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2012高考理科数学概率统计 (答案详解)


2012 年高考试题汇编(理) ---概率统计 (一)选择题
1、 (全国卷大纲版)将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的 字母也互不相同,则不同的排列方法共有( ) (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 24 种

(D) 36 种

2、 (全国卷新课标版)将 2 名教师,

4 名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) (A)12 种 (B)10 种 (C)9 种 (D)8 种

3、 (北京卷)设不等式组 ?

?0 ? x ? 2, 表示平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此 ?0 ? y ? 2

点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( ) (A)

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4

4、 (北京卷)从 0,2 中选一个数字.从 1、3、5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数。其 中奇数的个数为( ) (A) 24 (B) 18 (C) 12 (D) 6 5、 (福建卷)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影 部分的概率为( )

1 4 1 (C) 6
(A)

1 5 1 (D) 7
(B)

6、 (湖北卷)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 在 扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 (A) 1 ?

2

?

(B)

2 (C) ?

1 1 ? 2 ? 1 (D) ?

7、 (辽宁卷)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家。若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 (A) 3? 3! (B) 3? (3!)
3

(C) (3! )

4

(D) 9!

8、 辽宁卷) ( 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C 。 现做一矩形, 邻边长分别等于线段 AC , 2 CB 的长,则该矩形面积小于 32cm 的概率为 (A)

1 6

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

4 5

9、 (山东卷)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为 (A)7 (B) 9 (C)10 (D)15 10、 (山东卷)现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张,从中任取 3 张,要求这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不同取法的种数为 (A)232 (B)252 (C)472 (D)484 11、 (陕西卷)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计 数据用茎叶图表示(如图所示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 , x乙 ,中位数分别为

m甲 , m乙 ,则(



(A) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (B) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (C) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (D) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

12、 (陕西卷)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的 情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( (A) 10 种 (B)15 种 ) (D) 30 种

(C) 20 种

13 、( 上 海 卷 ) 设 10 ? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? 10 , x5 ? 10 , 随 机 变 量 ? 1 取 值
4 5

x1、x2、x3、x4、x5











0.2











?2





x1 ? x2 x2 ? x3 x3 ? x4 x4 ? x5 x5 ? x1 的概率也均为 0.2 ,若记 D?1、D? 2 分别为 、 、 、 、 2 2 2 2 2 ?1、? 2 的方差,则( ) (A) D?1 ? D? 2 (B) D?1 ? D? 2 (C) D?1 ? D? 2 (D) D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x 4 的取值有关

14、 (浙江卷)若从 1,2,2,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不 同的取法共有( ) (A)60 种 (B)63 种 (C)65 种 (D)66 种

15、 (安徽卷)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示,

则( ) (A)甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 (B)甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 (C)甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 (D)甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 16、 (安徽卷) 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换 )6 一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品。已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换,则收 到 4 份纪念品的同学人数为( ) (A)1 或 3 (B)1 或 4 (C)2 或 3 (D)2 或 4 17、 (广东卷) .从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为 0 的概率 是( )

(A)

4 9

(B)

1 3

(C)

2 9

(D)

1 9

18、 (四川卷)方程

ay ? b2 x 2 ? c 中的 a, b, c ? ??3, ?2, 0,1, 2,3? ,且 a, b, c 互不相同,在
(D)80 条

所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有( ) (A)60 条 (B)62 条 (C)71 条

19、江西卷) ( .样本 ? x1 , x2 ,? , xn ? 的平均数为 x , 样本 ? y1 , y2 ,? , ym ? 的平均数为 y x ? y 。

?

?

若样本 ? x1 , x2 ,? , xn , y1 , y2 ,? , ym ? 的平均数 z ? ? x ? ?1 ? ? ? y ,其中 0 ? ? ? 的大小关系为( (A) n ? m ) (B) n ? m (C) n ? m

1 ,则 n, m 2

(D)不能确定

(二)填空题
1、 (全国卷新课标版) 某个部件由三个元件按下图方式连接而成, 元件 1 或元件 2 正常工作, 且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正 态分布 N (1000,50 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小 时的概率为 元件 1 元件 3 元件 2 2、 (江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该 校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 名学生. 3、 (江苏卷)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 . 4、 (上海卷)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则 有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示) 。 5、 (天津卷) 某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所. 现采用分层抽样的方法从这 ) 些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查, 应从小学中抽取_________所学校, 中学中抽 取________所学校. 6、 (重庆卷)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺 术课各一节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的频率为_____ 用数 ( 字作答)
2

(三)解答题
1、 (全国卷大纲版)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在甲、乙 的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙 的一局比赛中,甲先发球。 (1)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (2) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。

