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2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛(非数学类)试题


第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷? 参考答案及评分标准? (非数学类,2010)
?

? 一 (本题共 5 小题, 每小题 5 分, 25 分) 计算下列各题 共 、 (要求写出重要步骤) .? (1)? 设 xn = (1 + a ) ? (1 + a 2 ) 解? ? 将 xn ? 恒等变形?
xn = (1 ? a )(1 + a

) ? (1 + a 2 )
? ? ? ? ? ? ? ? = (1 ? a ) ? (1 + a )
4 4 2n

(1 + a 2 ) ,其中 | a |< 1 ,求 lim x n .?
n→∞

n

(1 + a 2 )

n

1 ? = (1 ? a 2 ) ? (1 + a 2 ) 1? a
n+1

(1 + a 2 )

n

1 ? 1? a

1 1 ? a2 ? = ,? (1 + a ) 1? a 1? a
n

由于 | a |< 1 ,可知 lim a 2 = 0 ,从而?
n →∞

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lim x n =
n→∞

1 .? ? ? ? ? 1? a

? 1? (2)? 求 lim e ? 1 + ? .? x →∞ x? ?
?x x ?? 1 ? x ?1 ? 1? ?x ? ? ? ? ? ? 解? ? lim e ? 1 + ? = lim ?? 1 + ? e ? x →∞ x ? x →∞ ?? x ? ? ? ? ? ?
2

x2

x

? ? ? ? ? ? ? ? = exp ? lim ? ln ? 1 +

?

? ? ? x →∞ ? ? ? ?
? ? x →∞

x ? ? ? 1? ? ? 1 ? ?? ? ? 1? x ? = exp ? lim x ? x ln ? 1 + ? ? 1? ? ? x? ? x ? ?? ? ? ? x →∞ ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? = exp ? lim x ? x ?

1 ? ?1 1 1 ? ?? ? ? 2 + ο ( 2 ) ? ? 1? ? = e 2 .? x ? ?? ? ? x 2x

(3)? 设 s > 0 ,求 I n = ∫ e? sx x n dx ( n = 1, 2, ) .?
0

+∞

解? ? 因为 s > 0 时, lim e? sx x n = 0 ,所以,?
x →+∞
+∞ +∞ 1 +∞ n ? sx 1 n x de = ? ? x n e ? sx ? ∫ e ? sx dx n ? = I n ?1 ? ∫0 0 ? ? s 0 ? s s? n n n ?1 n! n! 由此得到, I n = I n ?1 = ? I n ? 2 = = n I 0 = n +1 ? s s s s s

In = ?

?

1? ?

?2 g ?2 g 1 (4)? 设函数 f ( t )有二阶连续的导数, = x 2 + y 2 ,g ( x, y ) = f ( ) , 求 2 + 2 .? r ?x ?y r
解? ? 因为

?r x ?r y = , = ,所以? ?x r ?y r

x 1 ?g ?2 g x2 1 2 x2 ? y 2 1 = ? 3 f ′( ) , 2 = 6 f ′′( ) + f ′( ). 5 ?x r r ?x r r r r ?
利用对称性,

?2 g ?2 g 1 1 1 1 + 2 = 4 f ′′( ) + 3 f ′( ) 2 ?x ?y r r r r

?

?x ? y = 0 x ? 2 y ?1 z ? 3 = = (5)? 求直线 l1 : ? ? 与直线 l2 : 的距离.? 4 ?2 ?1 ?z = 0 解? ? 直线 l1 的对称式方程为 l1 :

x y z = = .? 记两直线的方向向量分别为 1 1 0

两直线上的定点分别为 P (0,0,0) 和 P2 (2,1,3) , l1 = (1,1, 0) ,2 = (4, ?2, ?1) , l 1
a = P1P2 = (2,1,3) .? l1 × l2 = ( ?1,1, ?6) .? 由向量的性质可知,两直线的距离

d= ?

