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四川省遂宁中学外国语实验学校2015-2016学年高二上学期第二学段考试数学(理)试题


遂宁中学外国语实验学校 2015~2016 学年度上期第二学段考试

方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A. 7 斛 B. 3 斛 C. 9 斛 D. 12 斛

高二数学试题(理科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分 命题:唐 智

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

>1 A. ? ? 3 8 C. ? 8? 3 2 ? 2? 3 4 D. ? 4? 3

B.

2 正视图 2 2

4

2 侧视图

第 I 卷(选择题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

共 60 分)

8.直线 x =2 被圆(x + 1)2+ y2 =25 所 截得的弦长等于 A. D.
? 6
2 6
4 6

1.已知直线方程 y - 3 = 3( x - 4) ,则这条直线的倾斜角是 A. 5?
6

B. 4 D. 8 学科
俯视图 开始 输入 a0 , a1 , a2 , a3 , x0

B.

2? 3

C.

? 3

C.

2.已知 α,β 是平面,m,n 是直线。下列命题中不 正确的是 . A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β B.若 m∥α,α∩β= n,则 m∥n D.若 m⊥α,m ? β,则 α⊥β

9.如右图输入 a0=0, a1=1, a2=2, a3=3,x0=-2,它输 出的结果 S 是 A. -18 B. 6 C. -3 D. 9

3.过点(-1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线 方程是 A. 2x-y+2=0 B. 2 x + y+2=0 C. x-2y+1=0 D. x+2y-1=0

10.在棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,D1 到 B1C 的距离为 A.
6

K=3 S=a3

4.已知点 M(0,-2),点 N 在直线 x-y-1=0 上,若直线 MN 垂直于直线 x+2y- 3=0,则 N 点的坐标是 A.(-2,-3) B.(1,0) C.(2,3) D.(-1,0)

B. 2 3

C. 3 2

D. 3
K >0? 是 K= K -1 输出 S 否

11.已知 AC、BD 为圆 O :x2 +y2= 4 的两条相 互垂直的弦,垂足为 M(1,1), 则四边形

5.正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中, 异面直线 B' M AB 的中点为 M , DD' 的中点为 N , 与 CN 所成的角是 A. 0 ? B. 90? C. 45? D. 60?

ABCD 的面积的最大值为
A.6 B. 4 2 C. 5 D. 5 2

S=ak+S*x0

结束

6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书 中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周四尺,高三尺。 问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图),米堆底部的弧长为 4 尺,米堆的高为 3 尺,问米堆的 体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立

12.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱长为 8, 点 H 在棱 AA1 上,且 HA1=2,点 E、F 分别为棱 B1C1、C1C 的中点,P 是侧面 BCC1B1 内一动点,且满足 PE⊥PF,则当点 P 运动时,HP2 的最小值是 A. 10 B. 27 - 6 2 C. 2 21 D. 108-24 2

第 II 卷(非选择题
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)

19. 如图,圆锥的底面圆心为 O,直径为 AB,C 为半圆弧 AB 的中点,E 为劣弧 CB 的中点,且 AB=2PO=2 (1)求证 PO⊥AC; (2)求二面角 P-AC-E 的平面角的余弦值.
2.

13.过点 P(1,0) ,且圆心为直线 x + y -1=0 与直线 x - y + 1=0 交点,则该圆标准方 程为_________________. 14.正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2=AA1,则直线 AC1 与平面 BCC1B1 所成角的 正弦值为_________________. 15.点 P(-1,0)在动直线 2a x + (a+c) y+2c=0(a∈R , c∈R)上射影为 M,则点 M 到直线 x - y= 5 的距离的最大值是_____________. 16.用一张正方形的包装纸把一个棱长为 1 的正方体完全包住, 要求不能将正方形 纸撕开,则所需包装纸的最小面积为_____________. 三、解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分,共 70 分) 17.过点 P 的直线 l 在 x 轴上截距为 1,点 P 为直线 x -2y -2=0 与 x+y+1=0 的交点. (1)求直线 l 的方程; (2)若 l 与圆 C:x2+ y2 -2y -3=0 交于 A、B 两点,求△ABC 面积.

20. 已知圆 C:x2 + y2 +2x - 4y+3=0. (1)若不过原点的直线 l 与圆 C 相切,且在 x 轴、y 轴上截距相等,求直线 l 的 方程; (2)从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且 MP=OP, 求点 P 的轨迹方程.

21. 如图所示,正方形 AEFD 边长为 4,N 是 DF 中 点,BC=BE=2,沿着 EF 将直角梯形 BEFC 翻折为直 角梯形 B1EFC1,使 AB1=2
3.