2、 (全国卷新课标版)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理. (1) 若花店某天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位: 枝, n? N )的函数解析式;

(2) 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列、数 学期望及方差; (ⅱ) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理 由. 3、 (北京卷)近年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可 回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况, 现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误额概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其中

a ? 0 , a ? b ? c ? 600 。当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求
证明) ,并求此时 s 的值。 (注: s ?
2
2

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 ,? , xn 的平均数) n

4、 (福建卷)受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该 厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆,统计数据如下: 品牌 首次出现故障时间 x (年) 轿车数量(辆) 每辆利润(万元) 2 1 甲 乙

0 ? x ?1 1? x ? 2
3 2

x?2
45 3

0? x?2
5 1.8

x?2
45 2.9

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为 X 1 ,生产一辆乙牌轿 车的利润为 X 2 ,分别求 X 1 , X 2 的分布列; (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车, 若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。

5、 (湖北卷)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影响如 下表: 降水量 X 工期延误天数 Y

X ? 300
0

300 ? X ? 700
2

700 ? X ? 900
6

X ? 900
10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7, 0.9. 求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率. 6、江苏卷) ? 为随机变量, ( 设 从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条, 当两条棱相交时, ? 0 ; ? 当两条棱平行时, ? 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 7、 (辽宁卷)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查, 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布 直方图:
频率 组距

0.025 0.022 0.020 0.018

0.010 0.005

0

10

20

30

40

50

60

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”。 (1)根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 (2)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方 法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X,若每次抽取 的结果是相互独立的,求 X 的分布列,期望 E(X)和方差 D(X) 附: K ?
2

体育迷 10

合计 55

n ? n11n22 ? n12 n21 ? n1? n2 ? n?1n?2

2

P?K2 ? k?

0.05 3.841

0.01 6.635

k

8、 (山东卷)现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为

3 ,命中得 1 分, 4

2 ,每命中一次得 2 分,没有命中得 3

0 分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 (1)求该射手恰好命中一次得的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX 9、 (陕西卷)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都 是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

10、 (天津卷)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择. 为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点 数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; 用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ? ? X ? Y ,求随机变量 ? 的 分布列与数学期望 E? .

11、 (浙江卷))已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球的 2 分,取出一 个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为 取出 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E ? X ? .

12、 (安徽卷)某单位招聘面试,每次从试题库中随机调用一道试题。若调用的是 A 类型试 题,则使用后该试题回库,并增补一道 A 类型试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作 结束;若调用的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共 有 m ? n 道试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题。以 X 表示两次调题工作完成 后,试题库中 A 类型试题的数量。

(1)求 X ? n ? 2 的概率; (2)设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望) 。 13、 (广东卷)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分 组区间是:

? 40,50 ? , ?50, 60 ? , ?60, 70 ? , ?70,80 ? , ?80,90 ? , ?90,100? ,
(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数 记为 ? ,求 ? 的数学期望.

14、 (重庆卷)甲乙两人轮流投篮,每人每次投一球。约定甲先投且先投中者获胜,一直到 有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束。 设甲每次投篮投中的概率为 的概率为

1 , 乙每次投篮投中 3

1 ,且各次投篮互不影响。 2

(1)求甲获胜的概率 (2)求投篮结束时甲的投球次数 ? 的分布列与期望。

15、 (四川卷)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和

B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1 和P。 10 49 ,求 P 的值; 50

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ? ,求 ? 的概率分布 列及数学期望 E? 。 16、 (湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在

该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55% (1)确定 x, y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. (注:将频率视为概率) ...

( ( ( 2 0), ( 17 ( 江 西 卷 ) 如 图 , 从 A1 1, 0, 0),A 2 2, 0, 0),B1 0,, B2 0, 2, 0), C1 0, 0,1),C2 0, 0, 2) 6 个点中随机选取 3 个点,将这 3 个点及原点 O 两两相连构成 ( ( 这
一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量 V(如果选取的 3 个点与原点在同一个平面内, 此时“立体”的体积 V=0) 。

(1)求 V=0 的概率; (2)求 V 的分布列及数学期望。


(一) 选择题



1、A 【解析】由于题目要求每行每列字母互不相同,所以先确定字母 a 在第一列的位置,共有
1 1 C3 ? 3 种可能,再确定字母 a 在第二列的位置,共有 C2 ? 2 种可能,再考虑字母 b 在第一

列的位置,共有 C2 ? 2 种,剩下字母位置固定。所以共有 C3 ? C2 ? C2 ? 12 种。
1 1 1 1

2、A 【解析】只需选定安排到甲地的 1 名教师 2 名学生即可,共 C2C4 ? 12 种安排方案。
1 2

3、D 【解析】题目中 ?

