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高中必修1-5错误解题分析系列-《10.2导数的应用》


§10.2 导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或 ,则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(小)值,称 x0 为极大(小)值点. f ( x) ? f ( x0 ) ) (2)求可导函数 f ( x) 极值的步骤: ①求导数 f

?( x) 。求方程 f ?( x) ? 0 的根. ②求方程 f / ( x) ? 0 的根. ③检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附 近为负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧 附近为负,那么函数 y ? f ( x) 在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 (1)设 y ? f ( x) 是定义在区间 ?a, b? 上的函数, y ? f ( x) 在 ( a, b) 内有导数,求函数

y ? f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值,可分两步进行.
①求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值. ②将 y ? f ( x) 在各极值点的极值与 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最 小的一个为最小值. (2)若函数 f ( x) 在 ?a, b? 上单调增加,则 f ( a ) 为函数的最小值, f (b) 为函数的最大值; 若函数 f ( x) 在 ?a, b? 上单调递减,则 f ( a ) 为函数的最大值, f (b) 为函数的最小值. 二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时,应注意: (以下将导函数 f ?( x) 取值为 0 的点称为函数 f ( x) 的驻 点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数 y ?| x | 在点 x ? 0 处有极小值 f (0) =0,可是这里的 f ?(0) 根本不存在,所以点 x ? 0 不是 f ( x) 的驻点. (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数 f ( x) ? x 的导数
3

f ?( x) ? 3x 2 ,在点 x ? 0 处有 f ?(0) ? 0 ,即点 x ? 0 是 f ( x) ? x 3 的驻点,但从 f ( x) 在

?? ?,???上为增函数可知,点 x ? 0 不是 f ( x) 的极值点.
(2) 求一个可导函数的极值时, 常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格, 这样可使函 数在各单调区间的增减情况一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时, 一般是先找出自变量、 因变量, 建立函数关系式, 并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数, 它在自己的定义域内必然可导) ,并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小) 值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住 这个定理很有好处) ,然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断 定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较 为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值 进行比较等步骤. 2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系 极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有 区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但 如果连续函数在区间 ( a, b) 内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 [例 1]已知曲线 S : y ? ?

2 3 x ? x 2 ? 4 x 及点 P(0,0) ,求过点 P 的曲线 S 的切线方程. 3
x?0

错解: y? ? ?2 x 2 ? 2 x ? 4 ,? 过点 P 的切线斜率 k ? y? 线方程为 y ? 4 x .

? 4 ,? 过点 P 的曲线 S 的切

错因: 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值, 这是导数的几何意 义.在此题中,点 P 凑巧在曲线 S 上,求过点 P 的切线方程,却并非说切点就是点 P ,上述 解法对求过点 P 的切线方程和求曲线在点 P 处的切线方程,认识不到位,发生了混淆. 正解:设过点 P 的切线与曲线 S 切于点 Q( x0 , y0 ) ,则过点 P 的曲线 S 的切线斜率

k ? y?

x ? x0

? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ,又 k PQ ?

2

y0 y 2 ,? ?2 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 0 。①? 点 x0 x0

Q 在曲线 S 上,
2 3 2 ? y 0 ? ? x0 ? x0 ? 4 x0 . ②,②代入①得 3

? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 ?
化简,得

2

?

2 3 2 x0 ? x0 ? 4 x0 3 x0

3 4 3 2 x0 ? x0 ? 0 ,? x0 ? 0 或 x 0 ? .若 x0 ? 0 ,则 k ? 4 ,过点 P 的切线 4 3

3 35 35 x. ? 过点 P 的曲线 S ,则 k ? ,过点 P 的切线方程为 y ? 4 8 8 35 x. 的切线方程为 y ? 4 x 或 y ? 8
方程为 y ? 4 x ;若 x 0 ? [例 2]已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? x ? 1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范围. 错解: f ?( x) ? 3ax2 ? 6x ? 1, ? f ( x) 在 R 上是减函数,? f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,

? 3ax2 ? 6 x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,? ? ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 ,? a ? ?3 .
正解: f ?( x) ? 3ax2 ? 6 x ? 1 ,? f ( x) 在 R 上是减函数,? f ?( x) ? 0 在 R 上恒成立,

? ? ? 0 且 a ? 0 ,即 36 ? 12 a ? 0 且 a ? 0 ,? a ? ?3 .
[例 3]当 x ? 0 ,证明不等式 证明: f ( x ) ? ln( x ? 1) ?

x ? ln(1 ? x) ? x . 1? x

x x , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x ,则 f ?( x) ? ,当 x ? 0 时。 1? x (1 ? x) 2

l( 1 ? x) ? ? f ( x) 在 ?0,??? 内是增函数, ? f ( x) ? f (0) , 即n

x ?x ? 0, 又 g ?( x) ? , 1? x 1? x

g ?( x) ? 0 , ? g ( x) 在 ?0,??? 内是减函数, ? g ( x) ? g (0) , l ( 1 ? x) ? x ? 0 , 当 x ? 0 时, 即n
x ? ln(1 ? x) ? x 成立. 1? x x 点评:由题意构造出两个函数 f ( x ) ? ln( x ? 1) ? , g ( x) ? ln(x ? 1) ? x .利用导数求 1? x
因此,当 x ? 0 时,不等式 函数的单调区间,从而导出 f ( x) ? f (0) 及 g ( x) ? g (0) 是解决本题的关键. [例 4]设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供 应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如 果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 解 :设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x 2 ? 202 ,|CD|= 100 ? x .如果公路运费为 a 元/km, 那么铁路运费为

