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【2014烟台市一模】山东省烟台市2014届高三3月模拟 数学(文)试题 Word版含解析


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山东省烟台市高三统一质量检测考试 数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log2 x ? 0} ,则 M ? N

等于( A. (?1,0) B. (?1,1) C. (0,1) D. (1,3) )

2.若复数 z 的实部为 1 ,且 |z |? 2 ,则复数 z 的虚部是( A. ? 3 B. ? 3 C. ? 3i

) D. 3i

2 3.若命题 p : ?? ? R , cos(? ? ? ) ? cos ? ;命题 q : ? x ? R , x ? 1 ? 0 . 则下面结论正确的是(



A. p 是假命题 【答案】 D 【解析】

B. q 是真命题

?

C. p ? q 是假命题

D. p ? q 是真命题

试题分析:由 cos(? ? ? ) ? cos ? 得, ? cos ? ? cos ? ,cos ? ? 0, ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,所以, p 是真命题;

2 又 x ? 1 ? 0 恒成立,所以, q 是真命题;因此, p ? q 是真命题,故 选 D .

考点:简单逻辑联结词,存在性命题,全称命题.
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? x 2 ? 1, x ? 1 4.若函数 f ? x ? ? ? , 则 f ( f (e)) ? (其中 e 为自然对数的底数) ( ?ln x, x ? 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. ln(e2 ? 1)



5.若一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角 形的个数为( )

A. 1 【答案】 D 【解析】

B. 2

C. 3

D. 4

试题分析:观察三视图可知,该三棱锥底面 BCD 是直角三角形, CD ? BC ,侧面 ABC, ABD 是直角三角 形;由 CD ? BC , CD ? AB ,知 CD ? 平面ABC , CD ? AD ,侧面 ACD 也是直角三角形, 故选 D .

. 考点:三视图,几何体的结构特征.

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6.在等差数列 an ? 中, a1 ? ?2012 ,其前 n 项和为 S n ,若 的值等于 A.2011 ( ) B. -2012 C.2014

?

S 2012 S10 ? ? 2002 ,则 S 2014 2012 10

D. -2013

7.如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:? 40 , 50? ,?50 , 60? ,
100? ,则图中 x 的值等于 ?60 ,70? , ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 ,





A. 0.12 【答案】 D 【解析】

B. 0.18

. 0.012

D. 0.018

试题分析:由 频 率 分 布 直 方 图 , (0.006 ? 0.006 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? 0.006) ?10 ? 1 , 所以, x ? 0.018 ,故 选 D . 考点:频率分布直方图

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8.函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是(



【答案】 A 【解析】 试题分析:函数 y ? x sin x 是偶函数,所以,其图象关于 y 轴对称,排除 D ; 由 x ? ? 时, y ? 0 ,排除 C ; 由 x? 选 A. 考点:函数的奇偶性,函数的图象.

?
2

时, y ?

?
2

,排除 B ;

9.若函数 f ( x) ? 2sin(

?

x ? )(?2 ? x ? 14) 的图象与 x 轴交于点 A ,过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 8 4


?

B 、 C 两点,则 (OB ? OC) ? OA ? (其中 O 为坐标原点) (
A. ?32 B. 32 C. ?72

D. 72

10.对任意实数 m, n ,定义运算 m ? n ? am ? bn ? cmn ,其中 a, b, c 为常数,等号右边的运算是通常意义的 加、 乘运算. 现已知 1 ? 2=4 ,2 ? 3=6 , 且有一个非零实数 t , 使得对任意实数 x , 都有 x ?t ? x , 则 t ?( A.4 B.5 C.6
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D.7

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第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.若直线 ax ? by ? 1 ? 0 平分圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长,则 ab 的取值范围是
2 2

.

12.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 i 值为

.

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?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 13. 已 知 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 且 目 标 函 数 z ? 3x ? y 的 最 小 值 为 ? 1 , 则 实 常 数 ?x ? 4 y ? k ? 0 ?
k?
【答案】 9 【解析】 试题分析:画出可行域及直线 3x ? y ? 0 ,如图所示.
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.

