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安徽省潜山中学2010届高三上学期第一次月考(数学理)


安徽省潜山中学 2010 届高三上学期第一次月考 (数学理)
一、选择题,每小题 5 分,共 50 分。 1.设集合 A
? {x | ? 1 2 ? x ? 2} , B ? { x x ? 1}
2

,则 A ? B

?

A. { x ? 1 ? x ? 2}

>B. { x | ?

1 2

? x ? 1}

C. { x | x ? 2}

D. { x | 1 ? x ? 2}

2.已知向量 a ? (1, 0 ), b ? (0,1), c ? ka ? b ( k ? R ), d ? a ? b ,如果 c // d ,那么 A. k C. k
? 1且c

与 d 同向 与 d 同向
2 (a, b

B. k D. k

? 1且c

与 d 反向 与 d 反向

? ?1 且 c
4

? ?1 且 c

3.若 (1 ? A.33

2) ? a ? b

为有理数) ,则 a ? b ? C.23
?
6

B.29

D.19
,

4. 函数 y = f (x) = 2sin (2x + A.1 B.2

)在 [ ? ?
2

?
2

]

上对称轴的条数为 D.0
2 5

C.3

5.已知等比数列 { a n } 的公比为正数,且 a 3 · a 9 =2 a , a 2 =1,则 a 1 = A.
1 2

B.

2 2

C.
2

2
'( x )

D.2 ,
f '(0 ) ? 0 ,对于任意实数 x

6. 已知二次函数 则
f (1) f '(0 )

f ( x) ? ax ? bx ? c

的导数为 f

都有 f ( x ) ? 0 ,

的最小值为 B. 5
2

A. 3

C. 2

D. 3
2

7.已知 ? ABC 中, ? A , ? B , ? C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= A.2 B.4+ 2
3

6 ?
6 ?

2

且 ? A ? 7 5 o ,则 b=

C.4— 2

3

D.

2

8. 定义:区间[x1,x2](x1 < x2)的长度等于 x2 – x1,函数

y = |logax|(a>1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],
若区间[m,n]的长度的最小值为 3 ,则实数 a 的值为
4

A. 7
4

B.2

C. 1 5
4

D.4

9. 右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输 出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则

-1-

这样的 x 值有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10.如左图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是
h h h h

正 视图

侧 视图

O

t

O

t

O

t

O

t

俯 视图

A.

B.

C.

D.

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分。 11.函数 y ? lo g 2 x ? lo g 2 ? 1 ? x ? 的最大值是_____ 12.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 则 s ? y ? x 的最小值为__________. ?
?x ? 4 ?y ? 5 ?

13.若周期函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 的取值范围为_____________.

f ( x)

的最小正周期为 3, f (1) ? 2 , f ( 2 ) ?

1 m

,则m

14.已知点 P 的极坐标是 (1, ? ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 15.5 个人各提一只桶去装水,每只桶装满水的时间分别是 1,2,3,4,5 分钟,如果只有一个水 龙头,那么到最后一个人装满水时,他们等待时间总和的最小值是___ 三 、解答题: 16. (12 分)设命题 P:关于 x 的不等式 a x
2
2

? ax ? 2a

2

>1(a>0 且 a≠1)的解集为{x|-a<x<2a};命

题 Q:y=lg(ax -x+a)的定义域为 R。如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围

-2-

17. (12 分)已知二次函数 f ( x ) ? x ? 2 b x ? c ( b , c ? R ) ,且 f (1) ? 0 .
2

(1)若函数 y ? f ( x ) 与轴的两个交点 A ( x 1 , 0 ), B ( x 2 , 0 ) 之间的距离为 2,求 b 的值; (2)若关于的方程 f ( x ) ? x ? b ? 0 的两个实数根分别在区间 ( ? 3 , ? 2 ), ( 0 ,1) 内,求 b 的取值 范围..

18. (13 分)已知函数

f ( x ) ? x ? ln x
a

,其中 a ? Z .

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 a ? ? 1 时,求函数 f(x)的最大值.

19. (13 分)已知数列 ?a n ? 中, a1
n?N
*

? 2

, a2

?3

,其前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 ? S n ? 1

? 2Sn ? 1(n ? 2



) .
? 4 ?( ? 1)
n n ?1

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)设 b n 值,使得对任意 n ? N * ,都有 b n ?1
? bn

?2 ( ? ?
an

为非零整数,n ? N * ) ,试确定 ? 的

成立.

-3-

20. (12 分)最近,李师傅一家三口就如何将手中的 10 万块钱投资理财,提出了三种方案: 第一种方案:将 10 万块钱全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利 40%,也可 能亏损 20%(只有这两种可能),且获利的概率为 .第二种方案:将 10 万块钱全部用来买基 金.据分析预测:投资基金一年可能获利 20%,也可能损失 10%,也可能不赔不赚,且三种 情况发生的概率分别为 , , . 第三种方案:将 10 万块钱全部存入银行一年,现在存款利率为 4%,存款利息税率为 5%. 针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方法,并说明理由.

