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数学选修4-4(A)曲线的极坐标方程 综合练习2


曲线的极坐标方程 综合练习 2
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.已知 A(5,
? 5? ), B(8, ),则在极坐标平面内,|AB|为( 12 12

)。

(A)8 (B)7 (C)6 (D)5 2.把点 P(-3, 4)的直角坐标化为相应的极坐标是( )。 (A)[-5, arccos(- )] (C)[5, arctg(- )]
4 3 3 5

(B)(-5, -arccos ) (D)(5, arcsin )
4 5

3 5

3.下列方程组中,(x, y), (ρ ,θ )分别表示原点为极点,X 轴正方向为极轴的直角坐 标和极坐标,则表示同一曲线的是( )。 (A)θ =
? 1 和 cosθ = 2 3

(B)sinθ = 和 cosθ =

1 2

3 2

(C)y=x 和 ρ =θ (D)ρ 2=25 和 ρ =-5 4.极坐标方程 ρ =sinθ +2cosθ 表示( )。 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线 3 5.极坐标平面内,过曲线 ? ? 的中心且与极轴垂直的直线方程为( 2 ? cos ?



A. ? ? cos ?

B. ? ? cos 2?

C. ? cos ? ? 1


D. ? cos? ? 2

6.极坐标系中,椭圆 ? ?

ep 的长轴长为( 1 ? e cos ?

A.

2ep 1 ? e2

B.

ep 1 ? e2

C.

2ep 1 ? e2

D.

1 ? e2 2ep


7.极坐标平面内,直线 ? ?

?
3

( ? ? R ) 被曲线 ? ?

2 所截得的弦长为( 3 ? 2 cos ?

A.2
8.已知双曲线

B.

3 2

C.

7 5

D.1

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,过点 F 且倾斜角为 60°的直 a2 b2

线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 9.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y ? kx ? 2 ? 0 与曲线 C: ? ? 2 cos? 相交,则 k 的取值范围是( A. k ? ?
3 4

) 。 D. k ? R 但 k ? 0 ) 。
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B. k ? ?

3 4

C. k ? R

10.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为(
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A. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 C. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 D. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

11.圆

的圆心的极坐标是(



A、

B、

C、

D、

12.直线

的位置关系是(



A、平行 B、垂直 C、相交不垂直 D、与 有关,不确定 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 13.在极坐标系中,圆心在极轴上,半径等于 1,且经过极点的圆的方程 是 。 ? 14.过点(3, )且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 。 3 2 ? 15.已知 M(8, - π )、N(6, ),则 MN 的中点的极坐标是 。 3 3 (ρ ≤0, 0≤θ <2π ) 4 ? 16.在极坐标系中,已知 A(-3, π )、B(5, )、O(0, 0),那么|AB|= 6 3 S△ABO= 。 17.把极坐标化为直角坐标: 则点 A(-2, -
3? )的直角坐标是 2



; ; 。 。

点 B(2, 1)的直角坐标是 点 C(-13, arctg

5 )的直角坐标是 12 2? 3 18.在曲线 ρ = 上,极角为- 的点的直角坐标是 3 cos ?

三、解答题(19~21 每题 6 分,22、23 题各 8 分,共 34 分) 19.化曲线的直角坐标方程为极坐标方程:x2=2p(y+ )
p 2

(p>0)

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20.过椭圆的左焦点 F 作长为 8 的弦 AB ,已知椭圆的长轴长为 10,短轴长为 8, ?AOB 的面积( O 为椭圆中心) .



21.已知过抛物线焦点的两条弦互相垂直,且其弦长分别为 l1 , l2 ,

1 1 求证: ? 为定值. l1 l2

22.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|= 4 2 ,过椭圆焦点 F1 作一直线, 交椭圆于两点 M,N 设∠F2F1M=α (0≤α <π )当 α 取什么值时,|MN|等于椭 圆短轴的长?
王新敞
奎屯 新疆

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23.已知 PQ 是 ? O 的直径, PQ ? 2R , A, B 是 PQ 上的两点, MN , RS 是分别过
A, B 且与 PQ 成 45? 角的两条平行弦,求证: BR ? AM ? BS ? AN ? 2R2 .

M R P N S

A

O

.B

Q

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参考答案 一、BDBBC

CDCCB

AB
3 15 ? ;15.(-1, );16. 34 ? 15 3 , ; 3 2 4

二、13.ρ =2cosθ ;14.ρ cosθ =

17.(0, -2),(2cos1, 2sin1),(-12, -5);18.(3, 3 3 )。 三、19.解:由互化公式得:

? 2 cos2 ? ? 2 p? sin ? ? p2 ? ? 2 ? ? 2 sin2 ? ? 2 p? sin ? ? p2 ,
p 。 1 ? sin ? 20.解:以 F 为极点,Fx 为极轴建立极坐标系,

所以有: ? ? ? sin ? ? p ? ? ?

3 16 ? 16 椭圆方程为: ? ? 5 3 ? , 3 5 ? 3cos ? 1 ? cos ? 5
设 A( ?1 ,? ), B( ?2 , ? ? ? ) ,则 | AB |? 8 ? ?1 ? ?2 ? 所以 cos 2 ? ?
S?ABC ?
5 。 9 16 16 ? , 5 ? 3cos ? 5 ? 3cos ?

1 1 2 ?1 ? | OF | sin ? ? ? 2 | OF | sin ? ? 4 | OF | sin ? ? 4 ? 3 ? ? 8 。 2 2 3
王新敞
奎屯 新疆

21.略。 22.以椭圆焦点 F1 为极点,以 F1 为起点并过 F2 的射线为极轴建立极坐标系 由已知条件可知椭圆长半轴 a=3,半焦距 c= 2 2 ,短半轴 b=1,离心率 e=

2 2 ,中心到准线 3

距离=

9 2 , 4
ep 1 2 ? .椭圆的极坐标方程为 ? ? 1 ? e cos? 3 ? 2 2 cos? 4

焦点到准线距离 p=

?| F1 M |? ?1 ?

1

3 ? 2 2 cos? 6 | MN |? ?1 ? ? 2 ? ? 2. 9 ? 8 cos2 ?

. | F2 N |? ? 2 ?

1 3 ? 2 2 cos?

,
y M

解得 cos? ? ?

2 ? 5? . ? ? ? 或? ? . 2 6 6

F1 N

O

F2

x

以上解方程过程中的每一步都是可逆的, ? 5? 所以当 ? ? 或 ? ? 时,|MN|等于短轴的长 6 6
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王新敞
奎屯

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23.略。

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