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2013年咸阳市高考模拟考试试题(一)理科数学试卷(教师版)


2013 年咸阳市高考模拟考试试题(一)理







一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1. 复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ,则复数 z 的实部与虚部之和为( A. ?2 B. 2 C.

1 D. 0 ) )

? ? 1 ?x 1 ? ? ? 2. 已知集合 A ? ? x | ? ? ? ? , B ? ?x | log2 ( x ?1) ? 2? ,则 A ? B 等于( 4? ? ?2? ? ?
A. (??,5) B. (??, 2) C. (1, 2) D. (2,5)

3. 以 M (?4,3) 为圆心, r 为半径的圆与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 相离的充要条件是( A. 0 ? r ? 2 B. 0 ? r ? 5 C. 0 ? r ? 2 5 D. 0 ? r ? 10



4. 由直线 x ? 1 , x ? 2 ,曲线 y ? sin x 及 x 轴所围图形的面积为 A.

?

B. cos1 ? cos 2

C. cos1 ? cos 2

D. sin 2 ? sin1

5. 已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0, ??) 单调增加,则满足 f (2 x ? 1) ? f ? ? 的 x 取值范围是(

?1? ?3?



A. ? ,

?1 2? ? ?3 3?
224 3 cm 3

B. ? , ? ?3 3 ?

?1 2 ?

C. ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ? , ? ?2 3 ? )

?1 2 ?

6. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则几何体的体积是( A. B. 112 cm
3

C. 96cm
2 4

3

D. 224cm

3

主视图 4 4 俯视图

左视图

? x ≥1 ? 7. 若变量 x, y 满足约束条件 ? y ≥ x , z ? 2 x ? y 的最小值为( ?2 x ? 3 y ≤ 6 ?
A.



18 5

B.

10 3

C.3

D. 1

8. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) , x ?R,其中 ? ? 0 , ?? ? ? ? ? . 若 f ( x ) 的最小正周期为 6? ,且 当x?

?
2

时, f ( x ) 取得最大值,则(


1

A. f ( x ) 在区间 [?2? ,0] 上是增函数 C. f ( x ) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数

B. f ( x ) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数 D. f ( x ) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数

9. 如图, F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两 a 2 b2


支分别相交于 A,B 两点,若 | AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3: 4 : 5 ,则双曲线的离心率为( A.

13

B.

15

C. 2

D.

3

10. 对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d a ? 0 ) 给出定义: f ?( x ) 是函数 y ? f ( x) 的导数,f ??( x) ( , 设 是 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的“拐点”.某同学 经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点” ;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称 中心.设函数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 ? 1 ? ? 2 ? x ? x ? 3x ? ,则 g ? ?? g? ? 3 2 12 ? 2013 ? ? 2013 ?
) D2014

? 2012 ? ? ??? ? g ? ? ?( ? 2013 ?

A. 2011 B. 2012 C. 2013 二.填空题(本大题共 5 小题,共 25 分)
2

11. 若关于 x 的不等式 x ? 4 x ≥ m 对任意 x ??0,1? 恒成立,则实数 m 的取值范围是_________ 12. 若 ? x ?

? ?

x? ? (n 为正偶数)的展开式中的第 5 项的二项式系数最大,则第 5 项是_______. 2?

n

13. 已知平行四边形 ABCD, E、 分别为边 BC、CD 上的中点, AC ? ? AE ? ? AF 则 ? ? ? ? _______. 点 F 若 14. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是_______.

??? ?

??? ?

??? ?

2

15. 选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A. 选修 4—4 坐标系与参数方程) ( 已知点 A 是曲线 ? ? 2sin ? 上任意一点, 则点 A 到直线 ? sin(? ? 的距离的最小值是________. B. (选修 4—5 不等式选讲)不等式 | x ? log2 x |? x? | log 2 x | 的解集是___________. C. (选修 4—1 几何证明选讲)如图所示,AB 和 AC 分别是圆 O 的切线,且 OC=3,AB=4,延长 AO 到 D,则 △ABD 的面积是_________. D O B
第 14 题图

?
3

)?4

C

A

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 b ? c ? a ? bc .
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x) ?

x x x 3 sin cos ? cos 2 ,求 f ( B ) 的最大值,并判断此时△ABC 的形状. 2 2 2

17.(本小题满分 12 分)已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55 , a2 ? a7 ? 16 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
3

(Ⅱ)令 bn ?

4 a
2 n ?1

?1

? ? (n∈N ) ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,对于任意的 n∈N ,不等式 Tn ?

m 恒 100

成立,求实数 m 的最小值.