21. (13 分)已知双曲线 C : x
a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

的离心率为

3

,右准线方程为 x ?
? 0)

3 3

(Ⅰ)求

双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x 2

? y ? 2
2

上动点 P ( x 0 , y 0 )( x 0 y 0

处的切线,l 与双曲

线 C 交于不同的两点 A , B ,证明 ? A O B 的大小为定值..w.k.s.5.u.c.o.m

-4-

参考筨案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算 的考查. ∵ A ? {x | ?
1 2 ? x ? 2} , B ? { x x ? 1} ? ? x | ? 1 ? x ? 1? ,
2

∴ A ? B ? { x ? 1 ? x ? 2} ,故选 A. 2. 【答案】D 【解析】本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a ? ? 1, 0 ? ,b ? ? 0 ,1 ? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ? 1,1 ? ,d ? a ? b ? ? 1, ? 1 ? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ? 1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ? 1,1 ? ,d ? ? a ? b ? ? ? ? 1,1 ? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 3. 【答案】B 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ ?1 ?
2

?

4

? C4

0

?

2

?

0

? C4

1

?

2

?

1

? C4

2

?

2

?

2

? C4

3

?

2

?

3

? C4

4

?

2

?

4

? 1 ? 4 2 ? 12 ? 8 2 ? 4 ? 17 ? 12 2 ,

由已知,得 1 7 ? 1 2 2 ? a ? b 2 ,∴ a ? b ? 1 7 ? 1 2 ? 2 9 .故选 B. 4.B 5. 【答案】B 【解析】设公比为 q ,由已知得 a 1 q ? a 1 q ? 2 ? a 1 q
2 8 4

?

2

,即 q ? 2 ,因为等比数列 { a n } 的公比为
2

正数,所以 q ? 6. 【答案】C 7. 【答案】A

2 ,故 a 1 ?

a2 q

?

1 2

?

2 2

,选 B

【解析】 s in A ? s in 7 5 ? s in (3 0 ? 4 5 ) ? s in 3 0 c o s 4 5 ? s in 4 5 c o s 3 0 ?
0 0 0 0 0 0 0

2 ? 4

6

-5-

由 a=c= 6 ?

2 可知, ? C ? 7 5 ,所以 ? B ? 3 0 , s in B ?
0 0

1 2

由正弦定理得 b ?

a s in A

? s in B ?

2 ? 2 ? 4

6 6

?

1 2

? 2 ,故选 A

8.D

9.C

10.B

二、填空题 11. ? 2 12. ? 6 13. m ? ?
1 2 ,或 m ? 0

14. ? co s ? ? ? 1

15. 35 分钟

三 、解答题: 16. 解:P:0<a<1; P、Q 中有且仅有一个为真 ∴0<a≤1/2 或 a≥1(12 分) (4 分) Q:a>1/2; (8 分)

17. 解: (1)由题可知, x1 ? 1, x 2 ? c , x1 ? x 2 ? ? 2 b 又 | x1 ? x 2 |? | 1 ? c | ? 2 ? c ? ? 1或 3 ? b ? 0 或 ? 2 ……..6 分 (2)令 g ( x ) ? f ( x ) ? x ? b ? x ? ( 2 b ? 1) x ? b ? c ? x ? ( 2 b ? 1) x ? b ? 1
2 2

5 ? b ? ? ? g ( ? 3) ? 0 7 ? ? g (?2) ? 0 1 1 5 ? ? 由题, ? ? ?b ? ? ? b ? ………..12 分 5 5 7 ? g (0 ) ? 0 ? ? g (1) ? 0 ?b ? ?1 ? ? ?
a ?1
a ?1

18. 解: (1) f '( x ) ? x

? ( a ln x ? 1) ,易知 x ? 0 , x
? 1 a

?0.
? 1 a

当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 得 x ? e 同理,单减区间为 (0 , e 当 a ? 0 时, f '( x ) ?
1 x
? 1 a

,所以 f ( x ) 的单增区间为 ( e

, ?? ) ,

);

? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单增;
? 1 a

当 a ? 0 时,令 f '( x ) ? 0 得 x ? e

,所以 f ( x ) 的单增区间为 (0 , e

?

1 a

),

-6-

同理,单减区间为 ( e

?

1 a

, ?? ) .
?2

(8 分)
? (1 ? ln x ) .令 f '( x ) ? 0 得 x ? e .列表如下:

(2)当 a ? ? 1 时, f '( x ) ? x

x f ' (x ) f (x )

(0,e )

?

e 0
极大值
1 e

(e ,+∞)

?

?

?
(13 分)

所以, f ( x ) m a x ? f ( e ) ?



