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环球雅思中小学-2013年高考数学湖北卷(理科)


环球雅思中小学

2013 年湖北省理科数学高考试题
一.选择题 1.在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( 1? i
C. 第三象限 D. 第四象限



B. 第二象限

x ? ? ? ?1? ?

2.已知全集为 R ,集合 A ? ? x ? ? ? 1? , B ? ?x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? ,则 A CR B ? ( ? ?2? ? ? ?



A. ? x | x ? 0? C.

B. ?x | 2 ? x ? 4? D. ?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

?x | 0 ? x ? 2或x ? 4?

3.在一次跳伞训练中,甲.乙两位学员各跳一次,设命题 p 是“甲降落在指定范围” , q 是“乙降落在指 定范围” ,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A. ? ?p ? ? ? ?q ? 4.将函数 y ? B. p ? ? ?q ? C.

? ?p ? ? ? ?q ?

D. p ? q

3 cos x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位后,所得到的图像关于 y 轴


对称,则 m 的最小值是( A.

?
12

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6


5.已知 0 ? ? ?

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 与 ? ? 1 C : ? ? 1 的( 2 cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ?
C.焦距相等 D. 离心率相等

A.实轴长相等

B.虚轴长相等

6.已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为(



A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2
25 ( t 的单位: s , 1? t


7.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v ? t ? ? 7 ? 3t ?

v 的单位: m / s )行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离(单位; m )是( 11 A. 1 ? 25ln 5 B. 8 ? 25ln C. 4 ? 25ln 5 D. 4 ? 50ln 2 3

V2 , V3 , 8. 一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为 V1 , V4 ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有(
A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 )

D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

9.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成 125 个同样大小的小正方体。经过搅拌后,从中随机取 出一个小正方体,记它的涂油漆面数为 X ,则 X 的均值为 E ? X ? ? ( A. )

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D.

7 5

10. 已知 a 为常数,函数 f ( x ) ? x ? ln x ? ax ? 有两个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 (

)[来源:学科网 ZXXK]

A.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

1 2 1 2

C.

D.

f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? ?

二.填空题 11.从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间,频率分布直方图所 示。 (I)直方图中 x 的值 为 ; (II )在这些用户中,用电量落在区间 ?100, 250 ? 内的户数为 。

12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 i ?
开始



a ? 10, i ? 1

a ? 4?
否 是



a 是奇数 ?



a ? 3a ?1

a?

a 2

输出 i

i ? i ?1

结束

13.设 x, y , z ? R ,且满足: x ? y ? z ? 1 , x ? 2 y ? 3z ? 14 ,则 x ? y ? z ?
2 2 2



14.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n 。记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数 2 2 2
的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ?? 可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? 。

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2

N ? n,5? ?

3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

选考题 15.如图,圆 O 上一点 C 在直线 AB 上的射影为 D ,点 D 在半径 OC 上的射影为 E 。若 AB ? 3 AD ,则

CE 的值为 EO



C

A

E

D O

B

第 15 题图 16.在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a cos ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? 。在极坐标系(与 ? y ? b sin ?

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 与圆 O 的极坐 标方程分别为 ? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b 。若直线 l 经过椭圆 C 的焦点,且与 圆 O ?? 4? 2


相切,则椭圆 C 的离心 率为 三.解答题

17.在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c 。已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 。 (I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值。 18.已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 。 (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得

1 1 ? ? a1 a2

?

1 ? 1 ?若存在,求 m 的最小值;若不存在,说明理由。 am

19.如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA ,

PC 的中点。 (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D ,且点 Q 满足 DQ ?

1 CP 。记直线 PQ 与平面 ABC 2

所 成 的 角 为 ? , 异 面 直 线 PQ 与 EF 所 成 的 角 为 ? , 二 面 角 E ? l ? C 的 大 小 为 ? , 求 证 :

sin ? ? sin ? sin ? 。

第 19 题图

20.假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N 800,502 的随机变量。记一天中从甲地去乙 地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0 。 ( I ) 求 p0 的 值 ;( 参 考 数 据 : 若 X

?

?

N ? ? , ? 2 ? , 有 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,

) P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.9974 。 (II) 某客运公司用 A .B 两种型号的车辆承担甲. 乙两地间的长途客运业务, 每车 每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,从甲地去乙地的运营成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆。公司 拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队,并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆。若每天要以不小于 p0 的概率 运 完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备 A 型车. B 型车各多少辆? 21 .如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN 且在 x 轴上,短轴长分别为 2m ,

2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 ,C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A ,B ,C ,

D 。记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 。 n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由。

y
A B

M
C

O

N x

D
第 21 题图 22.设 n 是正整数, r 为正有理数。 (I)求函数 f ( x ) ? ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1( x ? ?1) 的最小值;

(II)证明:

n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1

r ?1

? nr ?

? n ? 1?

? n r ?1 ; r ?1
? 3?

r ?1

( III ) 设 x ? R , 记 ? ? x? ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ? ?2? ??2 , ? ?? ? ? ? 4 , ? ? ? ? ?1 。 令 ? 2?