(1)求证:平面 AB1N⊥平面 B1C1FE; (2)线段 B1E 上是否存在一点 M,使 FM∥平面 AB1N,若存在,试确定点 M 的位置,若不存在,请

18. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系.并证明你的结论; (2)若正方体棱长为 1,求三棱锥 F-BEG 的体积.

说明理由; (3)若平面 AB1N 与平面 B1C1FE 交线为 B1P,试求线段 C1F 上点 P 的位置, 并说明理由.

1 22. 已知 M(2,0) ,N(0,-2) ,C 为 MN 中点,点 P 满足 CP= MN. 2 (1)求点 P 构成曲线的方程.; (2)是否存在过点(0,-1)的直线 l 与(1)所得曲线交于点 A、B,且与 x 轴 ??? ? ??? ? 交于点 Q, 使 QA ? QB ? 3 ,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

班级_________________ 姓名______________________ 考号______________________ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 密 封 线 内 不 准 答 题 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

遂宁中学外国语实验学校 2015~2016 学年度上期第二学段考试

19.

高二数学试题(理)答题卷
第 II 卷(非选择题
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.___________ 14.____________ 15.___________ 16. ____________ 共 90 分)

三、解答题(17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分,共 70 分) 17.

20.

18.

21.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 密 封 线 内 不 准 答 题 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

22.

遂宁中学外国语实验学校 2015~2016 学年度上期第二学段考试

高二数学试题(理科)参考答案
一 选择题 题号 答案 1 C
每小题 5 分,共 60 分

2 B

3 C

4 B

5 B

6 B

7 C

8 D

9 A

10 D

11 A

12 D

二 填空题 13.

每小题 5 分,共 20 分

x 2 +(y -1)2 =2.

14.

6. 4

15.

3 2.

16.

8.

C A B A C A A

C

16.将正方形纸各边四等分,如图所示折叠,A 为正方体侧面, B 为正方体下底面,折起后 C 构成正方体上底面,此时纸张 利用率最大,故而使用纸张面积最小。

C

三 解答题

17 题 10 分,18、19、20、21、22 题各 12 分,共 70 分
∴P(0,-1)

17.解: (1)∵点 P 是直线 x -2y -2=0 与 x+y+1=0 的交点.

又∵l 在 x 轴上截距为 1,即 l 过点(1,0) ∴ l:x - y -1=0 (2)C: x2 +(y -1)2 = 4,显然圆心 C(0,1) ,半径 r =2 ∴圆心到 l 的距离 d =

0 - 1- 1 12 + 12

= 2,
1

∴△ABC 为等腰 Rt△,

∴S△ABC = 2 ×2×2=2

18.证: (1)由题 F、G、H 位置如图,正方体中,EG∥AC 且 AH∥BG

又 AH∩AC=A,EG∩BG=G 且 AH、AC∈平面 ACH,EG、BG ? 平面 BEG ∴平面 ACH∥平面 BEG (2) ∵正方体中,EF⊥FG⊥FB ∴VF-BEG =VE-FBG = 3 ×S△BGF ×EF = 3 × 2 ×1×1×1= 6
1 1
1

整理得:2x - 4y+3=0 即为所求

21.证: (原创题) (1)由题将直角梯形折起如图
∵EF⊥AE,EF⊥B1E ∴EF⊥平面 AB1E
1

G

Q

F

∴EF⊥AB1
K C1 P

又∵B1E=BE=2,AE= 4,AB1=2 3 ∴PO⊥AC. ∴∠AB1E=90 即 AB1⊥B1E ∴AB1⊥平面 B1C1FE ∴平面 AB1N⊥平面 B1C1FE P
0

19.证: (1)∵PO 是圆锥的高

∴PO⊥底面圆 O

又 AC∈底面圆 O ∴PD⊥AC

(2)取 AC 中点为 D,连接 PD、OD,又圆锥母线 PA=PC ∵底面圆 O 上 OA=OC ∴OD⊥AC

又 E 为劣弧 CB 的中点即有 E∈底面圆 O ∴二面角 P-AC-E 的平面角即为∠PDO ∵C 为半圆弧 AB 的中点 又直径 AB=2 2 ∴∠AOC=90
1
0

B1 (2)线段 B1E 上存在 M,使 FM∥平面 AB1N 且 M 为 B1E 中点,

E

证明如下: 作 MH∥AE,显然 H 为 AB1 中点,连接 FM、NH A O
D

∴OD= 2 AC=1 ∴PO⊥OD B E

∵PO⊥底面圆 O 且 OD ? 底面圆 O 又 PO= 2

又∵N 是 DF 中点 ∴NF ∥ 2 AE∥ MH ∴四边形 NFMH 为平行四边形 ∴FM∥NH ? 平面 AB1N

1

∴Rt△POD 中,PD= 3
OD

C

∴cos∠PDO= PD

=
2

3 3 即为所求.

