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【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修1-2双基限时练6


双基限时练(六)
1.在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论, 三边 a,b,c 应满足什么条件( A.a2<b2+c2 C.a2>b2+c2 ) B.a2=b2+c2 D.a2≤b2+c2

b2+c2-a2 解析 若∠A 为钝角,由余弦定理知 cosA= 2bc <0,∴b2+ c2-a2<0. 答案

C

2.设数列{an}为等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是{an}的前 n 项和,则( A.S4<S5 C.S6<S5 ) B.S4=S5 D.S6=S5

解析 ∵a2+a8=-6+6=0,∴a5=0,又公差 d>0,∴S5=S4. 答案 B )

→ → 3. 在△ABC 中, “AB· AC>0”是“△ABC 为锐角三角形”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

→ →
解析 由 A B · A C >0?∠A 为锐角,而角 B,C 并不能判定,反之

→ →
若△ABC 为锐角三角形,一定有 A B · A C >0. 答案 B

π 4. 已知函数 y=sin(2x+φ)的图象关于直线 x=8对称, 则 φ 可能是 ( ) π A.2 π C.4 π B.-4 3 D.4π

π 解析 由题意知,sin(4+φ)=± 1, π π π π 所以当 φ=4时,sin(4+4)=sin2=1. 答案 C

5.已知 a,b,c 是三条互不重合的直线,α,β 是两个不重合的平 面,给出四个命题: ①a∥b,b∥α,则 a∥α; ②a,b?α,a∥β,b∥β,则 α∥β; ③a⊥α,a∥β,则 α⊥β; ④a⊥α,b∥α,则 a⊥b. 其中正确命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析 ①因为 a∥b,b∥α?a∥α 或 a?α,所以①不正确. ②因为 a,b?α,a∥β,b∥β,当 a 与 b 相交时,才能 α∥β,所 以②不正确. ③a∥β,过 a 作一平面 γ,设 γ∩β=c,则 c∥a,又 a⊥α?c⊥α ?α⊥β,所以③正确. ④a⊥α,b∥α?a⊥b,所以④正确. 综上知③,④正确.

答案

B )

6.a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是( A.a+b+ 1 ≥2 2 ab 1 1 B.(a+b)(a+b)≥4

a2+b2 C. ≥a+b ab

2ab D. ≥ ab a+b

解析 特殊法,取 a=1,b=4,则 D 项不成立. 答案 D

b d 7.p= ab+ cd,q= ma+nc· m+n,(m,n,a,b,c,d 均 为正数),则 p 与 q 的大小关系为________. 解析 p2=ab+cd+2 abcd, b d q2=(ma+nc)(m+n) nbc mad =ab+ m + n +cd ≥ab+cd+2 abcd ∴q2≥p2,∴p≤q. 答案 p≤q 8.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围 是________. 解析 4 4 x2+mx+4<0?m<-x- x ,∵y=-(x+ x )在(1,2)上单调递

4 增,∴-(x+x)∈(-5,-4) ∴m≤-5. 答案 (-∞,-5]

9.求证:ac+bd≤ a2+b2· c2+d2.

证明

(1)当 ac+bd<0 时,

ac+bd≤ a2+b2· c2+d2显然成立. (2)当 ac+bd≥0 时, 要证 ac+bd≤ a2+b2· c2+d2成立, 只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)成立, 只需证 2abcd≤a2d2+b2c2, 只需证(ad-bc)2≥0 成立. 而(ad-bc)2≥0 显然成立. 所以 ac+bd≤ a2+b2· c2+d2成立. 综上所述 ac+bd≤ a2+b2· c2+d2成立. 10.在△ABC 中,若 a2=b(b+c),求证:A=2B. 证明 因为 a2=b(b+c), 所以 a2=b2+bc. 由余弦定理得 b2+c2-a2 b2+c2-?b2+bc? c-b cosA= 2bc = = 2b . 2bc a2+c2-b2 2 又因为 cos2B=2cos B-1=2( 2ac ) -1
2

b+c 2 ?b+c?2-2a2 =2( 2a ) -1= 2a2 ?b+c?2-2b2-2bc c-b = = 2b . 2b?b+c? 所以 cosA=cos2B. 又因为 A,B 是三角形的内角, 所以 A=2B. 11.如下图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B,A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.

求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 证明 (1)由 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,知 EF∥BC,

∵EF?平面 ABC 而 BC?平面 ABC. ∴EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知,CC1⊥平面 A1B1C1,又 A1D?平面 A1B1C1, ∴A1D⊥CC1,又 A1D⊥B1C. CC1∩B1C=C,又 CC1,B1C?平面 BB1C1C, ∴A1D⊥平面 BB1C1C,又 A1D?平面 A1FD, ∴平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 12.已知数列{an}的首项 a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). (1)证明数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式 an. 解 (1)证明:∵Sn+1=2Sn+n+5,

∴Sn=2Sn-1+(n-1)+5(n≥2). ∴an+1=Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1=2an+1(n≥2). ∴ an+1+1 2?an+1? = =2. an+1 an+1

又 n=1 时,S2=2S1+1+5,且 a1=5, ∴S2=16,a2=S2-S1=16-5=11. a2+1 11+1 又∵ = =2. a1+1 5+1 ∴数列{an+1}是以 2 为公比的等比数列. (2)由(1)知,a1+1=6,an+1=6×2n-1=3×2n, ∴an=3×2n-1.


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