S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ?
4 3

3

?S ? ? 的值。 125 ,求 ?
4 3 4 3 4 3

(参考数据: 80 ? 344.7 , 81 ? 350.5 , 124 ? 618.3 , 126 ? 631.7 )

参考答案
一、选择题 1.D 2.C 二、填空题 11. 0.0044 ;70 3.A 4.B 5.D 6.A 7.C 8.C 9.B 10.D

12.

5

13.

3 14 7

14.1000

15.8

16.

6 3

三、解答题 17.解: (I)由已知条件得: cos 2 A ? 3cos A ? 1

? 2 cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ?
(II) S ?

1 ,角 A ? 60? 2

1 a2 2 bc sin A ? 5 3 ? c ? 4 ,由 余弦定理得: a 2 ? 21 , ? 2 R ? ? ? 28 2 sin 2 A
bc 5 ? 2 4R 7

? sin B sin C ?

18.解: (I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 ? ? a1 a2

?

1 1 ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; am 5

1 1 若q ? 3, ? ? a1 a2

m 1 9 ? ?1? ? 9 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m 。 am 10 ? ? 10 ? ? 3? ?

19.解: (I)∵ E , F 分别是 PA , PC 的中点, AC, AC ? 平面ABC , EF ? 平面ABC ∴EF∥平面 ABC,又 EF ? 平面BEF ,∴EF∥ l , l ∥平面 PAC。 (II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证。 (这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是 用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。 )

20.解: (I) p0 ? 0.5 ?

1 ? 0.9544 ? 0.9772 2

(II)设配备 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,运营成本为 z 元,由已知条件得

? x ? y ? 21 ?36 x ? 60 y ? 900 ? ,而 z ? 1600 x ? 2400 y ? y ? x ? 7 ? ? x, y ? N ?

作出可行域,得到最优解 x ? 5, y ? 12 。 所以配备 A 型车 5 辆, B 型车 12 辆可使运营成本最小。

m ?1 ? ?1 ? 21.解: (I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,? ? ? n m ?1 ? ?1 n
解得: ? ?

2 ? 1 (舍去小于 1 的根)

(II)设椭圆 C1 :

x2 y2 x2 y2 , ? ? 1 a ? m C : ? ? 1 ,直线 l : ky ? x ? ? 2 a 2 m2 a2 n2

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 am ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 am ? ?1 a 2 ? m 2k 2 ? ? a 2 m2
同理可得, y B ? 又

an a ? n 2k 2
2

?BDM 和 ?ABN 的的高相等

?

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2 2 a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? 2 即: 2 ,解得 k ? ? 4n 2? 3 a ? ? 2n 2k 2 a 2 ? n 2k 2

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直线 l 。
1 ? x ? ? 1? 22.证明: (I) f ?( x ) ? ? r ? 1??1 ? x ? ? ? r ? 1? ? ? r ? 1? ? ?? ?
r r

? f ( x ) 在 ? ?1,0 ? 上单减,在 ? 0, ?? ? 上单增。

? f ( x ) min ? f (0) ? 0
(II)由(I)知:当 x ? ?1 时, ?1 ? x ?
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 (就是伯努利不等式了)

r ?1 r ?1 r ? ? n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1? 所证不等式即为: ? r ?1 r ?1 r ? ?n ? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

若 n ? 2 ,则 n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?
r

r ?1

? 1? ? ? n ? r ? 1? ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? ? 1? r ? 1? ? ? 1 ? ? ????① n ?1 ? n ?
r

r

r r r ? 1? ?1 ? ? ? ? ? 1 , ? ? ? n n ?1 n ? n?

r

r r ? 1? ,故①式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?
若 n ? 1, n
r ?1

r

? ? r ? 1? n r ? ? n ? 1?
r r ?1

r ?1

显然成立。
r

n

r ?1

? ? r ? 1? n ? ? n ? 1?

? 1? ? n ? r ? 1 ? ? 1 ? ? ? n ? 1? ? n? r ? 1? ? 1? ? ? 1 ? ? ????② n ?1 ? n ?
r

r r r ? 1? ?1 ? ? ? ? 1 , ? n n ?1 ? n? n

r

r r ? 1? ,故②式成立。 ? ?1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? n n ?1 ? n?
综上可得原不等式成立。 (III)由(II)可知:当 k ? N 时,
*
1 4 4? 4 ? 3? 4 3? 3 3 3 3 3 k ? k ? 1 ? k ? k ? 1 ? k ? ? ? ? ? ? ? ? 4? 4? ? ?

r

?S ?

4 4 4? ? 3 125 ? 4 3? 3 3 3 3 ? k ? k ? 1 125 ? 80 ? ? ? ? ? ? 210.225 ? ? 4 k ?81 ? ? 4? ? 4 4 4 4 ? 3? ? 3 125 ? 3 3 3 ?k3 ? k ? 1 126 ? 81 ? ? ? ? ? ? 210.9 ? ? 4 k ?81 ? ? 4? ?

S?

?? ?S ? ? ? 211


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