?0 ? x ? 2 表示的区域如图正方形所示, ?0 ? y ? 2

而动点 D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,

1 2 ? 2 ? ? ? 22 4 ?? 4 因此 P ? 。 ? 2? 2 4
4、B 【解析】由于题目要求的是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇;偶奇奇。 如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析(3 种选择),之后十位(2 种选择),最后百 位(2 种选择),共 12 种;如果是第二种情况偶奇奇,同理分析:个位(3 种情况),十位(2 种 情况),百位(不能是 0,一种情况),共 6 种,因此总共 12+6=18 种情况。 5、C 【解析】根据题意,易得正方形 OABC 的面积,观察图形可得,阴影部分由函数 y ? x 与

y ? x 围成, 由定积分公式计算可得阴影部分的面积, 进而由几何概型公式计算可得答案。
根据题意,正方形 OABC 的面积为 1?1 ? 1 而阴影部分由函数 y ? x 与 y ?

x 围成,其面积为 ?

1

0

?

? 2 3 x2 ? x ? x dx ? ? x ? ? 2 ? ?3

?

2

1 0

?

1 6

1 1 则正方形 OABC 中任取一点 P ,点 P 取自阴影部分的概率为 P ? 6 ? 。 1 6
6、A 【解析】令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形, ACBD 围成面积为 S1 , OC 围成面积为 S 2 , 作对称轴 OD ,则过点 C 。 S 2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三

角形 OAC 的面积, S 2 ? 在 扇 形 O A D 中

1 ?1? 1 1 ? ?2 ? ? ? ? ? 1? ? 。 2 ?2? 2 2 8
2

S1 S 为 扇 形 面 积 减 去 三 角 形 O A C 积 和 2 , 面 2 2 S1 1 1 S ? ?2 , ? ? ?12 ? ? 2 ? 2 8 8 2 16 ? ?2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? , S1 ? S2 ? 4 4 ? ?2 S1 ? S2 2 所以取自阴影部分的概率为 P ? ? 4 ? 1? ? S ? 4
7、C 【解析】把三个家庭看为三个个体,则有 A3 种排法,每个家庭内部又有 A3 种排法,所以共
3 有 A3

3

3

? ? ? ? 3!?
4

4

种。

8、C 【解析】令 AC ? x, CB ? y, 则 x ? y ? 12 ? x ? 0, y ? 0 ? 矩形面积设为 S ,则 S ? xy ? x ?12 ? x ? ? 32 解得 0 ? x ? 4或8 ? x ? 12 ,该矩形面积小于 32cm 的概率为
2

8 2 ? 。 12 3

9、C 【解析】 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人, 将整体分成 32 组, 每组 30 人, l ? 30 , 即 第 k 组的号码为 (k ? 1)30 ? 9 , 451 ? (k ? 1)30 ? 9 ? 750 , k ? z , 令 而 解得 16 ? k ? 25 , 则满足 16 ? k ? 25 的整数 k 有 10 个,故答案应选 C。 10、C

16 ? 15 ? 14 ? 16 ? 72 ? 560 ? 88 ? 472 ,答案应选 C。 6 12 ? 11 ? 10 12 ? 11 0 3 3 1 2 另解: C 4 C12 ? 3C 4 ? C 4 C12 ? ? 12 ? 4 ? ? 220 ? 264 ? 12 ? 472 6 2
【解析】 C16 ? 4C 4 ? C 4 C12 ?
3 3 2 1

11、B 【 解 析 】 从 茎 叶 图 可 看 出 乙 中 数 据 集 中 , 甲 中 比 较 分 散 , X甲 ? X 乙 , 又

m甲 ?
12、C

1 8? 2 2 ? 2 0? m 乙 ? 2

27 31 ? ? 29 2

【 解 析 】 某 一 个 队 获 胜 可 以 分 为 3 种 情 况 , 得 分 为 3: 0,3:1,3: 2 , 方 法 数 为

?1 ? C

2 3

2 1 ? C4 ? ? C2 ?2 0

13、A 【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1 , ? 2 的 取 值 情 况 , 它 们 的 平 均 数 分 别 为 :

1 x1 ? ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ), 5
1? x ? x x ? x x ? x x ? x x ? x ? x2 ? ? 1 2 ? 2 3 ? 3 4 ? 4 5 ? 5 1 ? ? x1 , 5? 2 2 2 2 2 ?
且随机变量 ?1 , ? 2 的概率都为 0.2 ,所以有 D?1 > D? 2 . 故选择 A. 14、D 【解析】1,2,2,…,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的数其 和为偶数,则取法有: 4 个都是偶数:1 种;
2 2 个偶数,2 个奇数: C52C4 ? 60 种;

4 个都是奇数: C54 ? 5 种. ∴不同的取法共有 66 种. 15、C 【解析】 x甲 ?