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平移直线 3x ? y ? 0 可知,当其经过直线 y ? 2 与直线 x ? 4 y ? k ? 0 的交点 A(8 ? k , 2) 时, z ? 3x ? y 的 最小值为 ? 1 ,所以 3(8 ? k ) ? 2 ? ?1, k ? 9

故答案为 9 . 考点:简单线性规划的应用

14.对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式:

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

32 ? 1 ? 3 ? 5 33 ? 7 ? 9 ? 11

42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7

?

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ?
.

2 3 根据上述分解规律,若 m ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 11, p 的分解中最小的正整数是 21,则 m ? p ?

∵ p 的分解中最小的数是 21, ∴ p ? 5 ,p ? 5 ,
3 3

3

? m ? p ? 6 ? 5 ? 11,
故答案为 11 .

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考点:归纳推理,等差数列的求和.

15.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线与双曲线 则双曲线的离心率 e 为 .

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线分别交于 A , B 两点,且 | AB |? 2 3 , a 2 b2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 12 分)全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次 会议,2014 年 3 月在北京开幕.期间为了了解国企员工的工资收入状况,从 108 名相关人员中用分层抽 样方法抽取若干人组成调研小组,有关数据见下表: (单位:人) 相关人数 一般职工 中层 高管 (1)求 x , y ; (2)若从中层、高管抽取的人员中选 2 人,求这二人都来自中层的概率. 63 27 18 抽取人数

x
y
2

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选中的 2 人都来自中层的事件包含的基本事件有: (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) 共 3 种. 由古典概型概率的计算公式即得.

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? sin ? (1)求函数 f ? x ? 的周期及单调递增区间;

? 7? ? ? 2 x ? ? 2sin 2 x ? 1( x ? R) , ? 6 ?

(2)在 ?ABC 中,三内角 A , B ,C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过点 ? A, ? , b, a, c 成 等差数列,且 AB ? AC ? 9 ,求 a 的值. 【答案】 (1)最小正周期: T ?

? ?

1? 2?

2? ? ? ? ? , 递增区间为: [k? ? , k? ? ](k ? Z ) ; 2 3 6

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(2) a ? 3 2 . 【解析】 试题分析:首先应用和差倍半的三角函数公式,化简得到 f ( x ) ? sin(2 x ? (1)最小正周期: T ?

?
6

)

[ k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) ; 3 6

?

2? ? ? ,利用“复合函数的单调性” ,求得 f ( x ) 的单调递增区间 2

(2)由 f ( A) ? sin(2 A ?

?
6

)?

1 ? 及 0<A<? 可得 A ? , 2 3

根据 b, a, c 成等差数列,得 2a ? b ? c , 根据 AB ? AC ? bc cos A ? 试题解析:

1 bc ? 9, 得 bc ? 18 ,应用余弦定理即得所求. 2

f ( x) ? sin(

7? 1 3 1 3 ? 2 x) ? 2sin 2 x ? 1 ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 6 2 2 2 2
??????????????????3 分

? sin(2 x ? ) 6

?

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18.(本题满分 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD // BC ,?ADC ? 90 , BA ? BC .把 ?BAC 沿

AC 折起到 ?PAC 的位置,使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上,如图 2 所示,点
E、F 分别为棱 PC、CD 的中点.
(1)求证:平面 OEF // 平面 APD ; (2)求证: CD ? 平面 POF ; (3)若 AD ? 3, CD ? 4, AB ? 5 ,求四棱锥 E ? CFO 的体积.

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析.(3) 【解析】

5 3. 8

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试题分析: (1)因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上, 所以 PO ? 平面 ABC , PO ? AC ; 由 AB ? BC ,知 O 是 AC 中点,得到 OE / / PA , OE // 平面PAD ; 同理 OF // 平面PAD ; 根据 OE OF ? O, OE、OF ? 平面OEF ,得到平面 OEF / / 平面 PDA .