a ? (l1 × l2 ) l1 × l2

=

| ?2 + 1 ? 18 | 19 19 = = ? 2 1 + 1 + 36 38

二(本题共 15 分) 设函数 f (x ) 在 ( ?∞,+∞ ) 上具有二阶导数,并且 、?
f ′′( x) > 0, lim f ′( x) = α > 0 , lim f ′( x) = β < 0 ,且存在一点 x 0 ,使得 f ( x0 ) < 0 .? ?
x →+∞ x →?∞

证明:方程 f ( x ) = 0 在 ( ?∞,+∞ ) 恰有两个实根.? 证 1.? ? 由 lim f ′( x) = α > 0 必有一个充分大的 a > x 0 ,使得 f ′(a ) > 0 .?
x →?∞

f ′′( x ) > 0 知 y = f ( x) 是凹函数,从而 f ( x) > f (a) + f ′(a)( x ? a)

( x > a) ?

当 x → +∞ 时, f (+∞ ) + f ′( a )( x ? a ) → +∞ .? 故存在 b > a ,使得?
? ? ? ? ? ? ? f (b ) > f ( a ) + f ′( a )(b ? a ) > 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………? ? (6 分)? ?
2? ?

同样,由 lim f ′( x) = β < 0 ,必有 c < x0 ,使得 f ′(c) < 0 .?
x →?∞

f ′′( x ) > 0 知 y = f ( x) 是凹函数,从而 f ( x) > f (c) + f ′(c)( x ? c)

( x < c) ?

当 x → ?∞ 时, f ( ?∞ ) + f ′(c )( x ? c ) → +∞ .? 故存在 d < c ,使得?
? f ( d ) > f (c ) + f ′(c )( d ? c ) > 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………? ? ? (10 分)?

在 [ x0 , b] 和 [d , x0 ] 利 用 零 点 定 理 , ?x1 ∈ ( x0 , b) , x2 ∈ ( d , x0 ) 使 得 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………………? (12 分)? 下面证明方程 f ( x ) = 0 在 ( ?∞,+∞ ) 只有两个实根.? 用反证法.? 假设方程 f ( x ) = 0 在 ( ?∞,+∞ ) 内有三个实根,不妨设为 x1 , x 2 , x3 , 且 x1 < x 2 < x3 .? 对 f (x ) 在区间 [ x1 , x 2 ] 和[ x 2 , x3 ]上分别应用洛尔定理,则各至少 存在一点 ξ1 ( x1 < ξ1 < x2 )和 ξ 2 ( x 2 < ξ 2 < x3 ) ,使得 f' (ξ1 ) = f' (ξ 2 ) = 0 .? 再将
f' (x ) 在 区 间 [ξ1 , ξ 2 ] 上 使 用 洛 尔 定 理 , 则 至 少 存 在 一 点 η(ξ1 < η < ξ 2 ) , 使 f" ( η) = 0 .? 此与条件 f ′′( x) > 0 矛盾.? 从而方程 f ( x ) = 0 在 (?∞,+∞ ) 不能多于两

个根.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………………(15 分)? ? 证 2.? 先证方程 f ( x ) = 0 至少有两个实根.? 由 lim f ′( x) = α > 0 ,必有一个充分大的 a > x 0 ,使得 f ′(a ) > 0 .?
x →+∞

因 f (x ) 在 ( ?∞,+∞ ) 上具有二阶导数, f ′( x ) 及 f ′′( x ) 在 ( ?∞,+∞ ) 均连续.? 由 故 拉格朗日中值定理,对于 x > a ? 有?
f ( x ) ? [ f ( a ) + f ′( a )( x ? a )] = f ( x ) ? f ( a ) ? f ′( a )( x ? a )] ?
? ? ? ? ? ? = f ′(ξ )( x ? a ) ? f ′( a )( x ? a ) = [ f ′(ξ ) ? f ′( a )]( x ? a ) ? ? ? ? ? ? ? = f ′′(η )(ξ ? a )( x ? a ) .?

