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10第十章 直线与圆的方程【讲义】


第十章

直线与圆的方程

一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线 与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条 曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步

骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3)用坐标表示条件, 列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围; (5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上 对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的倾斜角。规定 平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。根据直线上一点 及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0=k(x-x0); (3)斜截式:y=kx+b;

(4)截距式:

x ? x1 y ? y1 x y = + = 1; (5)两点式: a b x 2 ? x1 y 2 ? y1

; (6)法线式方程:xcosθ+ysinθ=p

(其中θ为法线倾斜角,|p|为原点到直线的距离)(7)参数式: ? ;

? x = x0 + t cos θ ? (其中θ为该直线 ? y = y 0 + t sin θ ?

倾斜角) 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号, ,t 若 P0P 方向向上则取正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小 正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ,夹角为α,则 tan

θ=

k 2 ? k1 1 + k1 k 2

,tanα=

k 2 ? k1 1 + k1 k 2

.

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ⊥ l2 的 充要条件是 k1k2=-1。 7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|=

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 = | Ax0 + By 0 + C | A2 + B 2




8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d

9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线 方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0; l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 1x+B1y+C1) 2x+B2y+C2) 由 (A (A =0; 与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C

≠ C1

).

10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域 为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线性约束条件和 线性目标函数; (3)画出满足约束条件的可行域; (4)求出最优解。 12 . 圆 的 标 准 方 程 : 圆 心 是 点 (a, b) , 半 径 为 r 的 圆 的 标 准 方 程 为 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 其 参 数 方 程 为

? x = a + r cos θ ? ? y = b + r sin θ

(θ为参数) 。

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 。 其 圆 心 为

? D E? ? ? ,? ? ? 2 2?

, 半 径 为

1 D 2 + E 2 ? 4F 2

。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为

? x + x? ?y + ? + E? 0 x 0 x + y 0 y + D? 0 ? 2 ? ? 2 ? ? ?

y? ? + F = 0. ? ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分) ,这条直线叫两圆的根轴。给定如 下三个不同的圆:x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行,这 就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例1 在ΔABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ADB=∠CDE。 见图 10-1, A 为原点, 所在直线为 x 轴, 以 AC 建立直角坐标系。 设点 B, 坐标分别为 C (0,2a) ,(2a,0),

[证明]

则点 D 坐标为(a, 0) 。直线 BD 方程为

x y + = 1, a 2a

①直线 BC 方程为 x+y=2a,

②设直线 BD 和 AE

的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD ⊥ AE,所以 k1k2=-1.所以 k 2

=

1 1 ,所以直线 AE 方程为 y = x , 2 2

1 ? ? y = x, ?4 2 ? 由? 解得点 E 坐标为 ? a, a ? 。 2 ?3 3 ? ? x + y = 2a ?

所以直线 DE 斜率为 k 3

=

2 a 3 4 a?a 3

= 2. 因为 k +k =0.
1 3

0

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边截圆所得的弧
0

所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建立直角坐标系见图 10-2,设⊙D 的半

径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分别为 E,F,设半径为 r,则直 线 AB,AC 的方程分别为

y = 3 x , y = ? 3 x .设⊙D 的方程为(x-m) +y =r .①设点 E,F 的坐标分别为
2 2 2

(x1,y1),(x2,y2),则

y1 = 3 x1 , y 2 = ? 3x 2 ,分别代入①并消去 y 得

2 ( x1 ? m) 2 + 3 x12 ? r 2 = 0.( x 2 ? m) 2 + 3 x 2 ? r 2 = 0.

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。

m ? ? x1 + x 2 = 2 , ? 由韦达定理 ? & 2 2 ?x x = m ? r ? 1 2 4 ?

,所以

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正ΔPQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不可能在双曲线 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标分别为

的同一支上。 [证明]

? 1 ? x1 , ? x1 ?

?? 1 ?, ? x 2 , ?? x2 ??

?? 1 ?, ? x3 , ?? x3 ??

? ?, 且 0<x1<x2<x3. ? ?

记∠RQP=θ, 它是直线 QR 到 PQ 的角, 由假设知直线 QR,

1 1 ? x3 x 2 1 PQ 的斜率分别为 k1 = =? x3 ? x 2 x 2 x3

1 1 ? x1 x 2 1 =? , k2 = . x1 ? x 2 x1 x 2

由到角公式 tan θ

=

k 2 ? k1 = 1 + k1 k 2

?

