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【金版学案】2014-2015学年高中数学苏教版必修三课时训练:2.3.2 方差与标准差


数学· 必修 3(苏教版)

第 2章
2.3

统计

总体特征数的估计 方差与标准差

2.3.2

基 础 巩 固 1.一组数据的方差为 s2,将这组数据扩大 2 倍,则新数据的方差 为( ) 1 A.s2 B. s2 C.2s2 D.4s2 2

/>1 解 析 : ∵s2 = [(x1 - - x )2 + (x2 - - x )2 + … + (xn - - x )2 ] , - x= n x1+x2+…+xn , n 2x1+2x2+…+2xn - ∴- x '= =2 x . n 1 4 ∴ s′ 2= [(2x1- 2- x )2+ (2x2- 2- x )2+ …+ (2xn- 2- x )2]= [(x1- n n - x )2+(x2-- x )2+…+(xn-- x )2]=4s2. 答案:D
-1-

2.设 x1=4,x2=5,x3=6,则该样本的标准差为( A. 3 6 5 7 B. C. D. 3 3 3 3

)

x1+x2+x3 4+5+6 解析:∵x1=4,x2=5,x3=6,∴- x= = =5, 3 3 1 2 ∴s2= [(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2]= , 3 3 ∴s= 6 ,选 B. 3

答案:B

3.一组数据中的每一个数都加上 10 后,得到一组新的数据,这 组数据的平均数是 20,方差是 12,则原来这组数据的平均数和方差分 别是多少?

解析:设原来这组数据为 x1,x2,…,xn,每个数据加上 10 后所 得新数据为 x1+10,x2+10,…,xn+10.则 1 [(x +10)+(x2+10)+…+(xn+10)]=20. n 1 1 即 [(x1+x2+…+xn)+10n]=20. n 1 (x +x2+…+xn)+10=20. n 1 1 (x +x2+…xn)=20-10=10. n 1
-2-

即 x=10,原来这组数据的平均数为 10. 因为新数据方差为 12,即 1 1 {[(x1+ 10)- 20]2+ [(x2+ 10)- 20]2+ …+ [(xn+ 10)- 20]2}= [(x1 n n -10)2+(x2-10)2+…+(xn-10)2]=12. 故原来数据的方差是 12.

4.对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了 6 次测试,测 得他们最大速度(m/s)的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38, 34,28,36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀.

1 1 解析: x 甲= ×(27+38+30+37+35+31)=33(m/s), s 甲 2= ×[(27 6 6 -33)2+(38-33)2+…+(31-33)2]≈15.7,x + 28 + 36) = 33(m/s) , s
2


1 = ×(33+29+38+34 6



1 = × [(33 - 33)2 + (29 - 33)2 + … + (36 - 6

33)2]≈12.7.所以 x 甲=x 乙, s 甲 2>s 乙 2,说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更 稳定,故乙比甲更优秀.

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能 力 升 级 5. 已知甲、 乙两个样本(样本容量一样大), 若甲样本的方差是 0.4, 乙样本的方差是 0.2,那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是 ______________.

解析:一组数据其方差越大,波动就越大,方差越小,波动也就 越小. 答案:甲样本的波动比乙大

6.已知 x1,x2,…,xn 的方差为 2,则 2x1+3,2x2+3,…,2xn +3 的标准差为________.

解析:由方差的性质得新数据的方差为 22×2=8,故其标准差为 2 2. 答案:2 2

7.两名跳远运动员在 10 次测试中的成绩分别如下(单位:m): 甲:5.85 5.93 6.07 5.91 5.92 5.99 6.13 5.89 5.84 5.81 6.18 6.05 6.00 6.19 6.17 5.85 6.21

乙:6.11 6.08 5.83

分别计算两个样本的标准差,并根据计算结果估计哪位运动员的 成绩比较稳定.

解析:甲、乙两名运动员成绩的样本标准差分别为 0.104,0.156;

-4-

甲运动员的成绩比较稳定.

8. (2014· 武汉调研 )某校拟派一名跳高运动员去参加一项校级比 赛,对甲、乙两名跳高运动员去参加一项校级比赛,对甲、乙两名跳 高运动员分别进行了 8 次选拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75 经预测,跳高高度达到 1.65 m 就很可能获得冠军,该校为了获得 冠军,可能选哪位选手参赛?若预测跳高高度达到 1.70 m 方可获得冠 军呢?

解析:甲的平均成绩和方差如下: 1 - x 甲 = (1.70 + 1.65 + 1.68 + 1.69 + 1.72 + 1.73 + 1.68 + 1.67) = 8 1.69(m). 1 s 甲 2= [(1.70-1.69)2+(1.65-1.69)2+…+(1.67-1.69)2]=0.000 6. 8 乙的平均成绩和方差如下: 1 - x 乙 = (1.60 + 1.73 + 1.72 + 1.61 + 1.62 + 1.71 + 1.70 + 1.75) = 8 1 1.68(m),s 乙 2= [(1.60-1. 68)2+(1.73-1.68)2+…+(1. 75-1.68)2]= 8 0.003 15,显然,甲的平均成绩好于乙的平均成绩,而且甲的方差小于 乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定,由于甲的平均成绩高于乙,且成 绩稳定, 所以若跳高高度达到 1.65 m 就很可能获得冠军, 应派甲参赛,
-5-

在这 8 次选拔赛中乙有 5 次成绩在 1.70 m 及以上,虽然乙的平均成绩 不如甲,成绩稳定性也不如甲,但是若跳高高度达到 1.70 m 方可获得 冠军时,应派乙参加比赛.

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