18.(本小题满分 12 分)已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 5 , AC ? 4 , BC ? 3 , AA ? 4 ,点 D 1 在 AB 上. (Ⅰ)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 ∥平面 B1CD ; (Ⅱ)当 AB ? 5 BD 时,求面 ABC 和面 B1CD 夹角的余弦值.
C1 B1 A1

C
B
D

A

19.(本小题满分 12 分)现有 4 个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为 增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于 2 的人去参加乙项目联欢. (Ⅰ)求这 4 人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率; (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率; (Ⅲ)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记 ? ?| X ? Y | ,求随机变量 ? 的分布 列与数学期望 E? .

4

20. (本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点为 A(0, 2) ,且离心率为 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

3 , 2

???? ???? ? | MP | | MQ | (Ⅱ) 过点 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 P ,Q , N 在线段 PQ 上, ???? = ???? ? ? , 点 设 | PN | | NQ |
试求实数 ? 的取值范围. y M P N O Q l A x

21. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x ) 在点 A(0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅲ)是否存在实数 a ? (1, 2) ,使 f ( x ) ? 说明理由.

2 当 x ? (0,1) 时恒成立?若存在,求出实数 a ;若不存在,请 a2

5

2013 年咸阳市高考模拟考试试题(一)理科数学答案及评分参考
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.D 2.C 3. C

4..C

5.A

6.A

7.C

8.A

9.A

10.B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (??, ? 3] 12.

35 6 x 8

13.

4 3

14.10.

15. A.

5 2

B. (1, ??)

C.

48 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 b +c -a =bc, 由余弦定理 a = b +c -2bccosA 可得 cosA=
2 2 2 2 2 2

1 .-------------------------------------3 分 2
????????6 分

∵ 0<A<π , (或写成 A 是三角形内角) ∴A?

? . 3

(Ⅱ) f ( x) ?

x x x 3 1 1 3 sin cos ? cos 2 ? sin x ? cos x ? 2 2 2 2 2 2

? 1 ? sin( x ? ) ? , ??9 分 6 2 ? 2? ? ? 5? ) ∵A? ∴ B ? (0, ∴ ? B? ? (没讨论,扣 1 分) 3 3 6 6 6 ? ? ? 3 ∴当 B ? ? ,即 B ? 时, f ( B ) 有最大值是 . 2 6 2 3 ? ? 又∵ A ? , ∴C ? 3 3
∴△ABC 为等边三角形. 17(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d >0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②
2

????12 分

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 .即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 2n -1

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

--------------6 分

bn ?

4 a
2 n ?1

4 1 1 1 ? ? ? 2 ) ? 1 (2n ? 1 ? 1 n?n ? 1? n n ? 1
=

1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) =1<1 n ?1 2 2 3 n n ?1
6

Tn ?

m m ? 1 ? m ? 100 . 恒成立 ? 100 100

? m 的最小值为 100.-------------------------12 分
18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,连结 DE. ∵ 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, ∴侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, ∴ DE// AC1. ∵DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1C D, ∴AC1∥平面 B1CD. (Ⅱ) -------------6 分 B B1

C1

A1

C D

A

∵ AC⊥BC,∴如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系

C-xyz, 则 B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4),]设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) ,
∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a ?

??? 1 ??? ? ? BD 1 ? , 即 BD ? BA . AB 5 5

12 4 ,b ? . 5 5 ???? ??? ? ∴ B1C ? (?3,0, ?4) , BA ? (?3, 4,0) , ??? ? 12 4 CD ? ( , , 0) . 5 5

平面 BCD 的法向量为 n ? ? 0,0,1? 设平面 B1 CD 的法向量为 n2 =(x,y,z)

?

?? ?

? ?3x ? 4 z ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 4 ? 5 x? 5 y ?0 ?
令 z=1,得 x ? ?

?? ? 4 4 , y ? 4 , n2 ? ( ? , 4,1) . 3 3
? ?

设面 ABC 和面 B1CD 夹角为 ? , 则 cos? ?

n . n2
? ?

= 3

n n1
所以面 ABC 和面 B1CD 夹角的余弦值为

13

3 . -------------------------12 分 13
1 2 ,去参加乙项目联欢的概率为 . 3 3

19. 解: 依题意,这 4 个人中, 每个人去参加甲项目联欢的概率为
7

设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲项目联欢”为事件 Ai , (i ? 0,1, 2,3, 4) ,则 P ( Ai ) ? C4 ( ) ( )
i i

1 3

2 3

4 ?i

.

(Ⅰ)这 4 个人中恰好有 2 人去参加甲项目联欢的概率 P( A2 ) ? C4 ( ) ( ) ?
2 2 2

1 3

2 3

8 --------4 分 27

(Ⅱ)设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件 B ,B ? A3 ? A4 , 故 P( B) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? C4 ( ) ( ) ? C4 ( ) ?
3 3 4 4

1 3

2 3

1 3

1 . 9
1 .-------8 分 9

∴这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为 ( III) ? 的所有可能取值为 0,2,4.

