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广东省东莞市南城中学2013届高三上学期第二次月考数学(文科)试卷


广东省东莞市南城中学 2013 届高三上学期第二次月考数学 (文科)试卷
2012.10 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意:考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,只交回答题卡. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3

/>一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. U 1.图中阴影部分表示的集合是 ( ) A. ? ( A ? B) B. ? ( A ? B) C. A ? (? B) D. B ? (? A) A B U U u u 2.函数 f ( x ) ? ln x ? A. { x | x ? 0}

x ? 1 的定义域是(
B. {x | 0 ? x ? 1}

) C. {x | x ? 1} D. {x | x ? 1}

3.设函数 f ( x ) ( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x) , f ( x ? 2) ? f ( x) ,则函数 f ( x ) 的图像是 y y ( )
?4

?2

O

2

4

x

?4 B.

?2

O

2

4

x

A. y

y

?2

?1

O

1

2

x

?2 D.

?1

O

1

2

x

C.
2 4. x ? 2 ”是“ x ? 2 ”的( “

)条件 C.充要条件 D.非充分条件非必要条件 ( ) A D B ) C

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

5.如图所示,D 是△ABC 的边 AB 的中点,则向量 CD ?

??? ?

??? 1 ??? ? ? A. ? BC ? BA 2 ??? 1 ??? ? ? C. BC ? BA 2

??? 1 ??? ? ? B. ? BC ? BA 2 ??? 1 ??? ? ? D. BC ? BA 2

6.P( ?4m, 3m ) ( m ? 0 )是角 ? 的终边上的一点, 则 2sin ? ? cos? 的值是( A.

2 5

B. ?

2 5

C.

2 2 或? 5 5

D.随着 m 的取值不同其值不同

第 1 页 共 7 页

7.设三次函数 f (x ) 的导函数为 f ?(x) ,函数 y ? x ? f ?( x) 的图象如下图所示,则( y A. f ( x ) 的极大值为 f (3) ,极小值为 f (?3) B. f (x ) 的极大值为 f ( 3 ) ,极小值为 f (? 3 ) ?3 C. f (x ) 的极大值为 f (?3) ,极小值为 f (3) D. f (x ) 的极大值为 f (? 3 ) ,极小值为 f ( 3 ) 8.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( A. 12? C. 57? B. 45? D. 81?
6 正视图



? 3
O

3

3

x

)

5

5 5

5

5 5

6 侧视图

9.对于任意两个正整数 m , n ,定义某种运算“※ ”如下: 当 m , n 都为正偶数或正奇数时, m ※n = m ? n ; 当 m , n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m ※n = mn .

.
俯视图

在此定义下:集合 M ? {(a, b) a ※b ? 12, a ? N?, b ? N?} 中的元素个数是( A.10 个 B.15 个 C.16 个

) D.18 个

10.直角梯形 ABCD,如图 1,动点 P 从 B 点出发,由 B→C→D→A 沿边运动,设动点 P 运动的路程为 x,Δ ABP 面积为 f ( x ) ,已知 f ( x ) 图象如图 2,则Δ ABC 面积为( y D C P A 图1 A.10 B.20 B 0 4 图2 C.16 9 14 x D. 32 )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题.) (一)必做题:第 11~13 题为必做题。 11.已知 f ( x) ? xex ,则 f ?(1) ? 12.已知 a , b , c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 则 sinC ? _________ ,B=600,

第 2 页 共 7 页

13.已知定义在区间 [0,1] 上的函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,对于满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 的任 意 x1 , x2 ,给出下列结论: ① f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ; ② x2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) ; y 1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ? x2 ? f( 1 ). ③ 2 2
其中正确结论的序号是

O

1

x

. (把所有正确结论的序号都填上)

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中 xOy 中,曲线 C1 和曲线 C 2 的参数方程 分别为 ? 为

?x ? t ?y ? t

( t 为参数)和 ? .

? ? x ? 2 cos? ? y ? 2 sin? ?

( ? 为参数),则曲线 C1 和曲线 C 2 的交点坐标 A

15. (几何证明选做题)如图,圆 O 的半径为 1 , A, B, C 是圆上 三点,且满足 ?ABC? 30? ,过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延 长线交于点 P ,则 PA ? . B

O

.
第 15 题图

C

P

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( ?2, ?1) , b ? (1, ? x ) . (1)若 a / /b ,求 x 的值; (2)若 a ? b ,求 x 的值. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (? ) 的值; (2)设 ? , ? ?[0,

?

?

? ?

?

?

1 3

?
6

) , x? R

?

? 10 6 ] , f (3? ? ) ? , f (3? ? 2? ) ? 求 cos(? ? ? ) 的值. 2 2 13 5

第 3 页 共 7 页

18. (本小题满分 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,?PAC 和 ?PBC 是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 ,O ,D 分别是 AB , PB 的中点. (1)求证: OD ∥平面 PAC ; (2)求证: PO ⊥平面 ABC . D A O B 19. (本小题满分 14 分) 某商场销售某种商品的经验表明, 该商品每日的销售量 y (单位: 千克)与销售价格 x (单 位:元/千克)满足关系式 y ? C P

a ? 10( x ? 6)2 ,其中 3 ? x ? 6 ,a 为常数,已知销售价格 x ?3

为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1) 求 a 的值; (2) 若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所 获得的利润最大.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2

x ? 3 sin x . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?

1 cos 2? 的值. ) ? ,求 3 3 1 ? tan ?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ? 4x3 ? 3tx2 ? 6t 2x ? t ?1 ,其中 t ? 0 . (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)证明:对任意的 t ? (0, ??) , f ( x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点.