(3)延长 B1C1 到点 G,使 C1G=B1C1,连接 DG、FG, 显然 DG∥AB1 且四边形 GFEB1 为矩形,作 NQ∥DG,

20.解: (1)C:

(x+1) +(y -2) = 2,显然圆心 C(-1,2) ,半径 r = 2 ∵不过原点的直线 l 在 x 轴、y 轴上截距相等
x ∴不妨设 l: a

2

∴NQ∥AB1

∴N、Q、B1、A 四点共面 即 Q∈平面 AB1N

+

y a

∴B1Q 是平面 AB1N 与平面 B1C1FE 交线

=1

即 x + y -a =0 ∴ D N Q G
M

∴连接 B1Q 交 C1F 于点 P 即为所求 F 又 N 是 DF 中点 ∴Q 为 FG 中点

又直线 l 与圆 C 相切

- 1+ 2 - a 1 +1
2 2

= 2

∴a =3 或-1

以下在矩形 GFEB1 中讨论点 P 位置,如图 法一:作 PK⊥B1G,显然 GF=2=C1G C
P

∴PK=KC1

∴l: x + y -3 =0 或 x + y +1 =0 (2) 由题如图, PM 与圆 C 相切于 M ⊥CM
2 2

P C1

C

∴Rt△B1QG 中

PK B1K B1C1 + KC1 B1C1 + PK = = = GQ B1G B1G B1G
∴PK= 3
2

y
G Q F

∴ A H M B1 E
2 2

PM B 即

PK 2 + PK = 1 4

设 P(x,y) ,由 MP=OP 得:OP =MP =CP - r

P C1

∴x2 + y2 =(x+1)2 +(y -2)2 - 2

E

C P PK 1 ∴Rt△C1FG 中 1 = = C1 F FG 3
∴点 P 为 C1F 上三等分点,且近 C1 端. 法二:建立如图平面直角坐标系, 显然 Q(1,4) C1(0,2) F(2,4) ∴P( 3 , 3 )
2
8

2 = (1 + k )(-

1 1+ k 2

)-

k2 +1 2 k 1+ k 2

?

1 k2

+1
∴k = -1 或 3
1 1

= k2

1

2 ?k

=3

即 3k +2k -1=0

2

∴直线 l:y = -x-1 即 x+y+1=0 或 y= 3 x -1 即:x -3y -3=0 . 法二:∵ QA ? QB ? 3

??? ? ??? ?

∴直线 l 与 x 轴交点 Q(x ,0)必在圆外

∴B1Q: y= 4x,C1F:y= x+2

∴直线 l 即为过圆外一点 Q 所引圆 C 的一条割线交圆于 A、B 如图作 QH 与圆 C 相切于 H ∴QH⊥CH
H C Q

∴点 P 为 C1F 上三等分点,且近 C1 端.

22.解: (原创题) (1)由题可知:点 P 在以 MN 为直径的圆上,
∴曲线 C 是圆心为 MN 中点 C(1,-1) ,半径 r = 2 MN= 2 . ∴曲线 C 的方程: (x -1) +(y +1) =2 (2)法一:若直线 l 的斜率不存在 ∴直线 l:x = 0 ∵直线 l 过点(0,-1) Q(0,0)
2 2

1

??? ? ??? ? ∴ QH = QA ? QB ? 3
2

∴CQ =3+r =5 ∴(x -1)2 +(0+1)2 = 5 ∴ x = -1 或 3 ∴Q(-1,0)或(3,0) ∴k = -1 或 3
1 1

2

2

此时 A(0,0) B(0,-2)

??? ? ??? ? ∴与 QA ? QB ? 3 矛盾
∴直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l:y= kx -1, 直线 l 与圆交于 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)满足

又 ∵直线 l 过点(0,-1)

∴直线 l:y = - x -1 即 x+y+1=0 或 y= 3 x -1 即:x -3y -3=0 .

ì y = kx - 1 ? 2 2 ? 即(1+k )x -2x -1=0 í 2 2 ? ? ? ( x - 1) + ( y + 1) = 2
由韦达定理可得:x1+x2 = 1+ k 2
2

x1 x2 = - 1+ k 2

1

显然当 k=0 时,直线 l:y= -1 与 x 轴无交点不合题意, ∴设直线 l 与 x 轴交点 Q( k ,0) ∴ QA?QB
1

??? ? ??? ?

( x1 = x1 x2 -

1 k
1 k

)( x2 -

1 k

) + y1 y2
1 k2

( x1 + x2 ) +

+ k 2 x1 x2 - k ( x1 + x2 ) + 1
1 k2

= (1+ k 2 ) x1 x2 - ( 1 k + k )( x1 + x2 ) +

+1


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