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高中数学 微积分


高中数学 微积分
一、导数
1.导数的定义 定义:设函数 y ? f ? x ? 在点 x0 的某邻域内有定义,若极限 lim
x ? x0

f ? x ? ? f ? x0 ? 存在, x ? x0

则称函数 f 在点 x0 处可导,并称该极限值为函数 f 在点 x0 处的导数,记为 f ? ? x0 ?

(或

dy df .若令 x ? x0 ? ?x , ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ,则 y ? |x ? x0 , | x? x0 , | x? x0 ) dx dx

x ? x0

lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ? .所以,导数是函数增量 可改写为 lim ? x ? 0 ?x x ? x0

?y 与自变量增量 ?x 之比的极限.这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称差
商) ,而导数 f ? ? x0 ? 则为 f 在 x0 处关于 x 的变化率.若 lim
x ? x0

f ? x ? ? f ? x0 ? 极限不存在,则 x ? x0

称 f 在点 x0 处不可导. 2.导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导 (对区间端点, 仅考虑相应的单侧导数) , 则称 f 为 I 上 的可导函数.此时,对每一个 x ? I ,都有 f 的一个导数 f ? ? x ? (或单侧导数)与之对应, 这样就定义了一个在 I 上的函数,称为 f 在 I 上的导函数,也简称为导数,记为 f ? 或 y? , 即 f ? ? x ? ? lim

?x ?0

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ,x ? I . ?x

3.导数的几何意义 函数 f 在点 x0 处的导数 f ? ? x0 ? 是曲线 y ? f ? x? 在点 ? x0 , y0 ? 处的切线斜率.曲线

y ? f ? x ? 在点 ? x0 ,y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? .
4.求导法则 (1)基本求导法则

① ? u ? v ?? ? u? ? v? ; ② ? uv ?? ? u?v ? uv? , ? cu ?? ? cu ? ( c 为常数) ; ③?

? u ?? u ?v ? uv? , ? 1 ?? ?v? ; ? ? ? ? ? 2 v2 v ?v? ?v?

④反函数导数 dy ? 1 ;

dx

dx dy

⑤复合函数导数

dy dy du . ? ? dx du dx

(2)基本初等函数导数公式 ① ? c ?? ? 0 ( c 为常数) ; ② x? ? ? ? x? ?1 ( ? 为任意实数) ;

? ?

③ ? sin x ?? ? cos x , ? cos x ?? ? ? sin x ; ④ ? tan x ?? ? sec 2 x , ? cot x ?? ? ? csc 2 x ,

? sec x ?? ? sec x tan x , ? csc x ?? ? ? csc x cot x ;


? a ?? ? a
x

x

ln a , ? e x ?? ? e x .
1 1 , ? ln x ?? ? . x ln a x

⑥ ? log a x ?? ?

5.导数的应用 (1)判断函数单调性 定 理 :设 函 数 f ? x ? 在 区 间 I 上可 导 ,则 f ? x ? 在 I 上 递 增 (减) 的 充要 条 件是

f ? ? x ? ? 0 ? ? 0? .
推论:设函数 f ? x ? 在区间 I 上可导,若 f ? ? x ? ? 0 ? ? 0? ,则 f ? x ? 在区间 I 上严格递 增(严格递减) . (2)函数的极值 定 义 : 若 函 数 f ? x ? 在 点 x0 的 某 邻 域 U ? x0 ? 内 对 一 切 x ?U ? x0 ? 有

f ? x0 ? ? f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? x ?? ,则称函数 f ? x ? 在点 x0 取得极大(小)值,称点 x0 为极
大(小)值点.极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小值点统称为极值点.

(3)最值 对于闭区间 ? a, b? 上的连续函数 f ? x ? ,我们只要比较 f 在所有稳定点、不可导点和区 间端点上的函数值,就能从中找到 f 在区间 ? a, b? 上的最大值与最小值.

二、定积分
1.定义: 设 f 是定义在 ? a,b? 上的一个函数,J 是一个确定的实数. 若对任给的正数 ? , 总存在某一正数 ? ,使得对 ? a ,b? 的任何分割 T ,以及在其上任意选取的点集 ??i ? ,只要

T ? ? ,就有 ? f ??i ? ?xi ? J ? ? ,则称函数 f 在区间 ? a ,b? 上可积或黎曼可积;数 J
i ?1

n

称为 f 在区间 ? a ,b? 上的定积分或黎曼积分, 记为 J ?