1 1 (4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8) ? 6, x乙 ? (5 ? 3 ? 6 ? 9) ? 6 5 5 1 5
2 2

甲的成绩的方差为 (2 ? 2 ? 1 ? 2) ? 2 ,乙的成绩的方差为 (1 ? 3 ? 3 ?1) ? 2.4
2 2

1 5

16、D 【解析】 C6 ? 13 ? 15 ? 13 ? 2
2

①设仅有甲与乙、丙没有交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 2 人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没有交换纪念品,则收到 4 份纪念品的同学人数为 4 人 17、D 【解析】设个位数与十位数分别为 x, y ,则 x ? y ? 2k ? 1, k ? 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 所以 x, y 分别为一奇一偶, 一类 x 为奇, y 为偶数 共有 C5 ? C5 ? 25 个数
1 1

一类 x 为偶, y 为奇数 共有 C4 ? C5 ? 20 个数
1 1

两类共有 45 个数,其中各位是 0 十位是奇数的两位有 10,30,50,70,90 这 5 个数 所以其个位数为 0 的概率是 18、B

5 1 ? 45 9

【解析】 因为方程

2 1 ay ? b2 x 2 ? c 表示曲线, 所以 a ? 0, b ? 0 , 所以共有曲线 A5 C4 ? 80 条,

又因为部分曲线重合,若 c ? 0 ,有 6 条曲线重合,若 c ? 0 时,有 12 条曲线重合,所以曲 线共有 80 ? 6 ?12 ? 62 条。 19、A 【解析】 因为 z ?

nx ? m y n m 1 又因为 z ? ? x ? ?1 ? ? ? y , 0 ? ? ? , 而 ? x? y, m?n m?n m?n 2

所以 ? ? 1 ? ? ,即

n m ,得 n ? m 。 ? n?m n?m

(二)填空题
1、

3 8
2

【解析】由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,50 ) 得: 三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

1 2
2

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P ? 1 ? (1 ? p) ? 1 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ?

3 4

3 。 8

2、15 【解析】 因为是分层抽样, 抽取容量为 50 的样本, 高一、 高二、 高三的学生人数之比为 3 : 3 : 4 , 所以高二抽取 50 ? 3、

3 ? 15 名。 10

3 5
n ?1

【解析】这十个数满足 an ? ? ?3? 4、

, (n ? 1, 2,? ,10) ,小于 8 的有 6 个,所以 P ?

6 3 ? 10 5

2 3 2 3

【解析】一共有 27 种取法,其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种,所以根 据古典概型得此种情况下的概率为

5、18,9 【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为 250 所, 所以应从小学中抽取 6、

150 75 ? 30=18 ,中学中抽取 ? 30=9 250 250

3 5
3 4

【解析】若三门文化课之间没有艺术课,则有 A3 ? A4 种可能;若三门文化课之间有一门艺

术课,则有 C3C2 A3 A3 种可能;若三门文化课之间有两门艺术课,则有 C3 A2 A3 C2 种可能, 所以共有 A3 ? A4 ? C3 A2 A3 C2 ? C3C2 A3 A3 ? 572 种。所以概率 P ?
3 4 2 2 3 1 1 1 3 3

1

1

3

3

2

2

3

1

572 572 3 ? ? 6 A6 720 5

(三)解答题
1、 【解析】记 Ai 表示事件:第 1 次和第 2 次这两次发球,甲共得 i 分, i ? 0,1, 2

A 表示事件:第 3 次发球,甲得 1 分 B 表示事件:开始第 4 次发球时,甲乙的比分为 1:2
(1) B ? A0 ? A ? A1 ? A
2 P ? A ? ? 0 . 4 P ? A0 ? ? 0 . 4 ? 0 . 1 6P ? A1 ? ? 2 ? 0 . ? 0 ? 4 6 .

0.48 分 …3

P ? B ? ? P A0 ? A ? A1 ? A

?

? ? ? ?
…6分

? P ? A0 ? A ? ? P A1 ? A

?

? P ? A0 ? ? P ? A ? ? P ? A1 ? ? P A

? 0 . 1 6 0 .? ? 4

0 .? 8 ? 1 0 . 4 ?4 ?

