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黄冈中学2014年秋季高三年级11月月考数学


黄冈中学 2014 年秋季高三年级 11 月月考数学(理科)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. )
x 1. 设集合 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? y|y ? 2 , x ? [0, 2] ,则 A

?

?

/>
?

?

B?(

) D. (1, 4)

A. [0, 2]

B. (1,3)

C. ?1,3?

2. 若 ? 是第三象限角,且 tan ? ? A. ?

1 ,则 cos? ? ( ) 3
C. ?

10 3

B.

3 10 10

3 10 10

D. ?

10 10

3. 函数 f ( x) ? log 3(2 x ?1) 的值域为( ) A. (0, ??) B.

?0, ???

C. (1, ??)

D. ?1, ?? ?

4. 已知向量 i 与 j 不共线,且 AB ? i ? m j, AD ? ni ? j, m ? 1 ,若 A, B, D 三点共线,则 实数 m, n 满足的条件是( ) A. m ? n ? 1 5. 函数 f ( x) ? lg x ? A. ? 0,1? 6. 若数列 ?an ? 满足 B. m ? n ? ?1 C. mn ? 1 D. mn ? ?1

1 的零点所在的区间是( ) x
B. ?1, 2 ? C. ? 2,3? D. ? 3,10?

1 p 则称数列 ?an ? 为 “梦想数列” 。 ? ? 0 ,n ? N * , p为非零常数 , an?1 an

已知正项数列 ? A.2

?1? ,且 b1b2b3 ? 为“梦想数列” ? bn ?
B.4

b99 ? 299 ,则 b8 ? b92 的最小值是( )
C.6 D.8

2 ? 1 ?( x ? 1) (?1 ? x ? 0) 7. 已知函数 f ( x) ? ? ,则 ? f ( x)dx ? ( ) 2 ?1 ? ? 1 ? x (0 ? x ? 1) 3? ? 8 4 ? 3? 4?? ?4 ? 3? A. B. C. D. 12 12 4 12

8.下列四种说法中, ①命题“存在 x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是“对于任意 x ? R, x ? x ? 0 ” ; ②命题“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件;
2 2

③已知幂函数 f ( x) ? x? 的图象经过点 (2,

2 1 ) ,则 f (4) 的值等于 ; 2 2

④已知向量 a ? (3, ?4) , b ? (2,1) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 说法正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3

2 . 5

D.4

9. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ?( x) ? 1 ? f ( x) , f (0) ? 6 , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, 则不等式 ex f ( x) ? e x ? 5 (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. ? 0, ?? ? C. ? ??, 0 ? U ?1, ?? ? )

B. ? ??, 0 ? U ? 3, ?? ? D. ? 3, ?? ?

?5 2 x (0 ? x ? 2) ? ?16 10.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时,f ( x) ? ? ?( 1 ) x ? 1( x ? 2) ? ? 2



关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 , a, b ? R 有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的 取值范围是( A. ( ? ) B. ( ?

5 9 ,? ) 2 4 5 9 9 C. (? , ? ) ( ? , ?1) 2 4 4

9 , ?1) 4 5 D. ( ? , ?1) 2

二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 把答案填在答题卡中相应的横线上. ) 11.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,则通项公式 an ? 12.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图象如右图所示,则 f (2) ? 13.函数 f ( x) ? (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) 的单调增区间是
2

.



.

14.已知 ?ABC 中的内角为 A, B, C ,重心为 G ,若 则 cos B ? 2sin A?GA ? 3 sin B?GB ? 3sin C ? GC ? 0 , .

15. 定 义 函 数 f ( x) ? x ? ?x? , 其 中 ? x? 表 示 不 小 于 x 的 最 小 整 数 , 如 ?1.5? ? 2 ,

??2.5? ? ?2 .当 x ? ? 0, n? , n ? N * 时,函数 f ( x) 的值域为 An ,记集合 An 中元素的个
1 1 ? ? a1 a2 ? 1 ? ________. an

?

?

