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近五年全国高中数学联赛选编——不等式


近五年全国高中数学联赛选编——不等式
a1 ? a2 ? ? ? ak , k ? 1, 2, ? , n . k

2015.8.17

1. ( 2010 年 加 试 3 ) 给 定 整 数 n ? 2 , 设 正 实 数 a1 , a2 , ?, an 满 足 ak ? 1, k ? 1, 2 ? , n ,, 记
Ak ?

求证:

?a ? ? A
k ?1 k k ?1

n

n

k

?

n ?1 2
k

解:由 0 ? ak ? 1 知,对 1 ? k ? n ? 1 ,有 0 ? ? ai ? k ,
i ?1

0?

i ? k ?1

?a

n

i

? n?k .

注意到当 x, y ? 0 时,有 x ? y ? max ?x, y? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有

1 n ?1 1? k An ? Ak ? ? ? ? ? ai ? ? ai n i ?k ?1 ? n k ? i ?1 ? 1 n ?1 1? k ai ? ? ? ? ? ai ? n i ?k ?1 ? k n ? i ?1 ?1 1? k ? ? ? ? ? ai ? ? k n ? i ?1 ?
k ?1 1? ? ? ? ?k? ? 1? n , ?k n? ?
n

?1 n ? max ? ? ai , ? n i ?k ?1 ?1 ? max ? (n ? k ), ?n


?a ? ? A
k ?1 k k ?1 n n

n

n

k

? nAn ? ? Ak ?
k ?1

?? A
k ?1

n ?1

n

n ?1 n ?1 ? k ? n ?1 . ? Ak ? ? ? An ? Ak ? ? ?1 ? ? ? 2 n? k ?1 ? k ?1

? ak ? ? Ak ? nAn ? ? Ak ?
k ?1 k ?1 k ?1

n

n ?1 n ?1 k ? n ?1 ? A ? A ? A ? A ? n k ? ? n k ?? ? ?1 ? ? ? 2 . n? k ?1 ? k ?1 k ?1

n ?1

2. ( 2011 年 加试 3) 设 a1 , a 2 , ? , a n (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a 2 ? ? ? a n .对任意正实数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j ? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n ( r ) .证明: f n (r ) ?

n2 . 4

证明:对给定的 j (1 ? j ? n) ,满足 1 ? i ? j ? k ? n ,且
a j ? ai ak ? a j ?r



的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 g j (r ) .
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注意到,若 i, j 固定,则显然至多有一个 k 使得①成立.因 i ? j ,即 i 有 j ? 1 种选法,故 g j (r ) ? j ? 1 . 同样地,若 j , k 固定,则至多有一个 i 使得①成立.因 k ? j ,即 k 有 n ? j 种选法,故 g j (r ) ? n ? j .从而
g j (r ) ? min{ j ? 1, n ? j} .

因此,当 n 为偶数时,设 n ? 2m ,则有
n ?1 m ?1 j ?2 2 m ?1 j ?m

f n (r ) ? ? g j (r ) ? ? g j (r ) ?
j ?2 2 m ?1

?g

j

(r )

? ? ( j ? 1) ?
j ?2

m

j ? m ?1

? ( 2m ? j ) ?

m(m ? 1) m(m ? 1) ? 2 2

? m2 ? m ? m2 ?

n2 . 4

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1,则有
f n (r ) ? ? g j (r ) ? ? g j (r ) ?
j ?2 j ?2 n ?1 m

j ? m ?1

?g

2m

j

(r )

? ? ( j ? 1) ?
j ?2

m

j ? m ?1

? ( 2m ? 1 ? j )

2m

? m2 ?

n2 . 4

3.(2012 年 加试 3)



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4.(2013 年 加试 3)



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5.(2014 年 加试 1)



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