?0.352
(2) P ? A2 ? ? 0.6 ? 0.36
2

? 的可能取值为 0,1, 2,3
P ?? ? 0 ? ? P ? A2 ? A? ? P ? A2 ? ? P ? A? ? 0.36 ? 0.4 ? 0.144 P ?? ? 2 ? ? P ? B ? ? 0.352
P ?? ? 3? ? P A0 ? A ? P ? A0 ? ? P A ? 0.16 ? 0.6 ? 0.096

?

?

? ?

P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ?? ? 2 ? ? P ?? ? 3?

? 1 ? 0.144 ? 0.352 ? 0.096 ? 0.408
E ?? ? ? 0 ? P ?? ? 0 ? ? 1? P ?? ? 1? ? 2 ? P ?? ? 2 ? ? 3 ? P ?? ? 3?

…10 分

? 0 . 4 0 ? ? 0 . 3? 2 ? 3 0 . 0 9 6 8 2 5 ?1 . 4 0 0
2、 【解析】 (1)当日需求量 n ? 16 时,利润 y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80

…12 分

当日需求量 n ? 15 时,利润 y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 所以 y 关于 n 的函数解析式为: y ? ? (2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ? 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7

X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

X 的数学期望 EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

X 的方差 DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)答案一:花店一天应购进 16 支玫瑰花,理由是: 若花店一天购进 17 支玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位:元) ,那么 Y 的分布列为 55 65 75 85 Y

P

0.1

0.2

0.16

0.54

Y 的数学期望为 EY ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.16 ? 85 ? 0.54 ? 76.4 Y 的方差为
DY ? ? 55 ? 76.4 ? ? 0.1 ? ? 65 ? 76.4 ? ? 0.2 ? ? 75 ? 76.4 ? ? 0.16 ? ? 85 ? 76.4 ? ? 0.54 ? 112.04
2 2 2 2

由以上的计算结果可以看出, DX ? DY ,即购进 16 支玫瑰花时利润波动相对较小。另外, 虽然 EX ? EY ,但两者相差不大。故花店一天应购进 16 支玫瑰花。 答案二:花店一天应购进 17 支玫瑰花。理由如下: 若花店一天应购进 17 支玫瑰花, Y 表示当天的利润(单位:元) ,那么 Y 的分布列为 55 65 75 85 Y

P

0.1

0.2

0.16

0.54

Y 的数学期望为 EY ? 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.16 ? 85 ? 0.54 ? 76.4 由以上的计算结果可以看出, EX ? EY ,即购进 17 支玫瑰花时的平均利润大于购进 16 支
时的平均利润。故花店一天应购进 17 支玫瑰花。 3、 【解析】 (1)厨房垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 厨余垃圾总量
(2)由题意可知: P(A)= (3)由题意可知: s ?
2

=

400 400+100+100

=

2 3

200 ? 60 ? 40 3 ? 1000 10

1 2 ? a ? b2 ? c2 ? 120000? , 3
2

因此有当 a ? 600, b ? 0, c ? 0 时,有 s ? 80000 .

4、 【解析】本小题主要考查古典概型、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期 望等基础知识,考查数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想。 解: (1)设“甲品牌首次出现故障发生在保修期内”为事件 A 则 P ? A? ?

2?3 1 ? 50 10

(2)依题意得, X 1 的分布列为

X1

1

2

3

P
X 2 的分布列为 X2

1 25

3 50

9 10

1.8

2.9

P
(3)由(2)得, E ? X 1 ? ? 1?

1 10

9 10

1 3 9 143 ? 2 ? ? 3? ? ? 2.86 ?万元? 25 50 10 50 1 9 E ? X 2 ? ? 1.8 ? ? 2.9 ? ? 2.79 ?万元? 10 10

因为 E ? X 1 ? ? E ? X 2 ? 所以应生产甲品牌汽车. 5、 【解析】 (Ⅰ)由已知条件和概率的加法公式有:

P ? X ? 300 ? ? 0.3
P ? 300 ? X ? 700 ? ? P ? X ? 700 ? ? P ? X ? 300 ? ? 0.7 ? 0.3 ? 0.4 P ? 700 ? X ? 900 ? ? P ? X ? 900 ? ? P ? X ? 700 ? ? 0.9 ? 0.7 ? 0.2 P ? X ? 900 ? ? 1 ? P ? X ? 900 ? ? 1 ? 0.9 ? 0.1
所以 Y 的分布列为:

Y P

0 0.3

2 0.4

6 0.2

10 0.1

于是, E ?Y ? ? 0 ? 0.3 ? 2 ? 0.4 ? 6 ? 0.2 ? 10 ? 0.1 ? 3

D ?Y ? ? ? 0 ? 3? ? 0.3 ? ? 2 ? 3? ? 0.4 ? ? 6 ? 3? ? 0.2 ? ?10 ? 3? ? 0.1 ? 9.8
2 2 2 2

故工期 Y 延误天数的均值为 3,方差为 9.8 .