数为 an ,则

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分) 若 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a, b, c ? R) 满 足 f ( x? 1 )? f ( x ? )

4 x? ,1且

f(0) ? .3
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若在区间 [?1,1] 上,不等式 f ( x) ? 6 x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 已知递增等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 S3 ? 2S2 ? 1 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? 2n ?1 ? an (n ? N * ) ,且 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ,求证: Tn ? 2 . 18. (本小题满分 12 分)

3 4 2 (1)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值; (2)设函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b , 已知在 ?ABC 中, 内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,
已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ?1) . 若 a ? 3 , b ? 2 , sin B ?

? ? 6 ,求 f (x) ? 4cos(2 A ? ) ( x ? [0, ] )的取值范围. 6 3 3

19.(本小题满分 12 分) 北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞 标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不 低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定立即对该商品 进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 为技改费用,投入 50 万元作为固定宣传费用,投入

1 2 ( x ? 600) 万作 6

x 万元作为浮动宣传费用.试问: 5

当该商品改革后的销售量 a 至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于 原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.

20.(本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ln x ? cos x ? (

an ?1 ? an ? nf ?(

?
6

9 ? ) x 的 导 数 为 f ?( x ) , 且 数 列 ?an ? 满 足 ? 2

6

)? 3 n(? N * . )

(1)若数列 ?an ?是等差数列,求 a1 的值; (2)当 a1 ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)若对任意 n ? N * , 都有
2 an ? an?12 ? 4 成立,求 a1 的取值范围. an ? an?1

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? a ln(x ? 1) , g ( x) ? x 2 ? bx , F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,其中 a, b ? R . (1)若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像在交点 (2, k ) 处的切线互相垂直,求 a , b 的值; (2) 若 x ? 2 是 函 数 F ( x) 的 一 个 极 值 点 , x0 和 1 是 F ( x) 的 两 个 零 点 , 且

x0 ? (n, n ? 1) , n ? N * ,求 n 的值;
(3) 当 b ? a ? 2 时 , 若 x1 , x2 是 F ( x) 的 两 个 极 值 点 , 当 x1 ? x2 ? 1 时 , 求 证: F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 3 ? 4ln 2 .

参考答案
1.C. 2.C 3.A 4. C 5. C 6.【解析】B 依题意可得 bn?1 ? qbn ,则数列 ?bn ? 为等比数列。又 b1b2b3

b99 ? 299 ? b5099 ,

则 b50 ? 2 。b8 ? b92 ? 2 b8 ? b92 ? 2b50 ? 4 ,当且仅当 b8 ? b92 即该数列为常数列时取等号. 7.B. 8. 【答案】A

【解析】①命题“存在 x∈R,x2-x>0”的否定是“对于任意 x∈R,x2-x≤0”,

故①不正确; ②命题“p 且 q 为真”,则命题 p、q 均为真,所以“p 或 q 为真”.反之“p 或 q 为真”,则 p、q 不见得都真,所以不一定有“p 且 q 为真”所以命题“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的充分不必要条件,故命题②不正确; 1 2 2 ③由幂函数 f(x)=xα 的图象经过点(2, ) ,所以 2α = ,所以 α = ? , 2 2 2 所以幂函数为 f ( x) ? x ,所以 f (4) ? 4
? 1 2
? 1 2

?

1 ,所以命题③正确; 2

④向量 a 在向量 b 方向上的投影是 a cos ? ? ④错误.

a ?b b

?

2 2 5 , ? 是 a 和 b 的夹角,故 ? 5 5

9.【解析】A 解析:由题意可知不等式为 e f ? x ? ? e ? 5 ? 0 ,
x x
x x x x x x 设 g ? x ? ? e f ? x ? ? e ? 5? g ? ? x ? ? e f ? x ? ? e f ? ? x ? ? e ? e ? ? f ? x ? ? f ? ? x ? ? 1? ??0

所以函数 g ? x ? 在定义域上单调递增,又因为 g ? 0 ? ? 0 ,所以 g ? x ? ? 0 的解集为 x ? 0 10. 【解析】 依题意 f ( x ) 在 (??, ?2) 和 (0, 2) 上递增, 在 (?2, 0) 和 (2, ??) 上递减, 当 x ? ?2 时,函数取得极大值

5 ;当 x ? 0 时,取得极小值 0 。要使关于 x 4

的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0 , a, b ? R 有且只有 6 个不同实数 根,设 t ? f ( x) ,则 t ? at ? b ? 0 必有两个根 t1 、 t 2 ,则有两种
2

t1 ? 情况符合题意: (1)

