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§8.6.2抛物线的简单几何性质(2)


一.课题:抛物线的简单几何性质(2) 二.教学目标:1.灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题; 2.会处理抛物线与直线、圆等曲线组合的综合问题; 3.会证明抛物线的简单几何性质。 三.教学重、难点:抛物线的几何性质,以及抛物线与直线的位置关系。 四.教学过程: (一)复习: 1.抛物线的定义及几何性质. 2.练习: ①抛物线 mx ? ny 2 ? 0(m ? n ? 0) 的顶点坐标是 (0, 0) ,焦点坐标是 ( ? 离心率是 1,通径长 |

m m , 0) ,准线方程是 x ? , 4n 4n

m |. n

②抛物线 y 2 ? 2 x 上的两点 A 、 B 到焦点的距离之和为 5,则线段 AB 的中点的横坐标是 2 . ③若点 A(3, 2) ,点 F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,则使 | MA | ? | MF | 取最小值的抛物线上点的坐标 是 (2, 2) . (二)新课讲解: 例 1.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上,求这个正三 角形的边长. 解:设正三角形 OAB 的顶点 A 、 B 在抛物线上, 且设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 y ? 2 px1 ,
2 1

A
2

y2 ? 2 px2 ,又 | OA |?| OB | ,所以 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ,
2 2 2 2

即 ( x1 ? x2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ? 0 ,
2 2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2 p) ? 0 . ∵ x1 ? 0 , x2 ? 0 , 2 p ? 0 ,∴ x1 ? x2 . 由此可得 | y1 |?| y2 | ,即线段 AB 关于 x 轴对称.
因为 x 轴垂直于 AB ,且 ?AOx ? 30 ,所以
?

y1 3 . ? tan 30? ? x1 3

∵ x1 ?

y1 ,∴ y1 ? 2 3 p ,∴ | AB |? 2 y1 ? 4 3 p . 2p

2

例 2.求证:以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物 线的准线相切.

p 证明: (法一)设抛物线方程为 y ? 2 px ,则焦点 F ( , 0) , 2 p 准线 x ? ? .设以过焦点 F 的弦 AB 为直径的圆的圆心 2 M , A 、 B 、 M 在准线 l 上的射影分别是 A1 、 B1 、 M 1 ,
2

M1

M

抛物线的简单几何性质(2)

1

则 | AA | ? | BB1 |?| AF | ? | BF |?| AB | , 1 又 | AA | ? | BB1 |? 2 | MM1 | , 1 ∴ | MM 1 |?

1 | AB | ,即 | MM 1 | 为以 AB 为直径的圆的半径,且准线 l ? MM1 , 2 p , 0) , 2

∴命题成立. (法二)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,则焦点 F ( 准线 x ? ?

p .过点 F 的抛物线的弦的两个端点 A( x1 , y1 ) , 2 B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) p p 则 | AB |? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p , 2 2 1 1 ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径 r ? | AB |? ( x1 ? x2 ? p ) . 2 2 p p x1 ? x2 p 1 ? ? ( x1 ? x2 ? p ) , 点 M 到准线 x ? ? 的距离 d ? x0 ? ? 2 2 2 2 2 ∴圆 M 与准线相切. 例 3. 定长为 3 的线段 AB 的两端点在抛物线 y 2 ? x 上移动, 设点 M 为线段 AB 的中点, 求点 M 到 y 轴的最小距离. 1 1 解:抛物线焦点 F ( , 0) ,准线 l : x ? ? , 4 4 A 、 B 、 M 在准线 l 上的射影分别是 设点 A1 、 B1 、 M 1 ,设点 M ( x0 , y0 ) , M1 M 则 | AA | ? | BB1 |?| AF | ? | BF |?| AB | , 1 1 1 又 | MM 1 |? (| AA1 | ? | BB1 |) ? | AB | , 2 2 1 又 | MM 1 ? x0 ? , | AB |? 3 , 4 1 3 5 5 ∴ x0 ? ? ,所以 x0 ? ,即 x0 的最小值是 . 4 2 4 4 5 ∴点 M 到 y 轴的最小距离是 ,当且仅当 AB 过点 F 是取得最小距离. 4
五.小结:综合处理抛物线的有关问题,特别是抛物线的弦的问题。 六.作业:书 P133 A 组 16 题,17 题。 补充:1.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若点 A 、 B 在抛
2

物线的准线上的射影分别是 A1 , B1 .求证: ?A FB1 ? 90? 。 1 2. 抛物线 y ? 4 x 上有两个定点 A 、B(位于 x 轴的上下两侧) F 是抛物线的焦点, , 并且 | FA |? 2 ,
2

| FB |? 5 。在抛物线 AOB 这段曲线上,求一点 P ,使得 ?APB 的面积最大,并求最大面积。

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