(Ⅱ)由概率的加法公式, P ? X ? 300 ? ? 1 ? P ? X ? 300 ? ? 0.7 又 P ? 300 ? X ? 900 ? ? P ? X ? 900 ? ? P ? X ? 300 ? ? 0.9 ? 0.3 ? 0.6 由条件概率,

得 P Y ? 6 X ? 300 ? P X ? 900 X ? 300 ?

?

?

?

?

P ? 300 ? X ? 900 ? P ? X ? 300 ?

?

0.6 6 ? 0.7 7

故在降水量 X 至少是 300mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是

6 。 7

6、 【解析】本小题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力。 解: (1) 若两条棱相交, 则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个, 过任意 1 个定点恰有 3 个棱, 所以共有 8C3 对相交棱,因此 P ?? ? 0 ? ?
2

8C32 8 ? 3 4 ? ? 2 C12 66 11

(2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2 ,其中距离为 2 的共有 6 对, 故P ? ?

?

2 ?

?

6 1 ? 2 C12 11

于是 P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 0 ? ? P ? ? 所以随机变量 ? 的分布列为

?

2 ? 1?

?

4 1 6 ? ? 11 11 11

?
P ?? ?
因此 E ?? ? ? 1?

0

1

2

4 11
6 1 6? 2 ? 2? ? 11 11 11

6 11

1 11

7、 【解析】 (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2 ? 2 列联表如下: 非体育迷 男 女 合计 将
2

体育迷 15 10 25

合计 45 55 100 公 式 计 算 ...3 分 , 得

30 45 75 列 联 表
2

2? 2










2



X ?

n ? n11n22 ? n12 n21 ? n1? n2? n?1n?2

?

100 ? ? 30 ? 10 ? 45 ? 15 ? 75 ? 25 ? 45 ? 55

?

100 ? 3.030 33

因为 3.030 ? 3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关。 ...6 分 (2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25 ,将频率视为概率,即从观众中抽取 一名“体育迷”的概率为

1 4

由题意知 X ? B ? 3, ? ,从而 X 的分布列为

? 1? ? 4?

X
P
E ? X ? ? np ? 3 ? 1 3 ? 4 4

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64
...10 分

1 3 9 D ? X ? ? np ?1 ? p ? ? 3 ? ? ? 4 4 16
8、 【解析】 (Ⅰ) P ?

...12 分

3 1 2 1 1 1 2 7 ; ? ( ) ? ? C2 ? ? ? 4 3 4 3 3 36

(Ⅱ) X的所有可能取值为0,1, 2,3, 4,5

1 1 2 1 3 1 1 1 11 2 1 ? ( ) ? .P( X ? 1) ? ? ( ) 2 ? , P( X ? 2) ? C 2 ? ? , 4 3 36 4 3 12 4 3 3 9 3 11 2 1 1 2 2 1 3 2 1 P( X ? 3) ? C 2 ? ? , P( X ? 4) ? ? ( ) ? , P( X ? 5) ? ? ( ) 2 ? 4 3 3 3 4 3 9 4 3 3 所以 X 的分布列为 0 1 2 3 4 X 1 1 1 1 1 P 9 3 9 36 12 1 1 1 1 1 1 41 5 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ?3 36 12 9 3 9 3 12 12 P( X ? 0) ?

5

1 3

9、 【解析】设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下:

Y P

1 0.1

2 0.4

3 0.3

4 0.1

6 0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理任务”,则事件 A 对应三种情形; ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟; ②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟; ③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟。 所以 P ? A ? ? P ?Y ? 1? P ?Y ? 3? ? P ?Y ? 3? P ?Y ? 1? ? P ?Y ? 2 ? P ?Y ? 2 ?