其中 a < ξ < x ,

a < η < x .? 注意到 f ′′(η ) > 0 (因为 f ′′( x) > 0 ) 则? ,
3?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f ( x) > f (a) + f ′(a)( x ? a)

( x > a) ?

又因 f ′( a ) > 0, ? 故存在 b > a ,使得?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? f (b ) > f ( a ) + f ′( a )(b ? a ) > 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …………………(6 分) ? ? ? ? ? ? 又已知 f ( x 0 ) < 0 ,由连续函数的中间值定理,至少存在一点 x1 ( x 0 < x1 < b) ?

使得?

f ( x1 ) = 0 .? 即方程 f ( x ) = 0 在 ( x 0 ,+∞) 上至少有一个根 x1 ? ? ? ………………(7 分)?
? ? ? ? 同理可证方程 f ( x ) = 0 在 (?∞ , x0 ) 上至少有一个根 x2 .? ? ? ? ? ………………(12 分) ? ? ? ? ? 下面证明方程 f ( x ) = 0 在 ( ?∞,+∞ ) 只有两个实根.(以下同证 1).……(15 分) ? ?

? x = 2t + t 2 三(本题共 15 分) 、设函数 y = f ( x) 由参数方程 ? (t > ?1) 所确定.? 且 y = ψ (t ) ?
t2 2 d2y 3 3 = , 其中ψ (t ) 具有二阶导数, 曲线 y = ψ (t ) 与 y = ∫ e ? u du + 在 t = 1 2 1 dx 4(1 + t ) 2e

处相切.? 求函数ψ (t) . 解 因为 d2y 1 (2 + 2t )ψ ′′(t ) ? 2ψ ′(t ) (1 + t )ψ ′′(t ) ?ψ ′(t ) dy ψ ′(t ) , 2 = ? = , = 2 dx 2 + 2t 4(1 + t )3 dx 2 + 2t ( 2 + 2t )
……………… (3 分) ?

由 题 设

d2y 3 = 2 dx 4(1 + t )

, 故

(1 + t )ψ ′′(t ) ?ψ ′(t ) 3 = 3 4(1 + t ) 4(1 + t )
1 ψ ′(t ) = 3(1 + t ). ? 1+ t

, 从 而

(1 + t )ψ ′′(t ) ?ψ ′(t ) = 3(1 + t ) 2 ,即? ? ψ ′′(t ) ? 设 u = ψ ′(t ) ,则有 u ′ ?
1 u = 3(1 + t ) ,? 1+ t

1 1 dt ? ? dt ? u = e ∫ 1+t ? ∫ 3(1 + t )e ∫ 1+t dt + C1 ? = (1 + t ) ? ∫ 3(1 + t )(1 + t ) ?1 dt + C1 ? = (1 + t )(3t + C1 ). ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …………(9 分) ? 由 曲 线 y = ψ (t ) 与 y = ∫ e ?u du +
2

t2

1

3 3 在 t = 1 处 相 切 知 ψ (1) = , 2e 2e

ψ ′(1) =
?

2 .? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………… (11 分) ? e
4?

所以 u

t =1

= ψ ′(1) =

2 1 ,知 C1 = ? 3 .? e e

ψ (t ) = ∫ (1 + t )(3t + C1 )dt = ∫ (3t 2 + (3 + C1 )t + C1 )dt =t 3 + ψ (1) =
?

3 + C1 2 t + C1t + C2 , 由 2

1 1 3 ,知 C 2 = 2 ,于是ψ (t ) = t 3 + t 2 + ( ? 3)t + 2 (t > ?1) .…(15 分) ? 2e e 2e
n

四(本题共 15 分) 、设 an > 0, S n = ∑ ak ,证明:?
k =1

(1)当 α > 1 时,级数 ∑

an 收敛;? α n =1 S n an 发散.? α n =1 S n
+∞

+∞

(2)当 α ≤ 1 ,且 Sn → ∞ ( n → ∞ )时,级数 ∑

证明? 令 f ( x ) = x1?α , x ∈ [ S n ?1 , S n ] .? 将 f ( x ) 在区间 [ S n ?1 , Sn ] 上用拉格朗日中值定 理,? 存在 ξ ∈ ( Sn ?1 , Sn ) ? f ( S n ) ? f ( Sn ?1 ) = f ′(ξ )( S n ? S n ?1 ) ?
1 1 即 S n?α ? S n?α = (1 ? α )ξ ?α an ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………… 分) (5 ? ?1

(1)当 α > 1 时,

1
α S n ??1 1

?