1 1 + x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 ? x3 ) = 2 2 < 0. 1 x1 x 2 x3 + 1 1+ 2 x1 x 2 x3

所以θ为钝角,与ΔPQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例4 求函数

f ( x) = x 4 ? 3 x 2 ? 6 x + 13 ? x 4 ? x 2 + 1 的最大值。
表示动点 P(x, x2)到两定点 A(3,

[解]

因为

f ( x) = ( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 0) 2

2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取最大值 |AB|=

10 .
已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成ΔABC,求 m 为何值时,

4.最值问题。 例5

ΔABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的 交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交点。设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m



0 , 则 k1 ? k2=

? 1? m? ? ? = ?1 , ? m?

S Δ ABC=

1 | AC | × | BC | 2

,由点到直线距离公式

|AC|=

| ?1 ? m 2 ? m | 1+ m2

=

| m2 + m +1| m2 +1
,|BC|=

| ?m ? 1 + m | 1 + m2

=

1 1 + m2


所以 SΔABC=

1 m2 + m + 1 1 ? m ? × = ?1 + 2 ? 。因为 2m≤m2+1,所以 S 2 2 2 ? m + 1? m +1
ΔABC

ΔABC



3 。又因为-m -1≤2m, 4
2

所以 ?

1 m ≤ 2 ,所以 S 2 m +1



1 . 4

当 m=1 时, ΔABC)max= (S 5.线性规划。

3 ;当 m=-1 时, (S 4

ΔABC

)min=

1 . 4

例6

设 x, y 满足不等式组 ?

?1 ≤ x + y ≤ 4, ? y + 2 ≥| 2 x ? 3 | .

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

[解]

?1 ≤ x + y ≤ 4, ?1 ≤ x + y ≤ 4, ? ? (1)由已知得 ? y + 2 ≥ 2 x ? 3, 或 ? y + 2 ≥ 3 ? 2 x, ?2 x ? 3 ≥ 0, ?2 x ? 3 < 0. ? ?

解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;CD:y=-2x+1;AD: x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距, 直线 l 与阴影相交, 因为 a>-1, 所以它过顶点 C 时, y)最大, f(x, C 点坐标为(-3,7) ,于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y)最小, 此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距

离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 设直线 OP 的参数方程为 ?

[解]

? x = t cos α (t 参数) 。 ? y = t sin α

代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα=0. 所以 t=0 或 t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα|,而|PM|=|2-tsinα|. 所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα=-1.
2 2

当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα=1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点,以 A 为圆心,

AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定ΔAT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,

记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 ⊥ MT2,T1H ⊥ MT2,所以 OT2//HT1,同理 OT1//HT2,
2 2

又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM ⊥ T1T2,OT1 ⊥ MT1,所以 OT1
2

= ON?OM。设点 H 坐标为(x,y) 。

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ?

b y ?x y? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再由 = 得 5 x ?2 2?

16 ? ? ? 16 ? 2 ?x? ? + y = ? ? . 5? ? ?5?

2

2

在 AB 上取点 K,使 AK= 例9

4 AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。 5

已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α和β,见图

10-7,求证:sin(α+β)是定值。 [证明] 过 D 作 OD ⊥ AB 于 D。 则直线 OD 的倾斜角为

α+β
2

, 因为 OD ⊥ AB, 所以 2? tan

α +β
2

= ?1 ,

所以 tan

α +β
2

=?

1 。所以 sin(α + β ) = 2

4 2 =? . 5 ?α + β ? 1 + tan 2 ? ? ? 2 ?

2 tan

α +β

例 10

已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小值。

[解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分别为 A(cosα,sin α),B(cosα,-sinα),由题设|AD|=|AB|=2sinα,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则α∈(0,π).由对称性可 设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) ,从而点 D 坐标为(cosα+2sinα,sinα),

所以|OD|=

(cos α + 2 sin α ) 2 + sin 2 α = 4 sin 2 α + 4 sin α cos α + 1

=

π? ? 2(sin 2α ? cos 2α ) + 3 = 3 + 2 2 sin? 2α ? ? . 4? ?
π? ? 2 ≤ 2 2 sin ? 2α ? ? ≤ 2 2 ,所以 2 ? 1 ≤| OD |≤ 2 + 1. 4? ?
时,|OD|max=

因为 ? 2

当α 例 11

3 = π 8

7 2 +1;当 α = π 8

时,|OD|min=

2 ? 1.

当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并求这一系列圆的

公切线的方程。 由?

[证明]

?a = 2m + 1, 消去 ?b = m + 1

m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切线方程为

y=kx+b , 则 由 相 切 有

2|m|=

| k (2m + 1) ? (m + 1) + b | 1+ k 2
, 对 一 切

m ≠ 0

成 立 。 即

(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立

3 ? k=? , ? 4k ? 3 = 0, ? ? 3 7 ? 4 所以 ? 即? 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y= ? x + 和 x=1. 4 4 ?k + b ? 1 = 0, ?b ? 7 . ? ? 4
三、基础训练题 1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是 __________. 2.已知θ∈[0,π],则

y=

3 + cos θ 2 ? sin θ

的取值范围是__________.