? 0.1? 0.3 ? 0.3? 0.1 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.22
(2)解法一 X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P ? X ? 0 ? ? P ?Y ? 2 ? ? 0.5

X ? 1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超 过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟,
所以 P ? X ? 1? ? P ?Y ? 1? P ?Y ? 1? ? P ?Y ? 2 ? ? 0.1? 0.9 ? 0.4 ? 0.49

X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P ? X ? 2 ? ? P ?Y ? 1? P ?Y ? 1? ? 0.1? 0.1 ? 0.01 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E ? X ? ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51
解法二 X 所有可能的取值为 0,1,2 X ? 0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P ? X ? 0 ? ? P ?Y ? 2 ? ? 0.5

X ? 2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟,
所以 P ? X ? 2 ? ? P ?Y ? 1? P ?Y ? 1? ? 0.1? 0.1 ? 0.01

P ? X ? 1? ? 1 ? P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 2 ? ? 0.49
所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E ? X ? ? 0 ? 0.5 ? 1? 0.49 ? 2 ? 0.01 ? 0.51
10、本小题主要考查古典型及概率计算公式,互斥事件,事件的相互独立型、离散型随机变 量的分布与数学期望等基础知识,考查运用概率知识解决简单实际问题的能力。 解:依题意,这 4 个人去参加甲游戏的概率为

1 2 ,去参加乙游戏的概率为 3 3

设“这 4 个人恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai ? i ? 0,1, 2,3, 4 ? 则 P ? Ai ? ? C4 ? ? ?
i

?1? ? 2? ? ?3? ? 3?

i

4 ?i

8 ?1? ? 2? (1) 这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率 P ? A2 ? ? C ? ? ? ? ? 。 27 ?3? ? 3?
2 4

2

2

(2) 设“这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数 ”为事件 B,则

B ? A3 ? A4 。由于 A3 与 A4 互斥,故
1 3?1? ? 2? 4?1? P( B) ? P ? A3 ? ? P ? A4 ? ? C4 ? ? ? ? ? C4 ? ? ? ?3? ? 3? ? 3? 9
所以,这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 (3) ? 的所有可能取值为 0,2,4.
3 4

1 . 9

由于 A1 与 A3 互斥, A0 与 A4 互斥,故

P ?? ? 0 ? ? P ? A2 ? ?

8 , 27

40 , 81 17 P ?? ? 4 ? ? P ? A0 ? ? P ? A4 ? ? . 81 P ?? ? 2 ? ? P ? A1 ? ? P ? A3 ? ?
所以 ? 的分布列是

?
P

0

2

4

8 40 27 81 8 40 17 148 随机变量 ? 的数学期望 E? ? 0 ? . ? 2? ? 4? ? 27 81 81 81
11、 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.

17 81

P ? X ? 3? ?

3 C5 5 ? 3 C9 42

故,

1 C4 ? C52 10 P ? X ? 4? ? ? 3 C9 21

P ? X ? 5? ? P ? X ? 5? ?

2 1 C4 ? C5 5 ? 3 C9 14 3 C4 1 ? 3 C9 21

所求 X 的分布列为 X P (Ⅱ) 所求 X 的数学期望为: 3 4 5 6

5 42

10 21

5 14

1 21

E ? X ? ? 3 ? P ? X ? 3? ? 4 ? P ? X ? 4 ? ? 5 ? P ? X ? 5 ? ? 6 ? P ? X ? 6 ? ?

13 3

12、 【解析】本题考查基本事件概率,条件概率,离散型随机变量即其分布列、均值等基础 知识,考查分类讨论思想和应用于创新意识。 解: P ? X ? n ? 2 ? ? P ? A1 A2 ? ?

n ? n ? 1? n n ?1 ? ? m ? n m ? n ? 2 ? m ? n ?? m ? n ? 2 ?

(1) X 的可能取值为 n, n ? 1, n ? 2

P ? X ? n ? ? P A1 A2 ?

?

?

n n ?1 n n 1 ? ? ? ? . n?m n?n?2 n?n n?n 2 n n ?1 1 P ? X ? n ? 2 ? ? P ? A1 A2 ? ? ? ? . n?n n?n?2 4 P ? X ? n ? 1? ? P A1 A2 ? P A1 A2 ?

n n 1 ? ? n?n n?n 4

?

? ?

?

从而 X 的分布列是

X
P

n 1 4

n ?1 1 2

n?2 1 4

1 1 1 EX ? n ? ? ? n ? 1? ? ? ? n ? 2 ? ? ? n ? 1 . 4 2 4
13、 【解析】 (1)图中 x 所在组为 ?80, 90 ? 即第五组

? f5 ? 1 ? 10 ? 0.054 ? 0.01 ? 3 ? 0.006 ? ? 1 ? 0.82 ? 0.18

? x ? 0.018
(2)成绩不低于 80 分的学生所占的频率为 f ? 10 ? 0.018 ? 0.006 ? ? 0.24 所以成绩不低于 80 分的学生有: 50 f ? 50 ? 0.24 ? 12人 成绩不低于 90 分的学生人数为: 50 ?10 ? 0.006 ? 3人 所以 ? 的可能取值为 0,1, 2
2 C9 6 P ?? ? 0 ? ? 2 ? C12 11 1 1 C9 ? C3 9 ? 2 C12 22

P ?? ? 1? ?