3a 元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y 5
x2 ? 400 ,( 0 ? x ? 100 ).对该式求导,得

为: y ? 3a (100 ? x ) + a 5

? 3a a (5 x ? 3 x 2 ? 400 ) ax 2 2 y? = + = ,令 y ? ? 0 ,即得 25 x =9( x ? 400 ),解之得 2 2 5 5 x ? 400 x ? 400

x1 =15, x2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所

以 x1 =15 是函数 y 的极小值点,而且也是函数 y 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间 并且与 B 相距 15km 处时,运费最省. 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求 其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复 合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为 高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合 函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优 化问题中的应用空间. [例 5] (2006 年四川) 函数 f ( x) ? 3x 3 ? 3ax ?1, g ( x) ? f ' ( x) ? ax ? 5 , 其中 f ' ( x) 是 f ( x ) 的导函数.(1)对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ( x) <0,求实数 x 的取值范围; (2)设 a =- m ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y = f ( x ) 的图象与直线 y =3 只 有一个公共点. 解: (1)由题意 g ? x ? ? 3x ? ax ? 3a ? 5
2
2

令 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x ? 5 , ?1 ? a ? 1
2

对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0

? ? ? ?1? ? 0 ∴? ? ?? ? ?1? ? 0
解得 ?

?3x 2 ? x ? 2 ? 0 即? 2 ?3 x ? x ? 8 ? 0

2 ? x ?1 3

故 x ? ? ? ,1? 时,对满足-1≤ a ≤1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 . (2) f
'

? 2 ? ? 3 ?

? x? ? 3x2 ? 3m2
3

①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:

x
f ' ? x?

? ??, m ?
?

?m
0
极大

?? m , m ?
?

m
0
极小

? m , ?? ?
?

f ? x?
∴ f ? x ?极小 ? f

? x ? ? ?2m

2

m ? 1 ? ?1

又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 m , ?? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点. 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? m 由题意得 f ? m ? 3
2 即 2m m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3 3

?

?

?

?

?

?

? ? 0, 2 ? 综上, m 的取值范围是 ? ? 2, 2 ? .
解得 m ? ? 3 2, 0
3 3 3

?

[例 6]若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动, 桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A, 问 电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ?BAO ? ? , BA ? r , 照度与 sin ? 成 正比,与 r 成反比) 分析:如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 成反比,
2
2

即y?C

sin ? ( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最 r2

大的照度,只需求 y 的极值就可以了. 解:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? ?

x , r ? x2 ? a2 r

于是 y ? C

sin ? x ?C 3 ?C 2 r r

x
3 2 2 2 (x ? a )

(0 ? x ? ?) , y ? ? C

a 2 ? 2x 2 (x2 ?
5 2 2 a )

? 0.

当 y ? ? 0 时,即方程 a ? 2 x ? 0 的根为 x1 ? ?
2 2

a 2

(舍)与 x 2 ?

a 2

,在我们讨论的半

闭区间 ?0,??? 内,所以函数 y ? f ( x) 在点

a 2

取极大值,也是最大值。即当电灯与 O 点距

离为

a 2

时,点 A 的照度 y 为最大.

(0,

a 2



(

a 2

,??)

y?
y

+ ↗



点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得

f ?( x) =0 且在该点两侧, f ?( x) 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,
也是最大(小)值点. 四、典型习题导练 1.已知函数 f ( x) ? ax3 ? (2a ?1) x 2 ? 2 ,若 x ? ?1 是 y ? f ( x) 的一个极值点,则 a 值为 ( ) A.2 B.-2 C.

2 7

D.4 .

2.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值为 10,则 f ( 2) = 3.给出下列三对函数:① f ( x) ? ?

1 , g ( x) ? ? x ?1 ② f ( x) ? ax2 (a ? 0) , g ( x) ? x

x a

③ f ( x ) ? ?( ) , g ( x) ? ? log(? x) ;其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同
x

1 3

是各自定义域上的递增函数” ,则这样的两个函数的导函数分别是

f ?( x)

, g ?( x) ?

.

4.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 有极大值和极小值,求 a 的取值范围. 5.已知抛物线 y ? ? x 2 ? 2 ,过其上一点 P 引抛物线的切线 l ,使 l 与两坐标轴在第一象限 围成的三角形的面积最小,求 l 的方程. 6.设 g ( y) ? 1 ? x 2 ? 4xy3 ? y 4 在 y ? ?? 1,0? 上的最大值为 f ( x) , x ? R , (1)求 f ( x) 的表达式; (2)求 f ( x) 的最大值.


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