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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(13)


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(13)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

10.已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且 f ( x) ? ?

1? i 1.i 是虚数单位,复数 3 ? i
A.-1-i B. 1 -i C. -

1+i D. 1+i 2.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y ) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ,则 B 中所含元素的个数为 A. 3 B. 6 C. ? D. ?? 3. 下列判断正确的是 A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“ p ? q ”为真命题 B. 命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 ”

3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为
A. (

?m 1 ? x 2 , x ?( ?,1 ? 1 ], ?1? | x ? 2 |, x ? (1,3] ?
4 8 3 3 4 3

其中 m>o.若方程

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

D. ( , 7)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1 ? ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 2 6 x x D. 命题“ ?x ? R , 2 ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R , 2 0 ? 0 ”
C. “ sin ? ? 4.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) 则该几何体的体积为

9 3 9 3 m B. m 4 2 7 3 7 3 C. m D. m 3 2 5.已知△ ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 3 ,则这个三角形的周长是 2 A. 18 B. 21 C. 24 D. 15 π? ?π ? ? 6.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin ? ? x ? ? 在 ? , π ? 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4? ?2 ? ? ?1 5? ?1 3? ? 1? A. ? , ? B. ? , ? C. ? 0, ? D. (0, 2] ?2 4? ?2 4? ? 2? ? 1 7..函数 f ( x) ? 3cos x ? log 2 x ? 的零点个数为 2 2
A. A.2 B.3 C.4 D.5

1 2 x 所围成的平面区域为的面积为 ; 2 1 (n ? 1, 2, ?) ,则 an ? 12.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 ? 2 , an ?1 ? ? S n . n tan A 2c a2 ? ,则 的最小值为 13.已知 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c ,若 1 ? . tan B b bc ?1 ? 14. f ? x ? 是偶函数, f ? x ? 在 [0, ??) 上是增函数, 且 如果 x ? ? ,1? 时, 不等式 f ?ax ? 1? ? f ? x ? 2 ? ?2 ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .
11.直线 y ? x与曲线y ?
2 2 15.一个同学为研究 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质, D 构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC,点 P 是 边 BC 上的一个动点,设 CP= x ,则 AP+PF= f (x) 。

C P

F

请你参考这些信息,推知函数 f (x) 的图像的对称轴方程 是____________,函数 g ( x) ? 4 f ( x) ? 9 的零点个数是________. A B E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ?1) 的定义域为 A,函数 g ( x) ? ( )

(I)求 A ? B ; (II)若 C ? {x | a ? x ? 2a ? 1} ,且 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

1 2

x

(?1 ? x ? 0) 的值域为 B.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 8.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. -3 B. 2 C. 4 D. 5 9.已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3 AD , E、F 为另一直径的两个端点,则

??? ?

????

???? ???? DE ? DF ? ( A. ?3

) B. ?4

C. ?8

D. ?6

17.(本小题满分 12 分)设有两个命题: 命题 p:不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 |? a 对一切实数 x 都成立; 命题 q:已知函数 f ( x ) ? mx 3 ? nx 2 的图象在点 ( ?1, 2) 处的切线恰好与直线 2 x ? y ? 1 平行,且
f ( x ) 在 ? a, a ? 1? 上单调递减.

20. (本小题满分 13 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? 2an ? 3 ? 2n ? 4, n ? 1,2,3,? . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 Tn 为数列 {S n ? 4} 的前 n 项和,求 Tn ?

若命题 p 或 q 为真,求实数 a 的取值范围.

? 18. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, BAD ? ?CBA ? 90 , 面 PAB⊥面 ABCD,PA=PB=AB=AD=2,BC=1。 (Ⅰ)求证:PD⊥AC; (Ⅱ)若点 M 是棱 PD 的中点.求二面角 M-AC-D 的余弦值。
?

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2 (II)求函数 f ( x ) 的极值点; 1 1 1 (III)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( ? 1) ? 2 ? 3 都成立. n n n
(I)当 b ?

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ? R, A ? 0 ,? ? 0 ,0 ? ? ? P 是图象的最高点,Q 为图象与 x 轴的交点,O 为原点.且 | OQ |? 2 , | OP |?

?
2

)图象如图,

5 13 , | PQ |? . 2 2

(1)求函数 y ? f (x) 的解析式; (2)将函数 y ? f (x) 图象向右平移 1 个单位后得到函数 y ? g (x) 的图象,当 x ? [0, 2] 时,求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的最大值. y P

O

Q
(第 19 题)

x

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(13)答案
命题:刘 峰 审核:李永华 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 题号 答案 二.填空题 11. 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 A 7 B 8 C 9 C 10 B

2 ; 12. 2; 13. 1; 14. [-2,0]; 15. 3

x?

1 , 2 2
19.解(Ⅰ)由余弦定理得 cos ?POQ ? ∴ sin ?POQ ? (2)当 2a ?1 ? a 即 a ? 1 时, 要使 综上, a ? (??, ]
2

三.解答题 16. 解:(Ⅰ )由题意得: A ? {x | x ? 2}

| OP | 2 ? | OQ | 2 ? | PQ | 2 2 | OP || OQ |

?

1 5

,????2 分

A? B ?{ 2 } (II)由(1 )知: B ? { y | 1 ? y ? 2} ,又 C ? B (1)当 2a ? 1 ? a 时,a<1, C ? ? ,满足题意 ?a ? 1 3 C ? B ,则 ? 解得 1 ? a ? 2 ? 2a ? 1 ? 2

B ? { y | 1 ? y ? 2}

3 2

1 2? 1 ? ,得 P 点坐标为 ( , 1) . ∴ A ? 1 , ? 4(2 ? ) ? 6 , ? ? .?5 分 2 ? 2 3 5 1 ? ? ? ? 由 f ( ) ? sin( ? ? ) ? 1 ,得 ? ? .∴ y ? f (x) 的解析式为 f ( x) ? sin( x ? ) ???6 分 2 6 3 3 3 ? (Ⅱ) g ( x) ? sin x , ??????????????????7 分 3

3 3 3 2? 1 ? cos x 3 ? 3 sin 2? x ? 1 sin( 2? x ? ? ) ? 1 .????????????10 分 ? 4 4 3 2 3 6 4 2? ? ? 7? 2? ? ? 3 当 x ? [0, 2] 时, x ? ? [? , ] ,∴ 当 x ? ? ,即 x ? 1 时 hmax ( x) ? .?12 分 3 6 6 6 3 6 2 4

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? sin(

?

x?

?

) sin

?

x?

1 ? 3 ? ? sin 2 x ? sin x cos x 2 3 2 3 3

20.解:(1) ∵ a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,∴ a1 ? 2 .

an an ?1 3 ? ? ; 2n 2n ?1 2 a 3 3n ? 1 令 bn ? n ,则数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 、公差为 的等差数列, bn ? ; n 2 2 2
当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 , an ? 2an ?1 ? 3 ? 2n ?1 ,于是 ∴ an ? 2n bn ? 2n ?1 (3n ? 1) . (2) ∵ S n ? 4 ? 2n (3n ? 4) ? 3 ? 2n ? n ? 2n ? 2 , ∴ Tn ? 3(2 ? 1 ? 2 2 ? 2 ? ? ? 2 n ? n) ? 4(2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ) , 记 Wn ? 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 ? ? ? 2 n ? n ,则 2Wn ? 2 2 ? 1 ? 23 ? 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n 两式相减得: Wn ? 2n?1 (n ?1) ? 2


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