1
α S n ?1

= (α ? 1)

ξα

an

≥ (α ? 1)

? 1 1 ? an .? 显然 ? α ?1 ? α ?1 ? 的 α Sn ? Sn ?1 S n ?

前 n 项和有界, 从而收敛, 所以级数 ∑

an 收敛.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? …………… (8 分) ? α n =1 S n

+∞

(2)当 α = 1 时,因为 an > 0 , S n 单调递增,所以?
ak 1 ≥ Sn+ p k = n +1 S k



n+ p

k = n +1

∑a

n+ p

k

=

Sn+ p ? Sn Sn+ p

= 1?

Sn ? Sn+ p
n+ p Sn a 1 1 < , 从而 ∑ k ≥ .? 所以级数 2 Sn + p 2 k = n +1 S k

因为 S n → +∞ 对任意 n , 当 p ∈

∑ Sα
n =1 n

+∞

an

发散.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ……………… (12 分) ?
?
+∞ +∞ a an an an ? ≥ .? 由 ∑ n 发散及比较判别法,∑ α 发散.………(15 分) α Sn Sn n =1 S n n =1 S n

当 α < 1 时,
?

5?

?

五(本题共 15 分) 、设 l 是过原点,方向为 (α, β , γ ) (其中 α 2 + β 2 + γ 2 = 1 )的直 线,均匀椭球 x2 y 2 z 2 + + ≤ 1 (其中 0 < c < b < a ,密度为 1)绕 l 旋转.? a 2 b2 c 2

(1)? 求其转动惯量;(2) 求其转动惯量关于方向 (α, β , γ ) 的最大值和最小值.? 解? ? (1)? 设旋转轴 l 的方向向量为 l = (α, β , γ ) ,椭球内任意一点 P(x,y,z)的径向量 为 r ,则点 P 到旋转轴 l 的距离的平方为?

d 2 = r 2 ?(r ? l ) = (1? α 2 ) x 2 + (1? β 2 ) y 2 + (1? γ 2 ) z 2 ? 2αβ xy ? 2βγ yz ? 2αγ xz ?
2

由积分区域的对称性可知?

∫∫∫
?

2 2 2 ? ? ? ? ?( x, y, z ) x + y + z ≤ 1? ? (2αβ xy + 2βγ yz + 2αγ xz )dxdydz = 0 , 其中 ? = ? ? ? a 2 b2 c 2 ? ?? ? ? ………………(2 分)?
a a ? x2 ? 4a 3bcπ ? ? dydz = ∫ x 2 ? πbc ?1? 2 ?dx = z x ? a ? ? + ≤1? 2 15 ? ? ? ? b2 c 2 a ?a
2 2

而 ∫∫∫ x 2 dxdydz = ∫ x 2 dx ∫∫ y 2
? ?a



π

1

(或

∫∫∫
?

x dxdydz = ∫ d θ ∫ d ? ∫ a 2 r 2 sin 2 ? cos 2 θ ? abcr 2 sin ?dr =
2 0 0 0

4a 3bcπ )? 15

∫∫∫
?

4ab3cπ 4abc3π 2 y dxdydz = ,∫∫∫ z dxdydz = 15 15 ?
2

…………… (5 分) ? ????????????

由转到惯量的定义?
J l = ∫∫∫ d 2 dxdydz =
?

4abcπ (6 ? ((1? α 2 )a 2 + (1? β 2 )b2 + (1? γ 2 )c 2 ) …………… 分) 15

?