P(? ? 0) ? P( A2 ) ?
所以 ? 的分布列是

8 40 17 , P(? ? 4) ? P( A0 ) ? P( A4 ) ? , , P (? ? 2) ? P ( A1 ) ? P ( A3 ) ? 27 81 81

?

0

2

4

P
E? ?

8 27

40 81

17 81

148 .-----------------------------------------------------------12 分 81
x2 y2 a b

20.(本题满分 13 分) 解: (I)设椭圆的标准方程是 2+ 2=1(a>b>0), 由于椭圆的一个顶点是 A(0, 2),故 b =2. 3 a2-b2 3 2 根据离心率是 得,e= = ,解得 a =8. 2 a2 2 所以椭圆的标准方程是 + =1. 8 2 (II )设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0). ①若直线 l 与 y 轴重合,则 分 ② 若直线 l 与 y 轴不重合,设直线 l 的方程为 y=kx+2, 与椭圆方程联立消去 y,得(1+4k )x +16kx+8=0, 16k 2 1+4k
2 2 2

x2 y2

..........6 分

| MP | PN

?

| MQ | NQ |

?? ?

2- 2

2-y0



2+ 2 2+y0

= ? ,解得 y0=1,得 λ = 2....7















x1



x2







x1x2



8 2.----------------------------------------------8 分 1+4k
? ?



| MP |
?

?

| MQ |
?

| PN |

| NQ |

? ? ,得x -x =x -x ,
1 0 0 2

0-x1

0-x2

8

1 整理得 2x1x2=x0(x1+x2),把上面的等式代入得 x0=- .

k

又点 N 在直线 y=kx+2 上,所以 y0=k ? ?

? 1? ? +2=1,于是有 1<y1< 2...........10 分 ? k?

2-y1 1 1 λ = = -1,由 1<y1< 2,得 > 2+1, 所以 λ > 2. y1-1 y1-1 y1-1 综 上 所 λ ≥ 2. 21.(本题满分 14 分)



......................................................... 13 分

解 : (I)∵a=1, f ( x) ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x ∴ f ' ( x) ? (2 x ? 2)e x ? ( x 2 ? 2 x ? 1)e x =( x ? 1 ) e ????? 2 分 于是 f(0)=1, f ?(0) ? ?1 .所以曲线 y = f(x)在点 A(0,f(0) )处的切线方程为 y ? 1 ? ? x ,
2
x

-------------------------------- 4 分 2 2 1 2 a ? 2 ax (II ) f ?( x) ? (2x ? )e ax ? ( x 2 ? x ? ) ? a ? e ax ? (2x ? ? ax2 ? 2x ? 1)eax ? (ax2 ? )e a a a a a ∵ a>0,e >0,∴ 只需讨论 ax2 ? ⅰ)当 a>2 时, ax2 ?
ax

即 x ? y ?1 ? 0

a?2 的符号. a

a?2 >0,这时 f ′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. a 2 2x ⅱ)当 a = 2 时,f ′(x)= 2x e ≥0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. ?????? 6 分
2?a , x2 ? a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表:

ⅲ)当 0<a<2 时,令 f ′(x)= 0,解得 x1 ? ?
2?a ) a 2?a a

2?a . a 2?a ,?? ) a

x f ' (x) f(x)

(??,?

?

(?

2?a 2?a , ) a a

2?a a

(

+ ↗

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

∴ f(x)在 (??,?

2?a 2?a 2?a 2?a ) ,( ,?? ) 为增函数,f(x)在 (? , ) 为减函数.---- 9 分 a a a a
2?a 2?a 2?a ) 上是减函数,在 ( ,1) ∈(0,1) .由(2)知 f(x)在 (0, a a a

( III) 当 a∈(1,2)时,

上是增函数,故当 x∈(0,1)时, f ( x) min ? f ( 所以 f ( x) ?

2?a 2 ) ? 2 (1 ? 2 ? a )e a a

2? a

.

2 当 x∈(0,1)时恒成立,等价于 (1 ? 2 ? a )e 2?a ? 1 恒成立. 2 a 当 a∈(1,2)时, 2 ? a ? (0,1) ,设 g (t ) ? (1 ? t )et , t ? (0,1) ,则 g ?(t ) ? et ? et ? tet ? ?tet ? 0 ,
表明 g(t) 在(0,1)上单调递减,于是可得 g (t ) ? (0,1) ,即 a∈(1,2)时 (1 ? 2 ? a )e 因此,符合条件的实数 a 不存在. -------- 14
2?a

? 1 恒成立,

9


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