ⑴“1”的变形;如 sin2 ? ? cos2 ? ? 1 .

第二讲──三角恒等变形

⑵两角和与差的三角函数; 如 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 2 tan ? ⑶倍角公式;如 tan 2? ? 2 ?? tan ? 2 1 ? tan ? 2 tan ? ⑷万能公式;如 cos 2? ? , sin 2? ? 2 ?? tan 2 ? ?? tan ? 1 ⑸积化和差公式:如 cos ? cos ? ? ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? , 2 ? ?? ??? )sin( ) 与和差化积公式:如 cos ? ? cos ? ? 2sin( 2 2

⑹三倍角公式: ? ? 3 sin3? ? 3sin? ? 4sin ? ? 4sin(60 ? ? )sin? sin(?? ? ? )

cos3? ? 4cos ? ? 3cos? ? 4cos(60 ? ? )cos? cos(?? ? ? ) ⑺与三角形有关的公式: ① tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C ② cot A cot B ? cot B cot C ? cot C cot A ? 1 A B B C C A ③ tan tan ? tan tan ? tan tan ? 1 2 2 2 2 2 2 r A B C ④ ? 4sin sin sin ? cos A ? cos B ? cos C ? 1 R 2 2 2 三角恒等变形的运用(见课本第191页):
3 ? ?

(1)求值,(2)求角;(3)恒等式与不等式的证明等.

自学教程第 191 页的例 1、例 3, 第 198 页的例 2、例 3、例 5. 119 思考 1:求值 ? 5 sin 2? 65 ⑴已知 sin( ? ? ) ? ,则 =_______. ? 4 13 cos( ? ? ) 4
解法:三角公式的灵活运用
2 2

3 ⑵求值: cos 10? ? cos 50? ? sin 40? sin 80? ? 4 法一:降次,和差化积,积化和差运用
法二:洞察力的运用,

⑶已知△ABC 中,已知 a ? c ? 2b , 1 A C 求 tan tan 的值. 2 2 3
3答案

练习

⑶已知△ABC 中,已知 a ? c ? 2b , A C 求 tan tan 的值. 2 2

分析:目标是角的形式,先化切为弦,以便 更好把握其可能突破方向.

尝试把条件的关系转化为角的关系, 尽量往目标靠?? 解:由题意知 sin A ? sin C ? 2sin B = 2sin( A ? C ) , A?C A?C ? 2cos 得 cos 2 2 A C A C A C 1 ∴ 3sin sin ? cos cos ,∴ tan tan = 2 2 2 2 2 2 3

练习 1:求值 ? ? ⑴(教程 P195 第 2 题) 4sin40 ? tan40 的值是(

D)

3 3 1 (A) (B) (C) (D) 3 2 2 3 ⑵(教程 P195 第 4 题)在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别是
C?A A?C a、b、c , c ? a 等于 AC 边上的高, sin ? cos 若 则 的 2 2 值是( ) 1 1 (A)1 (B) (B) (D) ? 1 2 3 7 ? ? 6 6 3. (教程 P196 第 9 题)若 60 ? ? ? 30 ,且 sin ? ? cos ? ? , 12 那么 2007cos ? =_____. 活用“1”的变形 4. (教程 P219 例 7) sin3 x sin 3 x 的最大值是_______.

A

669 30 2 1 4

思考 2:求角 ⑴(教程 P196 第 12 题)已知 ?、? 为锐角,

3 且 cos ? ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? ,则 ? ? ???? ? ? ????? 3 3 2 ⑵已知 0 ≤? ? ? ? ? ? 2? , cos ? ? cos ? ? cos ? ? ? , 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? ? ,则 ? ? ? 的值为( B) 3? 2? 2? (A) (B) (C) ? (D)不能确定 4 3 3

?

?

练习

练习 2:求角 ⑴(教程 P203 第 7 题)设 ? ? R , 0 ? ? ? 2? ,若关于 x 的 二 次 不 等式 x2 cos? ? 2sin? (sin? ? cos? ) x ? sin? ? 0 7? 11? ? 的值是_______________. 的解集为区间 (1,10) ,则 或 6 6

思考 3:证明 (教程 P222 第 13 题)若 x , y , z 为实数, 0 ? x ? y ? z ? 证明:

?
2

,

?
2

? 2sin x cos y ? 2sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

练习

练习 3:

? 1. (教程 P203 第 11 题)求证:当 0 ? x ? 时, sin 2 x ? cos x ? 1 3

2.已知 ?、? 、? 为锐角, sin2 ? ? sin2 ? ? sin2 ? ? ? ? 3? 求证: ? ? ? ? ? ? ? 2 4


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