5 5 9 5 ,( ) , , 且 t2 ?1 此时 ?a ? t1 ? t2 , 则 a ? (? , ? ) ; (2) t1 ? ? 0,1? , 4 2 4 4 5 9 5 9 9 t2 ? (1, ) ,此时同理可得 a ? ( ? , ?1) ,综上可得 a 的范围是 (? , ? ) (? , ?1) .故选 4 4 2 4 4
*

答案 C. 11.【解析】设 an ? a1q n?1 ,带入 4a2 ? 4a1 ? a3 ,解得 q ? 2 ,则 an ? 2n?1 , n ? N . 12. 【解析】 依题意知

3 2? 3? 3? ? ? ? ?2, ?? ? ?? ? , , 又过点 (1,1) , 则令 得? ? ? 。 4 ? 4 4 2 4

故 f (2) ? sin(

3? ? 2 ?2? ) ? ? . 4 4 2
2 x( x ? 2) 则增区间为 (0, ??) . x ?1 ,

13.【解析】函数的定义域为 (?1, ??) ,又 f ?( x ) ? 14. 【 解 析 】

1 解 析 : 设 a, b, c 为 角 A, B, C 所 对 的 边 , 由 正 弦 定 理 得 12

2aGA ? 3bGB ? 3cGC ? 0 , 则 2aGA? 3 bGB ? ?3 cGC ? ?3 ( c? GA ? GB )

即 ? 2a ? 3c ? GA ?

?

3b ? 3c GB ? 0 , 又 因 为 GA, GB 不 共 线 , 则 2a ? 3c =0 ,

?

3b ? 3c=0 ,即 2a ? 3b ? 3c, 所以 a ?

a 2 ? c 2 ? b2 1 3b 3b ? . ,? cos B ? ,c ? 2ac 12 2 3

15 . 定 义 函 数 f ( x) ? x ? ?x? , 其 中 ? x? 表 示 不 小 于 x 的 最 小 整 数 , 如 ?1.5? ? 2 ,

??2.5? ? ?2 .当 x ? ? 0, n? ,n ? N * 时,函数 f ( x) 的值域为 An ,记集合 An 中元素的个数为
an ,则
? 1 ? ________. an

?

?

1 1 ? ? a1 a2 2n 【答案】 n ?1

【 解 析 】 易 知 : 当 n ? 1 时 , 因 为 x ? ? 0,1? , 所 以 ?x? ? 1 , 所 以 x ?x? ? 1 , 所 以 当 n ? 2 时, 因为 x ? ?1, 2? , 所以 x ?x? ? ? 2,4? , 所以 A2 ? ?1,3, 4? , a2 ? 3 ; 所以 ? x? ? 2 , 当 n ? 3 时 , 因 为 x ? ? 2,3? , 所 以 ? x? ? 3 , 所 以 x ? x x? ? 6 , ?9, 所 以 ? ? ?3 ?

?

?

A1 ? ?1? , a1 ? 1;

?

?

?

?

A3 ? ?1,3,4,7,8,9?, a3 ? 6 ;
当 n ? 4 时 , 因 为 x ? ? 3, 4? , 所 以 ? x? ? 4 , 所 以 x ? x ,所以 ? ? ?4 x ? ?? 1 2 , 1 ?6

?

?

A4 ? ?1,3,4,7,8,9,13,14,15,16?, a4 ? 10 ;
当 n ? 5 时 , 因 为 x ? ? 4,5? , 所 以 ? x? ? 5 , 所 以 x ?x? ? ?5x? ? ? 20,25? , 所 以

?

?

A5 ? ?1,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25?, a5 ? 15 ,
由此类推: an ? an?1 ? n ,所以 an ?

n(n ? 1) 1 2 1 ? ?1 ,所以 ? ? 2? ? ? ,所以 2 an n(n ? 1) ? n n ?1 ?

1 1 ? ? a1 a2

?

1 2n ? an n ? 1
f (0) ? 3 得, c ? 3 .