第 4 页 共 7 页

南城中学 2013 届高三第二次月考文科数学参考答案
一、选择题 CDDBA;BACBC 11、 2e ;12、 1 ;13、②③;14、 (1,1) ;15、 3

1 .?????6 分 2 ? ? ? ? (2)? a ? b , ∴ a ? b ? 0 ,即 (?2) ?1 ? (?1) ? (? x) ? 0 ,解得 ? ? 2 .?????12 分
16、 (1)∵ a // b ,∴ (?2) ? (? x) ? (?1) ?1 ? 0 ,解得 ? ? ?

? ?

? ) ? 2sin ? 1 .?????5 分 3 6 6 ? 10 5 ? 12 (2)因 f (3? ? ) ? 2sin ? ? ,∴ sin ? ? ,∵ ? ?[0, ] ,∴ cos ? ? ;?8 分 2 13 13 2 13 ? 6 3 f (3? ? 2? ) ? 2sin(? ? ) ? 2cos ? ? ,∴ cos ? ? , 2 5 5 ? 4 ∵ ? ?[0, ] ,∴ sin ? ? ;??11 分 2 5 12 3 5 4 16 ∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? . ?????12 分 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 18.(1)∵ O , D 分别为 AB , PB 的中点, P ∴ OD ∥ PA ??????3 分 又 OD ? 平面 PAC , PA ? 平面 PAC ??????5 分 ∴ OD ∥平面 PAC . ??????6 分 (2)连结 OC , OP ∵ AC ? CB ? 2 , O 为 AB 的中点 D ? AC ? CB ? 2 , O 为 AB 中点, AB ? 2 , ∴ OC ? AB , OC ? 1 .??????8 分 同理, PO ? AB , PO ? 1 .??????10 分 A 2 2 2 又 PC ? 2 , PC ? OD ? PO ? 2 , 0 O ∴ ?POC ? 90 , PO ? OC .??????12 分 ∵ OC ? AB ? O ,?????13 分 B ∴ PO ? 平面 PAC .??????????14 分 a 19. 解:(1)因为 x ? 5 时 y ? 11,所以 ? 10 ? 11 ,故 a ? 2 ;?????5 分 2 2 (2)由(1)知该商品每日的销售量 y ? 所以商场每日销售该商品所获得的 ? 10( x ? 6)2 , x ?3 2 利润: f ( x) ? ( x ? 3)[ ? 10( x ? 6)2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6)2 ,3 ? x ? 6 ;??? 8 分 x ?3 2 f ?( x) ? 10[( x ? 6) ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ?????10 分 ? 3 0 x ? 6x ? ( )( 4) 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 4 ?????11 分 函数 f ( x ) 在 (3, 4) 上递增,在 (4, 6) 上递减,?????13 分 所以当 x ? 4 时函数 f ( x ) 取得最大值 f (4) ? 42 .?????14 分 答:当销售价格 x ? 4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42. 20、解: (1)因为 f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ????????2 分 ? 1 ? 2cos( x ? ) , 3
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17、解: (1) f (? ) ? 2sin(

?

?

?

C

?

????????4 分

所以函数 f ( x ) 的周期为 2? ,值域为 [ ?1, 3] . (2)因为 f (? ?

????????6 分

1 )? , 3 3 1 1 所以 1 ? 2cos ? = ,即 cos ? ? ? . ????????8 分 3 3 cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? 因为 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? cos ? ? cos ? (cos ? ? sin ? ) ????????11 分 2 ? cos ? ? cos ? sin ? , 2 2 因为 ? 为第二象限角, 所以 sin ? ? . ????????13 分 3
所以

?

cos 2? 1 2 2 1? 2 2 . ? ? ? 1 ? tan ? 9 9 9

????????14 分

21. (1) f ?(t ) ? 12x2 ? 6tx ? 6t 2 ∵ t ? 0 ,则 ?t ?

????????3 分

t ,????????4 分 2

当 x 变化时, f ?( x) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

( ??, ?t )

t ( ?t , ) 2
-

t ( , ??) 2
+

+

f ( x)

?

?

?
???????7 分

∴ f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?t ) , ( , ??) , f ( x ) 的单调递减区间是 ( ?t , ) ??8 分 (2)证明:由(1)可知,当 t ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( , ??) 内单调递 增,以下分两种情况讨论:

t 2

t 2

t 2

t 2

t ? 1 ,即 t ? 2 时, f ( x) 在 (0,1) 内单调递减, 2 f (0) ? t ? 1 ? 0 , f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6? 4 ? 4? 2 ? 3 ? 0 ???????10 分 所以对任意 t ? [2, ?? ) , f ( x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点。 t t t ② 当 0 ? ? 1 ,即 0 ? t ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ) 内单调递减,在 ( ,1) 内单调递增, 2 2 2 t 7 7 t ? (0,1] 若 , , f ( ) ? ? t 3 ? t ?1 ? ? t 3 ? 0 2 4 4 t f (1) ? ?6t 2 ? 4t ? 3 ? ?6t ? 4t ? 3 ? 3 ? 2t ? 0 , 所 以 f ( x) 在 ( ,1) 内 存 在 零 2
① 当
第 6 页 共 7 页

点。???????12 分 若 t ? (1, 2) , f ( ) ? ? t 3 ? t ? 1 ? ? t 3 ? 1 ? 0 , f (0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ) 内 存在零点。???????14 分 所以,对任意 t ? (0, 2) , f ( x ) 在区间 (0,1) 内均存在零点。 综上,对任意 t ? (0, ??) 在区间 (0,1) 内均存在零点。???????14 分

t 2

7 4

7 4

t 2

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