3. 三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形, 当点 P(x, y)在此三角形边上或内部运动时, 2x+y 的取值范围是__________. 4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________. 5.若λ∈R。直线(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0 与点 P(-2,2)的距离为 d,比较大小:d__________ 4

2.

6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,则此圆的方程为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C:x2+y2-4x-4y+7=0 相 切,则光线 l 所在的方程为__________. 8.D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件. 9.方程|x|-1=

1 ? ( y ? 1) 2

表示的曲线是__________.

10.已知点 M 到点 A(1,0) ,B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好有一个,则 a 可能值 的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2-2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最小值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。 四、高考水平训练题 1. 已知ΔABC 的顶点 A(3,4), 重心 G(1,1), 顶点 B 在第二象限, 垂心在原点 O, 则点 B 的坐标为__________. 2.把直线

3 x ? y + 2 + 3 = 0 绕点(-1,2)旋转 30 得到的直线方程为__________.
0

3.M 是直线 l:

x y + = 1 上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则在线段 AB 上满足 4 3

AP = 2 PB 的点 P 的轨迹方程为__________.
2 2 2 2

4.以相交两圆 C1:x +y +4x+y+1=0 及 C2:x +y +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程为__________.

5.已知 M={(x,y)|y=

2a 2 ? x 2

2

,a>0},N={(x,y)|(x-1) +(y-

3 ) =a ,a>0}.M I N ≠ ? ,a 的最大值与
2 2

最小值的和是__________. 6.圆 x +y +x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P,Q 两点,O 为原点,OP ⊥ OQ,则 m=__________.
2 2 2 2

7.已知对于圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y),使 x+y+m≥0 恒成立,m 范围是__________.
2 2

则直线 l 的方程为__________. 8. a 为不等于 1 的任何实数时, x -2ax+y +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切, 当 圆 9.在ΔABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那
2 2

么直线 xsin A+ysinA=a 与直线 xsin B+ysinC=c 的位置关系是__________. 10 . 设 A={(x,y)|0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2},B={(x,y)|x ≤ 10,y ≥ 2,y ≤ x-4} 是 坐 标 平 面 xOy 上 的 点 集 , C= ??

?? x1 + x 2 y1 + y 2 ? ? ? ? ? ( x1 , y1 ) ∈ A, ( x 2 , y 2 ) ∈ B ? 所围成图形的面积是__________. , ? 2 ? 2 ? ?? ? ? ?

11.求圆 C1:x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2:x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R+,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13.已知圆 C:x2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且∠OBA=900,OB 交⊙C 于 M,

AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0)的所有直线中,每条直 线上至少存在两个有理点的直线有_______条。 2.等腰ΔABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0,则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3.若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相垂直的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________. 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= ?

1 ? ( x ? 2) 2

有交点,则 k 的取值范围是__________.

6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________. 7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y≤3x, y≥

1 x, 3

x+y≤100 的整点个数是__________.

8.平面上的整点到直线
2

y=

5 4 x + 的距离中的最小值是__________. 3 5

9.y=lg(10-mx )的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________. 10.已知 f(x)=x -6x+5,满足 ?
2

? f ( x) + f ( y ) ≤ 0, 的点(x,y)构成图形的面积为__________. ? f ( x) ? f ( y ) ≥ 0

11.已知在ΔABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以一定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。 (1)证明:运动过程中ΔDEF 的重心不变; (2)当ΔDEF 面积取得最小值时,其值是ΔABC 面积的多少倍?
2 2

12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x +y =9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两边始终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。
2 2

13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x +y +2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上,且满足|PA|?|PB|=2, 当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题
2 2

1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x -xy+y 的最大值、最小值。 2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a) ,矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d) ,其中 a<d<c<b,求证:矩形Ⅰ能够放入矩形
2 2 2 2 2

Ⅱ的充要条件是:(ac-bd) +(ad-bc) ≥(a -b ) . 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1,B1,C1,D1,E1 构成 的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合,使得: (1)每个整点 都在此集合的某一圆周上; (2)此集合的每个圆周上,有且只有一个整点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,…,ln,…的直线族,它满足条件: (1)点(1,1) ∈ln,n=1,2,3,…;2)n+1≥an-bn, ( k 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, a n=1,2,3,…; (3)knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都与此圆相交,l1 交圆于 A,B,l2 交圆 于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:

1 1 1 1 + = + . | OR | | OS | | OP | | OQ |


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