P ?? ? 2 ? ?

C32 1 ? 2 C12 22

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

12 22

9 22

1 22

所以 ? 的数学期望 E ?? ? ?

0 ?12 ? 1? 9 ? 2 ?1 11 1 ? ? 22 22 2 1 1 , P ? Bk ? ? 3 2

14 、 【解析 】设 Ak , Bk 分别表 示甲、 乙在第 k 次投 篮投中,则 P ? Ak ? ?

? k ? 1, 2,3?
(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率 计算公式知

P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3 ? P ? A ? ? P A P 1B 1 1
2

?

? ?

?
1 1 2

? ? ? ?

? P ?2 A?
2

? P? A ?P ?B ? P ? A ? ?

P B? ? 2

P A 3

1 2 1 1 ?2? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2 ? 3

?

1 1 1 13 ? ? ? 3 9 27 27

(2) ? 的所有可能值为 1, 2,3 由独立性知 P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1B1 ?

?

?

1 2 1 2 ? ? ? 3 3 2 3
2 2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ?3? ?2? 9
综上知, ? 有分布列

?

? ? ?

?

?

2

2

?
P

1

2

3

2 3 2 2 1 13 从而, E ?? ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ?次? 3 9 9 9

2 9

1 9

15、 【解析】本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、 数学期望及相关计算,考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力。 解: (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C ,那么

1? P C ? 1?
解得 P ?

? ?

1 49 ?P ? 10 50
…4 分

1 5

(2)由题意, P ?? ? 0 ? ? C3 ?
0

1 ?1? ? ? ? 10 ? 1000
2

3

?1? P ?? ? 1? ? C ? ? ? 10 ?
1 3 2 3

1? 27 ? ? ?1 ? ? ? ? 10 ? 1000
2

1 ? 1? 243 P ?? ? 2 ? ? C ? ?1 ? ? ? 10 ? 10 ? 1000 1? 729 ? P ?? ? 3? ? C ? 1 ? ? ? ? 10 ? 1000
3 3 3

所以,随机变量 ? 的概率分布列为

?
P

0

1

2

3

1 1000

27 1000

243 1000

729 1000

故随机变量 ? 的数学期望:

E? ? 0 ?

1 27 243 729 27 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1000 1000 1000 1000 10

...12 分

16、 【解析】 (1)由已知得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? 30 ? 45 所以 x ? 15, y ? 20 (2)该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,将频率视为概率得

15 3 ? 100 20 30 3 P ? X ? 1.5? ? ? 100 10 25 1 P ? X ? 2? ? ? 100 4 20 1 P ? X ? 2.5? ? ? 100 5 10 1 P ? X ? 3? ? ? 100 10 P ? X ? 1? ?

X 的分布列为 X
P

1

1.5

2

2.5

3

3 20

3 10

1 4

1 5

1 10

X 的数学期望为 E ? X ? ? 1?

3 3 1 1 ? 1.5 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.9 20 10 4 10

(3) 设 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”, X i ? i ? 1, 2 ? 为该顾客前面 第 i 位顾客的结算时间,则

P ? A? ? P ? X 1 ? 1且X 2 ? 1? ? P ? X 1 ? 1且X 2 ? 1.5 ? ? P ? X 1 ? 1.5且X 2 ? 1?
由于各顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P ? A? ? P ? X 1 ? 1? P ? X 2 ? 1? ? P ? X 1 ? 1? P ? X 2 ? 1.5? ? P ? X 1 ? 1.5? P ? X 2 ? 1?

?

3 3 3 3 3 2 9 ? ? ? ? ? ? 20 20 20 20 20 20 80

故这顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为
3

9 80

17、 【解析】 (1)从 6 个点中随机选取 3 个点共有 C6 ? 20 种取法,选取的 3 个点与原点在 同一平面内的取法有 C3C4 ? 12 种,因此 V ? 0 的概率为 P ?V ? 0 ? ?
1 3

12 3 ? 20 5

(2) V 的所有可能取值为 0, , , , 因此 V 的分布列为

1 1 2 4 6 3 3 3
4 3 1 20

1 1 2 6 3 3 3 1 3 3 P 5 20 20 20 3 1 1 1 3 2 3 4 1 9 由 V 的分布列可得 EV ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 6 20 3 20 3 20 3 20 40

V

0


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