2

16.【解析】 (1)由

f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 .
2

又 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 4 x ? 1 ,∴ a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? 3 ? (ax ? bx ? 3) ? 4 x ? 1 , 即 2ax ? a ? b ? 4 x ? 1 , ∴?

?2a ? 4 ?a ? 2 2 ,∴ ? .∴ f ( x) ? 2x ? x ? 3 . ?a ? b ? 1 ?b ? ?1

2 2 (2) f ( x) ? 6 x ? m 等价于 2 x ? x ? 3 ? 6 x ? m ,即 2 x ?7 x ?3 ? m 在 [?1,1] 上恒成立,

令 g ( x) ? 2 x ? 7 x ? 3 ,则 g ( x)min ? g (1) ? ?2 ,∴ m ? ?2 .
2

a ? q , a3 ? q , 17.【解析】 (1)设公比为 q,由题意:q>1, a1 ? 1 ,则 2
2



s

3

? 2 s2 ? 1

,∴

a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 1
n ?1

2 a ?2 则 1 ? q ? q ? 2(1 ? q) ? 1 解得: q ? 2 或 q ? ?1 (舍去) ,∴ n

(2)

bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2n ?1

n ?1 Tn ? ? ?1 ? 3 ? ..... ? ? 2n ? 1? ? ? ? ?1 ? 2 ? ......2 ?

?

n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2

又∵ ∴

1,??? 上是单调递增的 Tn ? n 2 ? 2n ?1 在 ?

Tn ? T n ? 2 1 ? 2 ∴T

2 18. 【答案】 (1) cos x ? sin 2 x ?

8 3 ?? 1 ? (2) ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 5 2 6? 2 ? 3 3 解析: (1) a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ? 4 4 2 cos x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5
(2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ?

2 sin(2 x ?

?
4

)+

3 2

由正弦定理得

a b 2 ? 3? ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

?
4
? ? ? 11? ? ? ?? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , , 4 ? 4 12 ? ? 3? ?

?? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? , 6? 2 4 ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ?x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ? t - 25 19.解:(1)设每件定价为 t 元,依题意得?8- ×0.2?t≥25×8, 1 ? ?
整理得 t2-65t+1 000≤0,解得 25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元. 1 1 (2)依题意知当 x>25 时,不等式 ax≥25×8+50+ (x2-600)+ x 有解, 6 5

150 1 1 等价于 x>25 时,a≥ + x+ 有解. x 6 5 150 1 由于 + x≥2 x 6 150 1 150 x × x=10, 当且仅当 = , 即 x=30 时等号成立, 所以 a≥10.2. x 6 x 6

当该商品改革后的销售量 a 至少达到 10.2 万件时,才可能使改革后的销售收入不低于 原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元. 20.解: f ?( x) ?

1 6 9 ? ? sin x ? ? ,则 f ?( ) ? 4 ,故 an?1 ? an ? 4n ? 3 x ? 2 6

(1)若数列 ?an ?是等差数列,则 an ? a1 ? (n ?1)d , an?1 ? a1 ? nd. 由 an?1 ? an ? 4n ? 3 得 (a1 ? nd ) ? [a1 ? (n ?1)d ] ? 4n ? 3 ,解得: d ? 2, a1 ? (2)由 an?1 ? an ? 4n ? 3( n ? N *). 得 an?2 ? an?1 ? 4n ? 7

5 2

两式相减,得 an? 2 ? an ? 4

故数列 ?a2n?1? 是首项为 a1 ,公差为 4 的等差数列.数列 ?a2 n ? 是首项为 a2 ,公差为 4 的等差数列, 由 a2 ? a1 ? 7, a1 ? 2, 得a2 ? 5, 所以 an ? ?

? 2 n,

n为奇数

?2n ? 1, n为偶数.

①当 n为奇数时,an ? 2n, an?1 ? 2n ? 3.

Sn ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?
? 7 ? 15 ?

? (an?2 ? an?1 ) ? an

n ?1 ? (4n ? 5 ? 7) 2n2 ? 3n ? 1 2 ? (4n ? 5) ? 2n ? ? 2n ? 2 2

②当 n 为偶数时,

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?
(3)由(2)知, an ? ?

? (an?1 ? an ) ? 7 ? 15 ?