所以平面 OEF / / 平面 PDA

???????5 分

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19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 ? 2an ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1 ,且

bn?1 ? bn ? 2 .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 ? (?1) n 1 ? ( ?1) n an ? bn ,求数列 {cn } 的前 2 n 项和 T2 n . 2 2

∴ {an } 是等比数列,公比为 2,首项 a1 ? 2 , ∴ an ? 2n .
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???3 分

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由 bn?1 ? bn ? 2 ,得 {bn } 是等差数列,公差为 2. 又首项 b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1. (2) cn ? ?

????????4 分 ???????????6 分 ????????8 分

?

2n

n为奇数

??(2n ? 1) n为偶数
? 22n?1 ? [3 ? 7 ? ? (4n ? 1)]

T2n ? 2 ? 23 ?

?????10 分 ……………………………12 分

22 n?1 ? 2 ? ? 2n 2 ? n . 3

考点:等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式, “分组求和法”.

20.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? ln x +ax ?

a +1 ? 1. x

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)当 ?

1 ? a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

【答案】 (1) x ? y ? ln 2 ? 0 (2)当 a ? 0 时,在 (0,1) , f ( x ) 单调递减,在 (1, ??) f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;

1 时,在 (0, ??) 单调递减 2 1? a 1? a 1 , ??) f ( x) 单调递减, f ( x) 在 (1, ) 单调递增; 当 ? ? a ? 0 时,在 (0,1), (? 2 a a
当a ? ? 【解析】 试题分析: (1)利用切点处的导函数值是切线的斜率,应用直线方程的点斜式即得;

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' (2) f ( x ) ?

1 1 ? a ax 2 ? x ? a ? 1 (ax ? a ? 1)( x ? 1) ?a? 2 ? ? , x x x2 x2
x ?1 ,此时,在 (0,1) f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, x2

??6 分

' 当 a ? 0 时, f ( x) ?

' 在 (1, ??) f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;

??????????? 8 分

1? a a( x ? )( x ? 1) 1 a 当 ? ? a ? 0 时, f ' ( x ) ? , 2 x2
当?

1? a 1 ( x ? 1) 2 ? 1 即 a ? ? 时 f ' ( x) ? ? ? 0 在 (0, ??) 恒成立, a 2 2 x2
?????????????10 分

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减; 当?

1 1? a 1? a ? a ? 0 时, ? ? 1 ,此时在 (0,1),( ? , ??) f ' ( x ) ? 0 , f ( x) 单调递减, f ( x) 在 2 a a 1? a ' (1, ) f ( x) ? 0 单调递增; ????????????12 分 a

综上所述:当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 单调递减, f ( x ) 在 (1, ??) 单调递增;

1? a 1? a 1 ? a ? 0 时, f ( x) 在 (0,1), ( , ??) 单调递减, f ( x) 在 (1, ) 单调递增; 2 a a 1 当 a ? ? 时 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减. ??????????????13 分 2
当? 考点:应用导数研究函数的单调性,导数的几何意义,直线方程的点斜式.

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21.(本题满分 l4 分) 已知椭圆 C : 的连线构成一正方形. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,且两焦点与短轴的两个端点 2 2 a b

(2)直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,若线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? ) ,求 ?AOB ( O 为原点)面积的最大值.

1 2

试题解析: (1)∵椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形, a2 b2
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∴a ?

2b , ∴

x2 y2 ? ? 1, 2b 2 b 2

????2 分

又∵椭圆经过点 P (1,

2 ) ,代入可得 b2 ? 1 , 2
????4 分

x2 ? y 2 ? 1. ∴故所求椭圆方程为 2

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 2 1 ? k 2

4k 2 ? 2t 2 ? 2 2k 2 ? 1
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1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 2 1? k2 2 2 k2 ?1

4k 2 ? 2t 2 ? 2 | t | 4k 2 ? 2t 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

考虑到 2k 2 ? 1 ? 2t 且 0 ? t ? 2 化简得到 S?AOB = 以当 t ? 1 时,即 k ? ?

1 4t ? 2t 2 2

???????13 分 因为 0 ? t ? 2 ,所

2 2 时, S ?AOB 取得最大值 . 2 2

2 综上, ?AOB 面积的最大值为 2 .

???????14 分

考点:椭圆的几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,三角形面积公式.

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