? f ? x ?dx ,其中 f 称为被积函数,
a

b

x 称为积分变量, ? a ,b? 称为积分区间, a , b 分别称为这个定积分的下限和上限.
牛 顿 — 莱 布 尼 茨 公 式 : 若 函 数 f 在 ? a ,b? 上 连 续 , 且 存 在 原 函 数 F , 即

F ? ? x? ? f? ? x, x ??a ,b? ,则 f 在 ? a, b? 上可积,且 ? f ? x ?dx ? F ? b ? ? F ? a ? ,这称
b a

为牛顿—莱布尼茨公式,它也常写为

? f ? x ?dx ? F ? x ? | .
a b a

b

2.几何意义:对于 ? a, b? 上的连续函数 f ,当 f ? x ? ? 0 , x ?? a ,b? ,定积分的几何 意义就是 y ? f ? x? , x ? a , x ? b , y ? 0 所围成的曲边梯形的面积;当 f ? x ? ? 0 ,

? f ? x ?? x ??a ,b? 时,这时 J ? ?? ? ?dx 是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数,不妨 a ?
b

称之为“负面积” ;对于一般非定号的 f ? x ? 而言,定积分 J 的值则是曲线 y ? f ? x ? 在 x 轴 上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和. 3.性质: 性 质 1 : 若 f 在 ? a, b? 上 可 积 , k 为 常 数 , 则 kf 在 ? a ,b? 上 也 可 积 , 且

?

b

a

kf ? x ?dx ? k ? f ? x ?dx .
a

b

性 质 2 : 若 f 、 g 都 在 ? a, b? 上 可 积 , 则 f ? g 在 ? a ,b? 上 也 可 积 , 且

? f ? x ? ? g ? x ?? ?dx ? ?a f ? x ?dx ? ?a g ? x ?dx . ?a ?
性质 3:若 f 、 g 都在 ? a ,b? 上可积,则 f ? g 在 ? a ,b? 上也可积. 性质 4: f 在 ? a, b? 上可积的充要条件是:任给 c ? ? a, b ? , f 在 ? a ,b? 与 ? a ,b? 上 都可积.此时又有等式

b

b

b

? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx .
a a c

b

c

b

性质 5:设 f 为 ? a, b? 上的可积函数.若 f ? x ? ? 0 , x ? ? a, b? ,则 性质 6: 若 f 在 ? a, b? 上可积, 则 f 在 ? a ,b? 上也可积, 且
b a

? f ? x ?dx ? 0 .
a
b a

b

? f ? x ?dx ? ?

f ? x ? dx .

性质 7: (积分第一中值定理)若 f 在 ? a ,b? 上连续,则至少存在一点 ? ?? a ,b? , 使得

? f ? x ?dx ? f ?? ??b ? a ? .
a

b

性质 8: 设 f 在 ? a ,b? 上连续, 若 F ? x? ? 处处可导. 4.定积分的应用

? f ?t ?dt ,x ??a, b? 则 F ? x? 在 ?a ,b? 上
x a

①求平面图形的面积:由连续曲线 y ? f ? x ? (? 0) 以及直线 x ? a , x ? b ? a ? b ? ,

y ? 0 所围成的曲边梯形的面积为 A ? ? f ? x ?dx ? ? ydx ,如果 f 在 ? a ,b? 上不都是非
b b a a

负的,则所围成图形的面积为 A ?

? f ? x ? dx ? ?
a

b

b

a

y dx .一般地,由上、下两条连续曲线

y ? f2 ? x ? 与 y ? f1 ? x ? 以及两条直线 x ? a , x ? b ? a ? b ? 所围成的平面图形的面积为
A?? ? f ? x ? ? f1 ? x ? ? ?dx . a ? 2
b

三、例题选讲
例1
求下列函数的导数.
5 3

(1) y ? x ? x ? x ; (3) y ?

(2) y ? sin x ? cos x ; (4) y ? x cos x ? 3x ? 1 .
2

x ; 1? x

解析:根据求导法则及四则运算进行求解.
(1) y ? ? x

? ?? ? ?x ?? ? x? ? 5x
5 3

4

? 3x 2 ? 1 ;

(2) y ? ? ?sin x ? ? ?cos x ? ? cos x ? sin x ; (3) y ? ? ?