2n2 ? 3n ? (4n ? 1) ? 2

?2n ? 2 ? a1 , n为奇数 ?2n ? 3 ? a1 , n为偶数

①当 n 为奇数时, an ? 2n ? 2 ? a1 , an?1 ? 2n ? 5 ? a1.
2 an ? an?12 由 ? 4得2a12 ? 14a1 ? ?8n2 ? 4n ? 17. an ? an?1

令 f (n) ? ?8n ? 4n ? 17 ? ?8(n ? ) ?
2 2

1 4

33 , 2

? f (n)max ? f (1) ? ?21,?2a12 ?14a1 ? ?21. 解得 a ?
②当 n 为偶数时, an ? 2n ? 3 ? a1 , an?1 ? 2n ? a1.
2 an ? an?12 由 ? 4得2a12 ? 6a1 ? ?8n2 ? 4n ? 3. an ? an?1

7? 7 7? 7 或a ? . 2 2

令 g (n) ? ?8n ? 4n ? 3 ? ?8(n ? ) ?
2 2

1 4

7 , 2

? g (n)max ? g (2) ? ?21,?2a12 ? 6a1 ? ?21 解得 a1 ? R
综上, a1 的取值范围是 (??,
21.【答案】(1) f ?( x) ?

7? 7 7? 7 ] [ , ??). 2 2

a , g ?( x) ? 2 x ? b x ?1

1 ? ? f (2) ? g (2) ?0 ? 4 ? 2b ?a ? ? 由题知 ? ,即 ? 解得 ? 2 ? f ?(2) ? g ?(2) ? ?1 ?a(4 ? b) ? ?1 ? b ? ? 2 ?
2 (2) F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) = a ln x ? ( x ? bx) , F ?( x) ?

a ? 2x ? b x

?a ?F ?(2) ? 0 ? ?4?b ? 0 由题知 ? ,即 ? 2 解得 a ? 6 , b ? ?1 ?F (1) ? 0 ? ?1 ? b ? 0
∴ F ( x) ? 6ln x ? ( x ? x) , F ?( x) ?
2

6 ? (2 x ? 3)( x ? 2) ? 2x ? 1 = x x

∵ x ? 0 ,由 F ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2 ;由 F ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ∴ F ( x) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 单调递减, 故 F ( x) 至多有两个零点,其中 x1 ? (0, 2) , x2 ? (2, ??) 又 F ( 2) > F (1) =0, F (3) =6( ln 3 -1)>0, F ( 4) =6( ln 4 -2)<0 ,∴ x0 ∈(3,4),故 n =3
2 (3)当 b ? a ? 2 时, F ( x) = a ln x ? [ x ? (a ? 2) x] ,

F ?( x) ?

a ?(2 x ? a )( x ? 1) ? 2 x ? (a ? 2) ? , x x

由题知 F ?( x) =0 在(0,+∞)上有两个不同根 x1 , x2 ,则 a <0 且 a ≠-2,此时 F ?( x) =0 的两

根为 ?

a a a2 2 ,1, 由题知|- -1|>1,则 + a +1>1, a +4 a >0 2 2 4

又∵ a <0,∴ a <-4,此时-

a >1 2

则 F ( x) 与 F ?( x) 随 x 的变化情况如下表: (0,1) 1 0 极小值 (1, +

a ) 2

0

a 2

(-

a ,+∞) 2
-

F ?( x)
F ( x)

-

极大值

a a 1 2 )―F(1)= a ln( ― )+ a ―1, 2 2 4 a 1 2 a 1 设 ? (a ) ? a ln( ? ) ? a ? 1 ,则 ? ?(a ) ? ln( ? ) ? a ? 1 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ??(a ) ? ? ,∵ a ? ?4 ,∴ ? ? ,∴ ? ??(a ) ? ? ? 0 a 2 a 4 a 2
∴| F ( x1 ) - F ( x2 ) |= F ( x) 极大值- F ( x) 极小值=F(∴ ? ?( a ) 在(―∞,―4)上是增函数, ? ?( a ) < ? ?(?4) ? ln 2 ? 1 ? 0 从而 ? (a ) 在(―∞,―4)上是减函数,∴ ? (a ) > ? (?4) =3-4 ln 2 所以 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 3 ? 4ln 2 .


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