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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:6.1 不等关系与不等式


第六章

第1讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 安徽七校联考]若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( 1 1 A. > a b C. |a|>|b| 答案:B 1 1 1 1 解析:由 a<b<0 知 ab>0,因此 a· <b· ,即 >

成立;由 a<b<0,得-a>-b>0,因此 ab ab a b 1 1 1 |a|>|b|>0 成立;又 y=( )x 是减函数,所以( )a>( )b 成立. 2 2 2 2. “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件 答案:A 解析:易得 a>b 且 c>d 时必有 a+c>b+d.若 a+c>b+d 时,则可能有 a>d 且 c>b,选 A. 3. [2013· 汕头检测]已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A. a>ab>ab C. ab>a>ab 答案:D 解析:∵a<0,-1<b<0,∴ab2-a=a(b2-1)>0,ab-ab2=ab(1-b)>0. ∴ab>ab2>a. 1 1 也可利用特殊值法,取 a=-2,b=- ,则 ab2=- ,ab=1,从而 ab>ab2>a. 2 2 故应选 D. 1 1 4. 在所给的四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0 中,能推出 < 成立的 a b 有( ) A. 1 个 C. 3 个 答案:C B. 2 个 D. 4 个
2

)

B. 2a>2b 1 1 D. ( )a>( )b 2 2

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

B. ab >ab>a D. ab>ab2>a

2

2

b-a 1 1 解析: < 成立,即 <0 成立,逐个验证可得,①②④满足题意. a b ab 5. [2013· 沈阳质检]设 a,b∈R,若 b-|a|>0,则下列不等式中正确的是( A. a-b>0 C. a -b >0 答案:B 解析:由 b>|a|,可得-b<a<b.由 a<b,可得 a-b<0,所以选项 A 错误.由-b<a,可得 a+b>0,所以选项 B 正确.由 b>|a|,两边平方得 b2>a2,则 a2-b2<0,所以选项 C 错误, 由-b<a,可得-b3<a3,则 a3+b3>0,所以选项 D 错误,故选 B. 6. [2013· 金版原创]若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A. a+ >b+ b a 1 1 C. a- >b- b a 答案:A 1 解析:取 a=2,b=1,排除 B 与 D;另外,函数 f(x)=x- 是(0,+∞)上的增函数, x 1 但函数 g(x)=x+ 在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以,当 a>b>0 时,f(a)>f(b)必定成 x 1 1 1 1 立,但 g(a)>g(b)未必成立,这样,a- >b- ?a+ >b+ . a b b a 二、填空题 7. [2013· 金华调研]若 1<a<3,-4<b<2,则 a-|b|的取值范围是________. 答案:(-3,3) 解析:∵-4<b<2, ∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0. 又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3. 8. [2013· 临沂模拟]若 x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y a b -a,⑤ > 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________. y x 答案:②④ 解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2, 符合题设条件 x>y,a>b, ∵a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5, ∴a-x=b-y,因此①不成立. 又∵ax=-6,by=-6,∴ax=by,因此③也不正确. b b+1 B. > a a+1 D. 2a+b a > a+2b b )
2 2

)

B. a+b>0 D. a3+b3<0

a 3 b 2 又∵ = =-1, = =-1, y -3 x -2 a b ∴ = ,因此⑤不正确. y x 由不等式的性质可推出②④成立. 1 9. [2013· 辽阳模拟]给出下列条件:①1<a<b;②0<a<b<1;③0<a<1<b.其中,能使 logb b 1 <loga <logab 成立的条件的序号是________.(填所有可能的条件的序号) b 答案:② 1 解析:∵logb =-1,若 1<a<b, b 1 1 则 < <1<b, b a 1 1 ∴loga <loga =-1, b a 故条件①不可以; 1 1 若 0<a<b<1,则 b<1< < , b a 1 1 1 ∴logab>loga >loga =-1=logb , b a b 故条件②可以; 1 若 0<a<1<b,则 0< <1, b 1 ∴loga >0,logab<0,条件③不可以. b 三、解答题 1 1 x y 10. 已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且 > ,x>y,求证: > . a b x+a y+b bx-ay x y 证明:∵ - = , x+a y+b ?x+a??y+b? 1 1 又∵ > 且 a,b∈(0,+∞), a b ∴b>a>0, 又∵x>y>0,∴bx>ay>0, ∴ ∴ bx-ay >0, ?x+a??y+b? x y > . x+a y+b

11. [2013· 大庆调研]已知 a,b,c∈{正实数},且 a2+b2=c2,当 n∈N,n>2 时比较 cn

与 an+bn 的大小. 解:∵a,b,c∈{正实数},∴an,bn,cn>0, 而 an+bn a n b n =( ) +( ) . cn c c

a b ∵a2+b2=c2,则( )2+( )2=1, c c a b ∴0< <1,0< <1. c c ∵n∈N,n>2, a a b b ∴( )n<( )2,( )n<( )2, c c c c an+bn a n b n a2+b2 ∴ n =( ) +( ) < 2 =1, c c c c ∴an+bn<cn. x 12. [2013· 锦州模拟]已知 x,y 为正实数,满足 1≤lgxy≤2,3≤lg ≤4,求 lg(x4y2)的取值 y 范围. 解:设 a=lgx,b=lgy,则 lg(xy)=a+b, x lg =a-b,lg(x4y2)=4a+2b, y 设 4a+2b=m(a+b)+n(a-b),
? ? ?m+n=4, ?m=3, ∴? 解得? ?m-n=2. ?n=1. ? ?

又∵3≤3(a+b)≤6,3≤a-b≤4. ∴6≤4a+2b≤10. 即 lg(x4y2)的取值范围为[6,10].


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