(2)? 考 虑 目 标 函 数 ? ? V (α, β , γ ) = (1? α 2 )a 2 + (1? β 2 )b 2 + (1? γ 2 )c 2 在 约 束? ? α 2 + β 2 + γ 2 = 1 ? ? 下的条件极值.? 设拉格朗日函数为? L(α, β , γ , λ ) = (1? α 2 )a 2 + (1? β 2 )b 2 + (1? γ 2 )c 2 + λ (α 2 + β 2 + γ 2 ?1) ? ? ?
…………………(8 分) ?

令 Lα = 2α(λ ? a 2 ) = 0 , Lβ = 2β (λ ? b 2 ) = 0 , Lγ = 2 γ (λ ? c 2 ) = 0 ,?

Lλ = α 2 + β 2 + γ 2 ?1 = 0 ?
6? ?

解得极值点为 Q1 (±1,0,0, a 2 ) ,Q2 (0, ±1,0, b 2 ) ,Q3 (0,0, ±1, c 2 ) ? ? ? .…… (12 分) ? 比较可知,绕 z 轴(短轴)的转动惯量最大,为 J max =

4abcπ 2 ( a + b 2 ) ;绕 15

x 轴(长轴)的转动惯量最小,为 J min = ?

4abcπ 2 ? (b + c2 ) .? ? ? ? ? ? ? ………(15 分) 15

六(本题共 15 分) 、设函数 ?( x) 具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简 单闭曲线 C 上,曲线积分 ∫
C

2 xydx + ? ( x )dy 的值为常数.? x4 + y2

(1) 设 L 为正向闭曲线 ( x ? 2) 2 + y 2 = 1 .? 证明:? (2)? 求函数 ?( x) ;?


L

2 xydx + ? ( x )dy = 0 ;? x4 + y2

(3)? 设 C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求 ∫
C

2 xydx + ? ( x )dy .? x4 + y2

解? (1)? 设 ∫
L

2 xydx + ? ( x) dy = I ,闭曲线 L 由 L i , i = 1, 2 组成.? 设 L 0 为不经过原点 x4 + y 2

? ? 的光滑曲线,使得 L0 ∪ L1 (其中 L1 为 L1 的反向曲线)和 L 0 ∪ L2 分别组成围绕

原点的分段光滑闭曲线 C i , i = 1, 2 .? 由曲线积分的性质和题设条件?


L

2 xydx + ? ( x ) dy 2 xydx + ? ( x ) dy 2 xydx + ? ( x ) dy = ∫ +∫ = ∫ +∫ ?∫ ?∫ 4 2 4 2 x +y x +y x4 + y 2 L L L L L L?
1 2 2 0 0 1

= ∫ +∫
???
C1

C2

2 xydx + ? ( x) dy = I ?I =0 x4 + y 2

(5 ? ? …………… 分)
???????????????????????????

? ? ? (2)? 设 P( x, y ) =

2 xy ? ( x) , Q ( x, y ) = 4 .? 2 x +y x + y2
4



?Q ?P ? ′( x )( x 4 + y 2 ) ? 4 x 3? ( x ) 2 x 5 ? 2 xy 2 = , 即 ? ? , 解 得 = 4 ?x ?y ( x 4 + y 2 )2 ( x + y 2 )2
? ……………………(10 分) ????????????????????????????????????????????
7?

? ( x ) = ?x 2 (3)? 设 D 为正向闭曲线 Ca : x 4 + y 2 = 1 所围区域,由(1)?
?


C

2 xydx + ? ( x )dy 2 xydx ? x 2 dy =∫ x4 + y2 x4 + y2 C
a

(12 分) ? …………………
?????????????????????

利用 Green 公式和对称性,?


?

Ca

2 xydx + ? ( x) dy = ∫ 2 xydx ? x 2 dy = ∫∫(? 4 x) dxdy = 0 x4 + y2 C D
a

(15 分) ? …………………
??

8? ?


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