?

?

? ? x ??1 ? x ? ? x?1 ? x ? 1 ? x ? ? ? ; ? 2 ?1 ? x ? ?1 ? x ?2 ?1? x ?

(4) y ? ? x

? ?? cos x ? x ?cos x ?? ? 3 ? 2 x cos x ? x
2 2

2

sin x ? 3 .

例 2 求过曲线 y ? 2 ln x 上点 A?e, 2? 处的切线方程.
? 2 解析:利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键.? y ? ? ?2 ln x ? ? ,由导数 x 2 2 的 几 何 意 义 , 曲 线 在 点 A?e, 2? 处 的 斜 率 k ? | x ? e ? , 故 所 求 的 切 线 方 程 为 x e 2 y ? 2 ? ? x ? e ? ,即 2 x ? ey ? 0 . e

例 3 求 y ? x 4 ? 2x 2 ? 8 的单调区间. 解析:令 y? ? 4x 3 ? 4x ? 4x x 2 ? 1 ? 4x?x ? 1??x ? 1? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ?1 ,

?

?

x3 ? 1 ,列表如下:

x
f ?? x ? f ?x ?

?? ?, ? 1?
小于0
单调递减

?? 1, 0?
大于0
单调递增

?0, 1?
小于0
单调递减

?1, ? ??
大于0
单调递增

所以 f ?x ? 在区间 ?? 1 , 0? , ?1, ? ? ?上单调递增;在区间 ?? ?, ? 1? , ?0, 1? 上单调递减.

例 4 已知函数 f ?x ? ? x 3 ?

1 2 x ? bx ? c . 2

(1)若 f ?x ? 有极值,求 b 的取值范围; (2)若 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极值,当 x ? ?? 1 , 2? 时, f ?x? ? c 2 恒成立,求 c 的取值范 围;

, 2? 内的任意两个值 x1 , x2 ,都有 (3)若 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极值时,证明:对 ?? 1
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? 7 . 2
1 ; 12

2 解析: (1) f ??x ? ? 3x ? x ? b , 令 f ??x ? ? 0 , 由? ? 0 , 得 1 ? 12b ? 0 , 即b ?

( 2 )因为 f ?x ? 在 x ? 1 处取得极值,故 f ??1? ? 0 ,即 3 ? 1 ? b ? 0 ,得 b ? ?2 ,令

2 2 f ??x? ? 0 ,得 x1 ? ? , x2 ? 1 ,当 x 的取值为 ? ,1 ,? 1 ,2 时,经比较,当 x ? 2 时, 3 3

f ?x?max ? 2 ? c ,所以 2 ? c ? c 2 ,解得 c ? 2 或 c ? ?1 ;
(3)可以计算得 f ?x?max ? 2 ? c , f ? x ?min ? ?

3 ? c ,所以对 ?? 1 , 2? 内的任意两个值 2

? 3 ? 7 x1 , x2 ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 2 ? c ? ? ? ? c ? ? . ? 2 ? 2

例 5 计算:
(1) (2) (3)

? ?x
1 0

2

? 2 dx ;

?

? ?x ? cos x ?dx ;
2 0

?

? ?ax
2 1

2

? bx dx ,其中 a , b 为实数.

?

1 7 ?1 3 ?1 1 2 解析: (1) ? x ? 2 dx ? ? x ? 2 x ? |0 ? ? 2 ? ; 0 3 3 ?3 ?

?

?

(2)

?1 2 ? 2 ? x ? sin x ? |0 ? ? ?x ? cos x?dx ? ? 8 ?2 ?
2 0

?

?

2

?1;

(3)

? ?ax
2 1

2

b ? 2 8a a b 7a 3b ?a ? bx dx ? ? x 3 ? x 2 ? |1 ? ? 2b ? ? ? ? . 2 ? 3 3 2 3 2 ?3

?

例 6 计算由曲线 y ? x 2 与 y 2 ? x 所围成的图形的面积. 解析:如图,所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组 ?

2 ? ?y ? x , 得交点横坐标为 x ? 0 及 x ? 1 . 2 ? y ? x , ?

? S ? S曲边梯形OABC ? S曲边梯形OABD ? ?

1

0

x dx ? ? x 2 dx ?
0

1

2 2 1 1 3 1 2 1 1 x |0 ? x |0 ? ? ? . 3 3 3 3 3

3


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