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山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学理试题


大智教育 山东省实验中学 2010 级第二次诊断性测试

责任 高效 超越 2013

数学试题(理科) (2012.10)
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷。其中第 I 卷共 60 分,第 II 卷共 90 分,两卷合计 150 分。答题时间为 120 分钟。

第 I 卷(

选择题
只有一项是符合题目要求的)

共 60 分)

一、选择题目: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

2 1.设全集 Q ? ?x | 2 x ? 5 x ? 0 , x ? N ? ,且 P ? Q ,则满足条件的集合 P 的个数是

A.3

B.4

C.7

D.8

2.已知幂函数 f ( x ) 的图像经过(9,3) ,则 f ( 2 ) ? f (1 ) = A.3 3.若 log
a

B. 1 ?
2 ? log
b

2

C. 2 ? 1

D.1

2 ? 0 ,则

A. 0 ? a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 4.由直线 x ? ?
1 2

B. 0 ? b ? a ? 1 D. b ? a ? 1 ,x ?
?
3

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为
3 2

A.

B.1
lg | x | x

C.

D. 3

5.函数 y ?

的图象大致是

6.在 ? ABC 中,若 0 ? tan A ? tan B ? 1 ,那么 ? ABC 一定是 A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.形状不确定
1

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7.若 f ( x ) 是 R 上 的 增 函 数 , 且 f ( ? 1 ) ? ? 4 , f ( 2 ) ? 2 , 设 P ? ? x | f ( x ? t ) ? 1 ? 3 ? ,
Q ? ? x | f ( x ) ? ? 4 ? ,若“ x ? P ”是“ x ? Q 的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是

A. t ? ? 1

B. t ? ? 1

C. t ? 3

D. t ? 3

g (x) 8.我 们 常 用 以 下 方 法 求 形 如 y ? f ( x ) 的函数的导数:先两边同取自然对数得:

ln y ? g ( x ) ln f ( x ) ,再两边同时求导得到:

1 y

? y ? g ' ( x ) ln f ( x ) ? g ( x ) ?

'

1 f (x)

? f '(x) ,

于是得到:y ' ? f ( x )

g (x)

[ g ' ( x ) ln f ( x ) ? g ( x ) ?

1 f (x)

1

? f ' ( x )] , 运用此方法求得函数 y ? x

x

的一个单调递增区间是 A.( e ,4) B.(3,6)

C(0, e )

D.(2,3)

9. 由 等 式 x 4 ? a 1 x 3 ? a 2 x 2 ? a 3 x ? a 4 ? ( x ? 1) 4 ? b1 ( x ? 1) 3 ? b 2 ( x ? 1) 2 ? b 3 ( x ? 1) ? b 4 定 义映射 f ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) ? b1 ? b 2 ? b 3 ? b 4 ,则 f ( 4 , 3 , 2 ,1 ) ? A.10 10.方程 log A.2
1 2

B.7
x

C. -1

D.0

( a ? 2 ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为
3 2 1 2

B.1

C.

D.

11.已知 f ( x ? 1 ) ? f ( x ? 1 ), f ( x ) ? f ( ? x ? 2 ) ,方程 f ( x ) ? 0 在[0,1]内有且只有一个 根x ?
1 2

,则 f ( x ) ? 0 在区间 ?0 , 2013 ? 内根的个数为 B.1006 C.2013 D.1007

A.2011

? x3 1 , ? x ?1 ? ?x ?1 2 ? f (x) ? ? 12.函 数 1 1 1 和 函 数 g ( x ) ? a s i n x ? a ? 1( a ? 0 ) , 若 存 在 ?? x ? 6 ,0 ? x ? ? 6 12 2 ?
x 1 , x 2 ? [ 0 ,1 ] 使得 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是

( A.

1

3 , ] 2 2

B. [1, 2)

( C.

1 2

,] 2

( D. 1, ] 2

3

2

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第 II 卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1、用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上,考试结束后将答题卡和第 II 卷一并交上。 2、答题前将密封线内的项目填写清楚,密封线内答题无效。 题号 分数 二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分.) 13.在 ? ABC 中, tan A ? tan B ? 形为 .
3 14.若函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是



17

18

19

20

21

22

总分

3 ?

3 tan A ? tan B ,且 sin A ? cos A ?

3 4

,则此三角

.

15.已知函数 f ( x ) ? | 2 x ? a | ? a .若不等式 f ( x ) ? 6 的解集为 ? x | ? 2 ? x ? 3 ? , 则实数 a 的值为 .

16.若函数对于函数 f ( x ) ? x | x | ? px ? q ,现给出四个命题: ① q ? 0 时, f ( x ) 为奇函数 ② y ? f ( x ) 的图象关于 ( 0 , q ) 对称 ③ p ? 0 , q ? 0 时,方程 f ( x ) ? 0 有且只有一个实数根 ④方程 f ( x ) ? 0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 . 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 17.(本小题满分 12 分) 已知 cos ? ?
1 7 , cos( ? ? ? ) ? 13 14

,且 0 ? ? ? ? ?

?
2

.

(1)求 tan 2 ? 的值;

(2)求角 ?

3

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18.(本小题满分 12 分)

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已知命题 p :在 x ? [1, 2 ] 内,不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的恒成立;命题 q :函数
f ( x ) ? log
1 3

2

(x

2

? 2 ax ? 3 a ) 是区间 [1 , ?? ) 上的减函数,若命题” p ? q “是真命题,求实

数 a 的取值范围。

19.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? (1)求 a , b 的值
2 2 (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。

?2 ?b 2
x ?1

x

?a

是奇函数。

4

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20.(本题满分 12 分) 已知 f ( x ) ? log 件:
x
3 2

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? ax ? b x

, x ? ( 0 , ?? ) ,是否存在实数 a , b ,使 f ( x ) 同时满足下列条

①在(0,1)上是减函数,在 [1, ? ) 上是增函数;② f ( x ) 的最小值是 1 若存在,求出 a , b ? 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)
3 已知函数 f ( x ) ? ax ? bx 2

? 2x

( 在 x ? ? 1 处取得极值, 且在点 1, f (1 )) 处的切线斜率为 2.

(1)求 a , b 的值
3 2 (2)若关于 x 的方程 f ( x ) ? x ? 2 x ? x ? m ? 0 在区间 [ , 2 ] 上恰有两个不相等的实数

1

2

根,求实数 m 的取值范围。

5

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22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?
1? x ax

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,其中 a 为大于零的常数

(1)若函数 f ( x ) 在区间 [1, ?? ) 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f ( x ) 在区间[1,2]上的最小值;
? (3)求证:对于任意的 n ? N ,且 n ? 1 时,都有 ln n ?

1 2

?

1 3

??? ?

1 n

成立。

ks5u

6

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