* 19. 解: (1)由已知, ? S n ? 1 ? S n ? ? ? S n ? S n ? 1 ? ? 1 ( n ? 2 , n ? N ) ,

即 a n ?1 ? a n ? 1 ( n ? 2 , n ? N ) ,且 a 2 ? a 1 ? 1 .
*

∴数列 ?a n ? 是以 a1 ? 2 为首项,公差为 1 的等差数列.∴ a n ? n ? 1 . 分) (5 (2)∵ a n ? n ? 1 ,∴ b n ? 4 ? ( ? 1)
n n ?1

? ?2

n ?1

,要使 b n ?1 ? b n 恒成立,
? ?2
n ?1

∴ bn ?1 ? bn ? 4
n

n ?1

? 4 ? ? ? 1? ? ? 2
n n n ?1

n?2

? ? ? 1?

n ?1

? 0 恒成立,

∴ 3 ? 4 ? 3? ? ? ? 1? ∴ ? ? 1?
n ?1

2

n ?1

? 0 恒成立,

? ? 2

n ?1

恒成立. (8 分)
n ?1

(ⅰ)当 n 为奇数时,即 ? ? 2 当且仅当 n ? 1 时, 2
n ?1

恒成立,

有最小值为 1,

∴ ? ? 1 . (10 分) (ⅱ)当 n 为偶数时,即 ? ? ? 2 当且仅当 n ? 2 时, ? 2
n ?1
n ?1

恒成立,

有最大值 ? 2 ,

∴ ? ? ? 2 . (12 分) 即 ? 2 ? ? ? 1 ,又 ? 为非零整数,则 ? ? ? 1 . 综上所述,存在 ? ? ? 1 ,使得对任意 n ? N ,都有 b n ? 1 ? b n (13 分)
*

20.

-7-

21. 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力. (Ⅰ)由题意,得 ? ?
? a2 c ? 3 3 3

,解得 a ? 1, c ?

3,

? ?c ? ?a ?

∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x
2 2 2

2

?

y

2

?1

.(5 分)

2
2 2 (Ⅱ)点 P ? x 0 , y 0 ? ? x 0 y 0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,

圆在点 P ? x 0 , y 0 ? 处的切线方程为 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x
2 2
2 0

y ? y0 ? ?

x0 y0

?x ?

x0 ?

,化简得 x 0 x ? y 0 y ? 2 .(7 分)
2

y 2 ?1 ?x ? 2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

2

? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0
2



∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x 0 ? 2 ,
2

∴ 3 x 0 ? 4 ? 0 ,且 ?
2

? 1 6 x0 ? 4 ? 3 x0 ? 4 ? ? 8 ? 2 x0
2 2

2

? ? 0 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? , 则x ∵
1

? x2 ?

4 x0 3 x0 ? 4
2

, x1 x 2 ?

8 ? 2 x0
2

2

, 分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (9

3 x0 ? 4

??? ??? ? ? OA ?OB c o s ? A O B ? ??? ??? ? ? OA ? OB

,且 ,

??? ??? ? ? 1 O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? 2 ? 2 ? x 0 x1 ? ? 2 ? x 0 x 2 ? y0

-8-

? x1 x 2 ?

1 2 ? 4 ? 2 x 0 ? x1 ? x 2 ? ? x 0 x1 x 2 ? 2 ? 2 ? x0 ?
2 2 2 ? x0 ? 8 ? 2 x0 ? ? 8 x0 ?4 ? ? ? 2 2 2 ? x0 ? 3 x0 ? 4 3 x0 ? 4 ? ? ?

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4

?

1

2

??

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4

?

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4
?

? 0

.(12 分)

∴ ? A O B 的大小为 9 0 .(13 分).w.k.s.5.u.c.o.m 【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1.
2 2 (Ⅱ)点 P ? x 0 , y 0 ? ? x 0 y 0 ? 0 ? 在圆 x ? y ? 2 上,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

圆在点 P ? x 0 , y 0 ? 处的切线方程为 y ? y 0 ? ?
x0 x ? y0 y ? 2

x0 y0

?x ?


x0 ? ,

化 简 得

. 由

? 2 y ?1 ?x ? 2 ? ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2

x0 ? y0 ? 2
2 2



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?3x ?3x

2 0

? 4 ? x ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0
2 2

① ②
2

2 0

? 4 ? y ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0
2 2

∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x 0 ? 2 , ∴ 3 x 0 ? 4 ? 0 ,设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,
2

则 x1 x 2 ?
??? ??? ? ?

8 ? 2 x0
2

2

3 x0 ? 4

, y1 y 2 ?

2 x0 ? 8
2

3 x0 ? 4
2

,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,∴ ? A O B 的大小为 9 0 ..w.k.s.5.u.c.o.m (∵ x 0 ? y 0 ? 2 且 x 0 y 0 ? 0 ,∴ 0 ? x 0 ? 2, 0 ? y 0 ? 2 ,从而当 3 x 0 ? 4 ? 0 时,方程①
2 2 2 2 2

?

和方程②的判别式均大于零).

-9-


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